Digitala verktyg

Lösa ekvationer med Geogebra

För att lösa ekvationer med Geogebra CAS använder man kommandot Lös(). Om man skriver in ordet Lös på en tom rad dyker följande förslag upp.

Lös( <Ekvation i x> )

Lös( <Ekvation>, <Variabel> )

Lös( <Lista med ekvationer>, <Lista med variabler> )

Det andra och tredje förslaget används när man har en annan variabel än xx respektive när man vill lösa ekvationssystem. För att lösa en ekvation med variabeln xx ska alltså ekvationen skrivas inom parentesen i det första förslaget. Exempelvis kan man skriva Ls o¨(x+2=3).\text{Lös } (\text{x} + 2 = 3). När man sedan klickar på Enter efter att ha skrivit in ekvationen dyker lösningen upp.

Lös (x+2=3\text{x} + 2 = 3)

{x=1}\rightarrow \quad \mathbf{\{x = 1\}}

Det går även bra att lösa krångligare ekvationer på det här sättet.

Lös (x3+2x211x12=0\text{x}^3 + 2\text{x}^2 - 11\text{x} - 12 = 0)

{x=4,x=1,x=3}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ \text{x} = -4, \text{x} = -1, \text{x} = 3 \right\} }

Den största fördelen med CAS, jämfört med numeriska metoder för att lösa ekvationer, är att svar kan fås på exakt form.

Lös (x3+7x2x=0\text{x}^3 + 7\text{x}^2 - \text{x} = 0)

{x=5372,x=0,x=5372}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ \text{x} = \dfrac{-\sqrt{53} - 7}{2}, \text{x} = 0, \text{x} = \dfrac{\sqrt{53} - 7}{2} \right\} }

Det finns dock ekvationer som inte kan lösas algebraiskt på ett allmänt sätt. Om man anger en sådan ekvation kan inte Geogebra ge ett vettigt svar.

Lös (x3+ln(x)=12)\left( \text{x}^3 + \text{ln(x)} = 12 \right)

{?}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ ? \right\} }

Då kan istället kommandot NLös användas, som löser ekvationen numeriskt.

NLös (x3+ln(x)=12)\left( \text{x}^3 + \text{ln(x)} = 12 \right)

{x=2.24}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ x = 2.24 \right\} }

Det här svaret är faktiskt en avrundning, vilket Geogebra inte visar på något tydligt sätt. Man kan ta reda på om svaret är avrundat genom att markera en tom rad och sedan klicka på lösningen. Den kopieras då in i den nya raden, fast med upp till cirka 1212 decimaler om det är en avrundning.

{x = 2.237034817121}

Verktyget kan även hantera okända konstanter — man kan exempelvis skriva in en allmän ekvation på pq-pq\text{-}form och få ut pq-pq\text{-}formeln, dock inte förenklad på det traditionella sättet.

Lös (x2+px+q\text{x}^2 + \text{p} \cdot \text{x} + \text{q})

{x=pp24q2,x=p+p24q2}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ x = \dfrac{-p - \sqrt{p^2 - 4 \; q}}{2}, x = \dfrac{-p + \sqrt{p^2 - 4 \; q}}{2} \right\} }

Digitala verktyg

Trigonometriska ekvationer

Geogebra kan även tolka och lösa trigonometriska ekvationer. Lösningsmängderna uttrycks dock på ett sätt som man kanske inte är van vid.

Lös (sin(x) = 0.5)

{x=2k1π+16 π,x=2k1π+56 π}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ x = 2k_1 \pi + \dfrac{1}{6} \ \pi, x = 2k_1 \pi + \dfrac{5}{6} \ \pi \right\} }

Om man ersätter k1k_1 med nn och arrangerar om lösningsmängderna får man dem på den vanligare formen.

x=2k1π+16πx=2k1π+56π \begin{array}{l}x = 2k_1 \pi + \dfrac{1}{6}\pi\\[-0.4em] \\ x = 2k_1 \pi + \dfrac{5}{6}\pi \end{array}
Sätt in nn och förenkla
x=2nπ+16πx=2nπ+56π \begin{array}{l}x = 2{\color{#0000FF}{n}} \pi + \dfrac{1}{6}\pi\\[-0.4em] \\ x = 2{\color{#0000FF}{n}} \pi + \dfrac{5}{6}\pi \end{array}
x=2nπ+π6x=2nπ+5π6 \begin{array}{l}x = 2n \pi + \dfrac{\pi}{6}\\[-0.4em] \\ x = 2n \pi + \dfrac{5\pi}{6} \end{array}
x=π6+2nπx=5π6+2nπ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{6} + 2n \pi\\[-0.4em] \\ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2n \pi \end{array}
x1=π6+n2πx2=5π6+n2π \begin{array}{l}x_1 = \dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi\\[-0.4em] \\ x_2 = \dfrac{5\pi}{6} + n \cdot 2\pi \end{array}

När lösningarna inte är standardvinklar anger Geogebra lösningsmängderna med hjälp av arcusfunktioner.

Lös (cos(x) = 0.72)

{x=2k1πcos-1(1825),x=2k1π+cos-1(1825)}\rightarrow \quad \mathbf{ \left\{ x = 2 k_1 \pi - cos^{\text{-} 1} \left( \dfrac{18}{25} \right), x = 2 k_1 \pi + cos^{\text{-} 1} \left( \dfrac{18}{25} \right) \right\} }

Med cos-1\cos^{\text{-} 1} menar Geogebra arccos — man kan alltså skriva lösningsmängderna på den vanligare formen. Den första kan skrivas om enligt

x=2k1πcos-1(1825)x=-arccos(1825)+n2π. x = 2k_1 \pi - \cos^{\text{-} 1}\left( \dfrac{18}{25} \right) \quad \Leftrightarrow \quad x = \text{-} \arccos \left( \dfrac{18}{25} \right) + n \cdot 2\pi.

När man använder kommandot NLös för att lösa en trigonometrisk ekvation numeriskt anger Geogebra inte lösningsmängdernas perioder. Det är därför inte lämpligt att använda det kommandot när man ska lösa en trigonometrisk ekvation fullständigt.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}