Lådagram

Medianen delar stickproven i två lika stora delar och kvartilerna delar dem sedan vidare så att man får fyra lika stora delar. Vi antar att varje sådan del innehåller x personer.

Vi vet inte hur observationerna fördelar sig inom dessa delar, men medianen för kvinnorna och undre kvartilen för männen ligger båda vid 10. Då vet vi att två fjärdedelar av kvinnorna, 2x, och en fjärdedel av männen, x, gick under 10km per vecka, vilket totalt ger 3x personer. Vi jämför detta med det sammanslagna lådagrammet, där varje del ska innehålla 2x personer.

Det visar att en fjärdedel, 2x, gick under 10km i veckan. Men vi kom ju precis fram till att detta antal skulle vara 3x genom att lägga ihop de individuella lådagrammen. Det givna lådagrammet kan alltså inte stämma.

Fem-nummer-sammanfattningen av en datamängd innehåller följande värden.

1. Minsta värde
2. Första kvartilen Q_1
3. Median (Andra kvartilen Q_2)
4. Tredje kvartilen Q_3
5. Största värde

Låt oss förklara hur man hittar dessa värden med ett exempel på en datamängd. 9, 8, 10, 10, 9, 12, 15, 5, 6, 13, 7, 14, 8, 9, 11, 7, 8, 12, 16, 10, 17, 7, 8, 8, 9, 7, 11 Sortera datan från minsta till största. 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17 Vi kommer nu att hitta de fem värdena.

Minsta och största värden

Vi kan identifiera de minsta och största värdena med en ordnad datamängd genom att titta på värdena med lägsta respektive högsta värden. 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17 Här är minimum 5 och maximum är 17.

Median

Vi har 27 datavärden. Kom ihåg att medianen är värdet i mitten när det finns ett udda antal datavärden. Vi kan identifiera medianen för vår datamängd i enlighet därmed. 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17 Medianen för vår datamängd är 9. Den delar datamängden i två halvor.

Första kvartilen

Betrakta den nedre halvan av vår datamängd. Det är en mindre datamängd med 13 värden. 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9 Medianen för denna halva är den första kvartilen Q_1. Det är talet i mitten. 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9 Den första kvartilen Q_1 för vår datamängd är 8.

Tredje kvartilen

Betrakta nu den övre halvan av vår datamängd. Det är en mindre datamängd med 13 värden. 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17 Medianen för denna halva är den tredje kvartilen Q_3. Det är talet i mitten. 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17 Den tredje kvartilen Q_3 för vår datamängd är 12.

Vi kan rita ett lådagram genom att använda fem-nummer-sammanfattningen. Skala och etikettera en axel som passar fem-nummer-sammanfattningen. Rita en låda från Q_1 till Q_3 och en vertikal linje genom medianen.

Rita en "whisker" från Q_1 till det minsta värdet och från Q_3 till det största värdet.

Vi vill hitta andelen av datan som är större än den första kvartilen Q_1 i ett lådagram. Kom ihåg att medianen av den nedre halvan ger oss den första kvartilen Q_1. Hur kan vi hitta den nedre halvan? Låt oss betrakta en godtycklig datamängd i stigande ordning.

Medianen av denna datamängd är värdet som delar datamängden i två halvor.

Halvan som är mindre än medianen kallas den nedre halvan. Halvan som är större än medianen kallas den övre halvan. Varje halva innehåller ungefär 1/2 av datamängden.

Betrakta nu den nedre halvan. Värdet i mitten av denna halva är den första kvartilen Q_1.

Den första kvartilen Q_1 delar den nedre halvan i två halvor. Varje halva blir ungefär 1/2 av den nedre halvan. Detta innebär att varje halva blir ungefär 1/4 av hela datamängden.

Observera att ungefär 1/4 av datan är mindre än den första kvartilen Q_1. Vi kan hitta andelen data som är större än den första kvartilen Q_1 genom att subtrahera 1/4 från 1. Här representerar 1 helheten.

Vi fann att ungefär 3/4 av datan är större än den första kvartilen Q_1.

Vi vill skapa en datauppsättning med minst sex tal.

Vi får två villkor.

1. Interkvartilavståndet för datauppsättningen ska vara 15.
2. Datauppsättningen ska ha två extremvärden.

Låt oss börja med att titta på hur man uppfyller det första villkoret.

Interkvartilavstånd

Kom ihåg vad ett interkvartilavstånd betyder.

