body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Bestäm funktionens asymptoter

fullscreen

Bestäm alla asymptoter till funktionen

f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1} .

Visa Lösning

Vi undersöker först om funktionen har någon vertikal asymptot och sedan om den har någon sned asymptot.

Exempel

Vertikal asymptot

Funktionen är inte definierad för

x = - 1,

så vad händer när man närmar sig detta

x

-värde? Nämnaren närmar sig

0

och täljaren går mot

2 (- 1)^{2} + 3 (- 1) + 2 = 1 .

Täljaren går alltså mot en konstant och nämnaren mot

0 .

Om nämnaren blir mindre och mindre går kvoten mot oändligheten vilket vi kan bekräfta genom att undersöka gränsvärdet numeriskt.

$x$	$- 0.9$	$- 0.99$	$- 0.999$	$- 0.9999$	$\to - 1^{+}$
$\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1}$	$9.2$	$99.02$	$999.002$	$9999.0002$	$\to \infty$

Funktionsvärdet går mot oändligheten när $x$ närmar sig $- 1$ från höger. Skulle vi göra samma sak från vänster går den mot negativa oändligheten. Det betyder att $x = - 1$ är en vertikal asymptot.

Exempel

Sned asymptot

Lutningen

k

för en eventuell sned asymptot ges av

k = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} .

Vi börjar med att dividera funktionsuttrycket med

x

och förenkla kvoten.

\frac{f ( x )}{x}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1} / x

DivFracSL

$\frac{a}{b} / c = \frac{a}{b \cdot c}$

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x ( x + 1 )}

Distr

Multiplicera in $x$

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} + x}

Nu ska vi undersöka gränsvärdet för denna kvot när

x

går mot oändligheten. Vi förkortar bråket med

x^{2}

eftersom den högsta graden i täljaren är

2 .

k = x \to \pm \infty lim \frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} + x}

ReduceFrac

Förkorta med $x^{2}$

k = x \to \pm \infty lim \frac{( 2 x ^{2} + 3 x + 2 ) / x ^{2}}{( x ^{2} + x ) / x ^{2}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

k = x \to \pm \infty lim \frac{\frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{3 x}{x ^{2}} + \frac{2}{x ^{2}}}{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{x}{x ^{2}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

k = x \to \pm \infty lim \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}

Oavsett om

x

går mot plus eller minus oändligheten kommer alla bråk i nämnaren och täljaren att gå mot

0 .

k = x \to \pm \infty lim \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}

$x \to \pm \infty$

k = \frac{2 + 0 + 0}{1 + 0}

AddTerms

Förenkla termer

k = \frac{2}{1}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

k = 2

Lutningen för den sneda asymptoten är alltså

k = 2 .

För att bestämma

m

-värdet beräknar vi

m = x \to \pm \infty lim (f (x) - k x) .

Vi börjar med att förenkla differensen.

f (x) - k x

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1} - 2 x

Förenkla

NumberToFrac

$a = \frac{( x + 1 ) \cdot a}{( x + 1 )}$

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1} - \frac{2 x ( x + 1 )}{x + 1}

Distr

Multiplicera in $2 x$

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1} - \frac{2 x ^{2} + 2 x}{x + 1}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2 - ( 2 x ^{2} + 2 x )}{x + 1}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2 - 2 x ^{2} - 2 x}{x + 1}

SimpTerms

Förenkla termer

\frac{x + 2}{x + 1}

Nu beräknar vi gränsvärdet på samma sätt som när vi bestämde

k :

Vi förkortar bråket med termen som har högst grad, vilket i detta fall är

x .

m = x \to \pm \infty lim (f (x) - k x)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

m = x \to \pm \infty lim \frac{x + 2}{x + 1}

ReduceFrac

Förkorta med $x$

m = x \to \pm \infty lim \frac{( x + 2 ) / x}{( x + 1 ) / x}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

m = x \to \pm \infty lim \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}

SimpQuot

Förenkla kvot

m = x \to \pm \infty lim \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}

Bråken i täljaren och nämnaren går mot

0

både när

x

går mot

\infty

och

- \infty .

m = x \to \pm \infty lim \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}

$x \to \pm \infty$

m = \frac{1 + 0}{1 + 0}

AddTerms

Förenkla termer

m = \frac{1}{1}

CalcQuot

Beräkna kvot

m = 1

Nu har vi både

k

- och

m

-värdet:

k = 2

och

m = 1 .

Man får dessa värden både när man går mot positiva och negativa oändligheten, så grafen närmar sig asymptoten

y = 2 x + 1

i båda riktningarna.

Nu är vi egentligen klara, men vi visar också asymptoterna tillsammans med grafen till funktionen. Det är inte nödvändigt för den här uppgiften, men kan vara intressant.

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm funktionens asymptoter