Bevis

Additionsformeln för sinus

När man beräknar sinusvärdet för en summa använder man sinus- och cosinusvärdena för båda vinklar.

sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

sin(v)=cos(90^(∘)-v) och cos(v)=sin(90^(∘)-v). Med hjälp av det första sambandet kan sin(u+v) skrivas om som cosinus av en differens.

sin(u+v)

sin(v)=cos(90^(∘)-v)

cos(90^(∘)-(u+v))

Ta bort parentes & byt tecken

cos(90^(∘)-u-v)

Lägg till parentes

cos((90^(∘)-u)-v)

Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.

cos((90^(∘)-u)-v)

cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)

cos(90^(∘)-u)cos(v)+sin(90^(∘)-u)sin(v)

cos(90^(∘)-v)=sin(v)

sin(u)cos(v)+sin(90^(∘)-u)sin(v)

sin(90^(∘)-v)=cos(v)

sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)

Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v).

Q.E.D.