Interkvartilavstånd (IQR) |- Interkvartilavståndet (IQR) är skillnaden mellan den tredje kvartilen Q_3 och den första kvartilen Q_1. IQR = Q_3 - Q_1

Dela in datauppsättningen i två halvor — den nedre halvan och den övre halvan. Bestäm sedan positionerna för den första kvartilen Q_1 och den tredje kvartilen Q_3.

Medelvärdet av den nedre halvan ger oss den första kvartilen Q_1. Med andra ord är talet i mitten av den nedre halvan den första kvartilen Q_1. Låt oss visa dess plats i vår datauppsättning.

På liknande sätt är talet i mitten av den övre halvan den tredje kvartilen Q_3.

Vi vill att skillnaden mellan Q_3 och Q_1 ska vara 15. Låt oss välja Q_3=30 och Q=15 för att uppfylla detta villkor.

Som synes kan vi uppfylla det givna villkoret när Q_3=30 och Q=15.

Låt oss nu gå vidare till hur man uppfyller det andra villkoret.

Extremvärden

Vi vill att vår datauppsättning ska ha två extremvärden. Låt oss ordna vår datauppsättning på ett sätt som gör att den har ett litet extremvärde och ett stort extremvärde.

Litet extremvärde |- Varje värde som är mindre än Q_1 - 1,5(IQR) i datauppsättningen är ett litet extremvärde.

Ersätt Q_1= 15 och IQR= 15 i uttrycket Q_1 - 1,5(IQR) och beräkna det.

Varje värde som är mindre än - 7,5 kan vara ett litet extremvärde för vår datauppsättning. Låt oss godtyckligt välja - 10 som ett litet extremvärde och placera det i vår datauppsättning.

Kom sedan ihåg definitionen av ett stort extremvärde.

Stort extremvärde |- Varje värde som är större än Q_3 + 1,5(IQR) i datauppsättningen är ett stort extremvärde.

Ersätt Q_3= 30 och IQR= 15 i uttrycket Q_3 + 1,5(IQR) och beräkna det.

Varje värde som är större än 42,5 kan vara ett stort extremvärde för vår datauppsättning. Låt oss godtyckligt välja 45 som ett stort extremvärde och placera det i vår datauppsättning.

Vi uppfyllde de givna villkoren. Vi kan nu slutföra bildandet av vår datauppsättning.

Datauppsättning

Observera att två saknade datapunkter ska ligga mellan 15 och 30. Låt oss godtyckligt välja 20 och 25 för dessa punkter och slutföra bildandet av datauppsättningen.

Detta är ett exempel på en datauppsättning som uppfyller de önskade villkoren. Kom ihåg att vi kan skriva många olika datauppsättningar med minst sex tal som uppfyller de givna villkoren.

Vi vill skriva en uppsättning med sju värden för den givna medianen och interkvartilavståndet (IR). Median:& 6 Interkvartilavstånd:& 5 Låt oss för tillfället skriva denna uppsättning som sju okända ordnade värden. a, b, c, d, e, f, g Först kan vi betrakta medianen. Låt oss komma ihåg att medianen för ett ordnat dataset är dess mittersta värde. Vi beräknar detta mittersta värde baserat på antalet observationer i uppsättningen.

• För ett udda antal datapunkter finns det bara ett värde i mitten, och det är medianen.
• För ett jämnt antal datapunkter är medianen medelvärdet av de två mittersta talen.

Eftersom vår uppsättning har ett udda antal datapunkter, bör det mittersta värdet vara lika med 6. Om vi har sju värden är det mittersta värdet det fjärde. Låt oss då skriva det fjärde värdet som 6. Median ↑ a b c 6 e f g Nu är IR för en datauppsättning skillnaden mellan den övre och nedre kvartilen. Låt oss komma ihåg att den övre kvartilen Q_1 är medianen för den nedre halvan av uppsättningen, och den övre kvartilen Q_3 är medianen för den övre halvan. align a b c^(Nedre halvan) 6 e f g^(Övre halvan) ↓ ↓ Q_1 Q_3 Vår IR är lika med 5, så skillnaden mellan Q_3 och Q_1 bör också vara lika med 5. Q_3 - Q_1 = 5 Observera att det finns oändligt många par av tal att välja mellan. Den enda begränsningen är att, eftersom detta är en ordnad uppsättning, måste Q_3 vara minst 6, och Q_1 får inte vara mer än 6. Till exempel har 8 och 3 en skillnad på 5. 8 - 3 = 5 Låt oss inkludera dem i vår uppsättning. a 3 c^(Nedre halvan) 6 e 8 g^(Övre halvan) ↓ ↓ Q_1 Q_3 Det finns inga andra villkor för att uppsättningen ska uppfylla. Det betyder att vi kan välja vilka tal som helst för a, c, e, och g, så länge vi ser till att uppsättningen förblir ordnad. Låt oss komplettera vår uppsättning! 1, 3, 4,5, 6, 7, 8, 13 Observera att detta bara är en exempellösning. Vi kan skriva oändligt många uppsättningar som har en median på 6 och interkvartilavstånd på 5.

