body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2b Visa detaljer

5. Lådagram

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 5

Lådagram

Låddiagram är ett verktyg inom statistik som används för att illustrera spridningen i en datamängd. Det visar fem viktiga värden: största och minsta värde, medianen samt övre och undre kvartil. Detta diagram ger en grov uppskattning av hur spridd en datamängd är, där varje segment av diagrammet innehåller en fjärdedel av värdena. Det används ofta för att jämföra resultat mellan olika grupper, som klassresultat på ett prov. Låddiagram kan också skapas med digitala verktyg, och det finns funktioner för att beräkna kvartilavståndet, variationsbredden och andra statistiska mått. Detta verktyg är användbart för att förstå och analysera data på ett visuellt sätt, utan att behöva gå in i beräkningar.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Lådagram

Sida av 7

Begrepp

Kvartil

Medianen delar in ett statistiskt material i två lika stora delar. Kvartiler (från ordet kvart som betyder fjärdedel) delar in ett material i fyra lika stora delar. Kvartilerna är de tre tal som avgränsar delarna, och betecknas $Q_{1}, Q_{2}$ och $Q_{3} .$ Exempelvis delas $12$ värden in i fyra delar med $3$ stycken i varje.

Q_{2}

är alltså bara ett annat namn för medianen. Kvartilerna

Q_{1}

och

Q_{3}

kallas ibland även för undre och övre kvartil och bestäms genom att man bestämmer två "nya medianer" för de värden som är mindre respektive större än medianen.

Regel

Kvartilavstånd

Kvartilavståndet är ett spridningsmått som anger avståndet mellan den undre och övre kvartilen. Man beräknar det genom att subtrahera $Q_{1}$ från $Q_{3}$ .

$Kvartilavst \overset{˚}{a} nd = Q_{3} - Q_{1}$

Vad är kvartilerna, variationsbredden och kvartilavståndet?

fullscreen

Morgontrötta klubben har sammanställt data över hur många minuter deras medlemmar brukar snooza på morgonen.

20203030404045454550

Bestäm variationsbredden, kvartilerna och kvartilavståndet.

Visa Lösning

Variationsbredd
Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta värdet, dvs.

50 - 20 = 30 min .

Kvartiler
Vi börjar med medianen, som är samma sak som $Q_{2} .$ Eftersom datamängden består av $10$ värden, dvs. ett jämnt antal värden, måste medianen vara medelvärdet av femte och sjätte värdet.

Det femte värdet är

40

och det sjätte värdet är också

40 .

Medelvärdet av dessa blir

\frac{4 0 + 4 0}{2} = 40

vilket alltså är medianen. Nu kan vi bestämma kvartilerna genom att dela halvorna på mitten. Varje halva innehåller ett udda antal värden så kvartilerna kommer vara de värden i datamängden som delar upp varje halva i två delmängder med två tal i varje. Den undre kvartilen ges av det tredje värdet och den övre kvartilen ges av det åttonde värdet.

Nu ser vi att $Q_{1} = 30$ min. och $Q_{3} = 45$ min.

Kvartilavstånd
Kvartilavståndet är skillnaden mellan övre och undre kvartilen, vilket är

Q_{3} - Q_{1} = 45 - 30 = 15 min .

Begrepp

Lådagram

För att illustrera spridningen i ett statistiskt material använder man sig ibland av ett så kallat lådagram. I detta kan man läsa av medianen (skrivs Med eller $Q_{2}$ ), kvartiler ( $Q_{1}$ och $Q_{3}$ ) samt största och minsta värde.

Ett lådagram ger en grov uppskattning av hur spridd en datamängd är eftersom varje segment av diagrammet innehåller en fjärdedel av värdena. Ju bredare segmenten är desto större spridning är det för den fjärdedelen av materialet.

Metod

Rita ett lådagram

För att kunna rita ett lådagram måste man bestämma fem mått för den datamängd man vill undersöka: största och minsta värdet, medianen samt övre och undre kvartil. Nedanstående datamängd anger poängen för en klass på ett prov.

8.51116 1310.55 1515.513.5 12.51115.5127 158988.5612 7.51310.511.513.5

Vi identifierar de fem måtten för datamängden.

Identifiera största och minsta värdet

Först bestämmer man största och minsta värdet.

8.51116 1310.55 1515.513.5 12.51115.5127 158988.5612 7.51310.511.513.5

Det minsta värdet är

5

och det största är

16 .

Dessa markeras ovanför en tallinje.

Tallinje och början av lådagram som visar största och minsta värde

Bestäm medianen

För att bestämma medianen skriver man talen i storleksordning. Eftersom det finns

26

värden är medianen medelvärdet av tal nr

13

och

14 .

5677.5 10.51111 1313.513.5 888.58.5910.5 11.5 121212.513 151515.515.516

Nu kan medianen bestämmas genom att beräkna medelvärdet av värdena

11

och

11.5

\frac{1 1 + 1 1 . 5}{2} = 11.25,

Medianen är

11.25

. Även denna markeras i lådagrammet.

Påbörjat lådagram med minsta och största värde samt median

Bestäm kvartilerna

Medianen delar in materialet i två delar med $13$ tal i varje halva. Den undre kvartilen är mittenvärdet i den första delen, dvs. den sjunde observationen som är $8.5 .$ Den övre kvartilen beräknas genom att bestämma medianen för den övre halvan, dvs. den tjugonde observationen som är $13.5 .$ Även kvartilerna markeras i diagrammet och slutligen ritas en låda mellan dem.

