Bevis

Kedjeregeln

En sammansatt funktion f(g(x))f(g(x)) kan deriveras genom att man bestämmer derivatorna för den yttre och inre funktionen separat, och sedan multiplicerar ihop dem. Denna regel kallas för kedjeregeln och kan bland annat skrivas på följande två sätt.

D(f(g(x))=f(g(x))g(x)D(f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)

dfdx=dfdgdgdx\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}

Eftersom f(g(x))f'(g(x)) och dfdg\frac{\text{d}f}{\text{d}g} är derivatan av den yttre funktionen brukar dessa kallas för yttre derivata. På motsvarande sätt benämns g(x)g'(x) och dgdx\frac{\text{d}g}{\text{d}x} som inre derivata.

Bevis

D(f(g(x))=f(g(x))g(x)D(f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)
Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition: D(f(x))=limh0f(x+h)f(x)h.\begin{aligned} D(f(x)) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}. \end{aligned} För den sammansatta funktionen f(g(x))f(g(x)) får man D(f(g(x)))=limh0f(g(x+h))f(g(x))h.\begin{aligned} D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}. \end{aligned} Hur skriver man om detta till produkten i formeln? Första steget är att förlänga bråket med ett lämpligt uttryck för att få ett gränsvärde av en produkt. Då kan man dela upp gränsvärdet som produkten av två andra gränsvärden, som båda beskriver derivator. Därför förlänger man med g(x+h)g(x).g(x+h)-g(x).
D(f(g(x)))=limh0f(g(x+h))f(g(x))hD(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}
D(f(g(x)))=limh0(f(g(x+h))f(g(x)))(g(x+h)g(x))h(g(x+h)g(x))D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(f(g(x+h)) - f(g(x)))\cdot(g(x+h)-g(x))}{h\cdot(g(x+h)-g(x))}
D(f(g(x)))=limh0(f(g(x+h))f(g(x))g(x+h)g(x)g(x+h)g(x)h)D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\left(\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)
limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)\lim \limits_{x \to a}f(x)\cdot g(x)=\lim \limits_{x \to a}f(x)\cdot \lim \limits_{x \to a}g(x)
D(f(g(x)))=limh0f(g(x+h))f(g(x))g(x+h)g(x)limh0g(x+h)g(x)hD(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}
Det högra gränsvärdet motsvarar den inre derivatan, uttryckt med derivatans definition, så likheten kan skrivas som D(f(g(x)))=limh0f(g(x+h))f(g(x))g(x+h)g(x)g(x). D(f(g(x)))=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot g'(x). Nu återstår bara att visa att det vänstra gränsvärdet är lika med den yttre derivatan, f(g(x)).f'(g(x)). Det kan man göra genom att skriva om gränsvärdet så att det motsvarar definitionen för f(g(x)).f'(g(x)). Den högra termen i täljaren är redan korrekt, men övriga delar behöver skrivas om. Man gör nu följande ersättning i nämnaren: g(x+h)g(x)=k. g(x+h)-g(x)=k. Notera att g(x+h)g(x)g(x+h)-g(x) närmar sig 00 när h0,h\to0, eftersom de två termerna då går mot samma värde. När man ersätter nämnaren med kk är det därför viktigt att man även byter ut h0h\to0 mot k0,k\to0, så att nämnaren närmar sig 00 även efter ersättningen. I samband med detta adderas g(x)g(x)g(x)-g(x) till argumentet i funktionen ff i täljarens vänstra term, med syftet att sätta in kk även där.
f(g(x+h))f(g(x+h))
f(g(x+h)+g(x)g(x))f(g(x+h)+{\color{#0000FF}{g(x)}}-{\color{#0000FF}{g(x)}})
f(g(x)+g(x+h)g(x))f(g(x)+g(x+h)-g(x))
f(g(x)+k)f(g(x)+{\color{#0000FF}{k}})
Dessa ersättningar ger D(f(g(x)))=limk0f(g(x)+k)f(g(x))kg(x). D(f(g(x)))=\lim \limits_{k \to 0}\dfrac{f(g(x)+k) - f(g(x))}{k}\cdot g'(x). Man kan nu se att gränsvärdet motsvarar den yttre derivatan, f(g(x)),f'(g(x)), uttryckt med derivatans definition. Vid insättning får man till sist kedjeregeln: D(f(g(x)))=f(g(x))g(x). D(f(g(x)))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}