Vårt mål är att skapa två olika datamängder som uppfyller följande villkor.

1. De har samma median och kvartiler.
2. De har olika omfång. Med andra ord, deras skillnader mellan de högsta och lägsta värdena är olika.

Låt oss säga att var och en av mängderna kommer att ha sju element. Vi kommer också att skriva dem i ordnad form från minsta till största. & , , , , , , & , , , , , , Först, notera att medianen och kvartilerna alla handlar om placeringen av värden i en ordnad datamängd. Medianen är mittenvärdet i mängden. Median ↑ a b c^(Nedre halvan) d e f g^(Övre halvan) Om det fanns ett jämnt antal datapunkter, så skulle det vara genomsnittet av de två mittersta värdena. Nu är kvartilerna Q_1 och Q_3 mittenvärdena för den nedre respektive övre halvan av mängden. Median ↑ a b c^(Nedre halvan) d e f g^(Övre halvan) ↓ ↓ Q_1 Q_3 På samma sätt som tidigare, om halvorna bestod av ett jämnt antal punkter, skulle varje kvartil vara ett genomsnitt av de två mittersta värdena. Låt oss nu välja dessa tre värden. De kommer att vara desamma för båda mängderna, som krävs. & , 4, , 7, , 11, & , 4, , 7, , 11, Nu finns det oändligt många tal som vi kan skriva i de återstående luckorna. Den enda begränsningen är att mängdernas omfång ska vara olika. Låt oss fylla i luckorna! & , 4, 5, 7, 9, 11, 15 & 2, 4, 6, 7, 10, 11, 12 Omfånget för den första mängden är 15-0=15. Omfånget för den andra mängden är 12-2=10. Eftersom 15 ≠ 10, är omfången olika och våra mängder uppfyller alla villkor.

Givet att två datamängder har samma median, variationsbredd och interkvartilavstånd, blir vi tillfrågade om lådagrammet för datamängderna kan vara olika. För att göra det, låt oss betrakta två exempeldatamängder. Kom ihåg att det finns många möjliga exempel. Datamängd1: 0, 1, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8 ,9 Datamängd2: 1,2,4,4,5,5,6,7,8,9,10 Låt oss hitta fem-nummer-sammanfattningen för varje datamängd och rita dess lådagram.

Datamängd 1

Låt oss ta en titt på datavärdena. 0, 1, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8 ,9 Från datan kan vi se att det största värdet är 9 och det minsta värdet är 0. Dessutom är den första kvartilen 3, den tredje kvartilen är 7, och medianen är 5.

Vi kan nu hitta variationsbredden för datan. Kom ihåg att variationsbredden är skillnaden mellan det största värdet och det minsta värdet. Variationsbredd: 9- 0=9 Vi kan också beräkna interkvartilavståndet (IQR). IQR är skillnaden mellan den tredje kvartilen Q_3 och den första kvartilen Q_1. IQR: 7- 3=4 Låt oss nu rita lådagrammet för datan. Vi börjar med en tallinje som inkluderar de minsta och största värdena. Låt oss också rita punkter ovanför tallinjen för fem-nummer-sammanfattningen.

Slutligen kan vi rita en låda med hjälp av Q_1 och Q_3. Rita sedan en linje genom medianen och morrhåren från lådan till de minsta och största värdena.

Datamängd 2

Återigen, låt oss ta en titt på datan. 1,2,4,4,5,5,6,7,8,9,10 I det här fallet är det största värdet 10 och det minsta värdet är 1. Dessutom är den första kvartilen 4, den tredje kvartilen är 8, och medianen är 5.

Låt oss nu hitta variationsbredden och interkvartilavståndet för datan. Variationsbredd:& 10- 1=9 IQR:& 8- 4=4 På samma sätt som tidigare kan vi rita ett lådagram för datamängden.

Slutsats

Låt oss nu ta en titt på lådagrammen.

Vi har hittat två datamängder som har samma median, variationsbredd och interkvartilavstånd. Vi kan dock se att deras lådagram inte är lika. Därför, om två datamängder har dessa viktiga informationsbitar gemensamt, kan lådagrammen fortfarande vara olika.