Digitala verktyg

Använd räknare för att bestämma värden till lådagram

För att kunna rita ett lådagram måste man känna till fem olika värden: datamängdens minsta och största värde, undre och övre kvartil samt median. Dessa kan man hitta med hjälp av en räknare.

Digitala verktyg

Lägg in värden i lista

För att beräkna värdena måste man först mata in de värden man vill rita lådagrammet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen STAT och sedan välja Edit... i menyn. Där kan man sedan skriva in sina datapunkter i en av listorna, t.ex. lista L1.

Om man vill ta bort ett värde kan man göra det med knappen DEL.

Digitala verktyg

Bestäm värden som behövs för att rita ett lådagram

När värdena är inmatade trycker man på STAT igen och går sedan åt höger till CALC-menyn.

Välj alternativet 1-Var Stats, som används för att beräkna diverse statistiska mått för en datamängd, och tryck på ENTER. Kommandot 1-Var Stats visas då på skärmen och för att köra det, tryck på ENTER en gång till. När resultatet sedan visas, tryck nedåt för att läsa av värdena "minX" (minsta värde), "Q1" (undre kvartil), "Med" (median), "Q3" (övre kvartil) respektive "maxX" (största värde).

miniräknare visar minsta värde största värde median undre kvartil övre kvartil

Använd nu dessa värden för att rita ett lådagram för hand.

Tolka lådagrammet

fullscreen

Bossebageriet har gjort mätningar av temperaturen på $800$ koppar cappuccino. Lådagrammet visar resultatet i $^{\circ}$ C.

En bra cappuccino ska enligt experterna ligga mellan $55$ och $60$ grader. Ungefär hur många av kopparna hade denna temperatur, och vad säger lådagrammet om temperaturspridningen på de koppar som var kallare respektive varmare än så?

Visa Lösning

Antal koppar mellan 55 och 60 grader
I varje del av lådagrammet finns $25 %$ av värdena. Det betyder att $50 %$ av värdena ligger "i lådan."

Den första kvartilen ligger vid

54

grader och den tredje ligger vid

60

grader. Det betyder att ungefär

50 %

av de

800

kopparna hamnade i intervallet

55 - 6 0^{\circ}

\frac{8 0 0}{2} = 400 .

Cirka

400

koppar hade alltså den önskvärda temperaturen.

Kallare och varmare koppar
Det vi kan säga om övriga koppar är att spridningen i temperatur är mycket större bland de $200$ kallaste kopparna ( $54 - 39 = 1 5^{\circ}$ C skillnad) än bland de $200$ varmaste kopparna ( $5^{\circ}$ C skillnad).

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Lådagram

Övningar

En percentil är ett mått inom statistiken som beskriver det värde som en viss procentuell andel av observationerna i ett statistiskt material befinner sig nedanför. Till exempel anger den tionde percentilen ( $P_{10}$ ) det värde som delar in materialet i två delar, där den undre innehåller $10 %$ av observationerna och den övre innehåller $90 % .$

Hur skrivs övre kvartilen som en percentil?

Hur bestäms

P_{35}

för en datamängd med

40

observationer?

Medianen delar in en datamängd i två lika stora halvor och den övre kvartilen delar i sin tur in den övre halvan i ytterligare två lika stora halvor. Vi visar för en godtycklig datamängd.

Eftersom 50 % av observationerna är nedanför medianen och 25 % är mellan medianen och Q_3 så måste den övre kvartilen ha 75 % av värdena under sig. Den är alltså den sjuttiofemte percentilen, vilken kan skrivas P_(75).

P_(35) innebär att vi ska bestämma det värde som delar observationerna så att 35 % av dem är under värdet och 65 % är över värdet. Vi börjar med att bestämma hur många observationer som borde finnas i den nedre delen, alltså 35 % av 40. 0.35 * 40 = 14 De 14 första observationerna utgör alltså 35 % av datamängden, vilket innebär att det sista värdet av den undre delen är tal 14 och det första talet i den övre delen är tal 15. P_(35) kan då beräknas som medelvärdet av den 14:e och 15:e observationen.

På ett företag gör man en undersökning där man tittar på hur många km som kvinnor respektive män promenerar under en vecka. I undersökningen deltog lika många män som kvinnor och resultaten dokumenteras i följande lådagram.

Bertram får i uppdrag att sammanställa resultatet för både kvinnor och män och skapar nedanstående lådagram.

Kan lådagrammet se ut på det här sättet? Motivera ditt svar.

Medianen delar stickproven i två lika stora delar och kvartilerna delar dem sedan vidare så att man får fyra lika stora delar. Vi antar att varje sådan del innehåller x personer.

Vi vet inte hur observationerna fördelar sig inom dessa delar, men medianen för kvinnorna och undre kvartilen för männen ligger båda vid 10. Då vet vi att två fjärdedelar av kvinnorna, 2x, och en fjärdedel av männen, x, gick under 10 km per vecka, vilket totalt ger 3x personer. Vi jämför detta med det sammanslagna lådagrammet, där varje del ska innehålla 2x personer.

Det visar att en fjärdedel, 2x, gick under 10 km i veckan. Men vi kom ju precis fram till att detta antal skulle vara 3x genom att lägga ihop de individuella lådagrammen. Det givna lådagrammet kan alltså inte stämma.

Lådagram

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll