Introduktion till funktioner Åk 9 - Samband och förändring Åk 9 (Ma 9)

Fråga	Svar
Beror den arbetade tiden på de tjänade pengarna?	Nej. Den arbetade tiden kan bero på Lucas tillgänglighet, men inte på de tjänade pengarna eftersom han får betalt efter att ha arbetat.
Beror de tjänade pengarna på den arbetade tiden?	Ja. Lucas inkomst beror på antalet timmar han arbetar.

Fråga

Svar

Beror den arbetade tiden på de tjänade pengarna?

Nej. Den arbetade tiden kan bero på Lucas tillgänglighet, men inte på de tjänade pengarna eftersom han får betalt efter att ha arbetat.

Beror de tjänade pengarna på den arbetade tiden?

Ja. Lucas inkomst beror på antalet timmar han arbetar.

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

$x$	$y$
$- 2$	$1$
$0$	$3$
$3$	$6$

x

y

- 2

1

0

3

3

6

$t$	$h (t)$
$0$	$A$
$1$	$6$
$2$	$B$
$3$	$C$
$4$	$0$

t

h (t)

0

A

1

6

2

B

3

C

4

0

a Börja med att identifiera eventuella givna variabler.

t h (t) \to sekunder efter uppskjutning \to raketens h \ddot{o} jd

Analysera sedan beskrivningen av variablerna. Var noga med hur formuleringen försöker beskriva vad som händer i matematiska termer.

Raketens h \ddot{o} jd t sekunder efter uppskjutning \ddot{a} r - 2 g \overset{˚}{a} nger tiden sedan uppskjutning multiplicerat med skillnaden mellan tiden sedan uppskjutning och flygtiden .

Några nyckelord är gånger och skillnad som refererar till multiplikation och subtraktion. Med variablerna i åtanke och de operationer som markerats i beskrivningen, skriv en ekvation som modellerar raketens höjd.

Eftersom raketen tar

4

sekunder att falla tillbaka till marken, kan ursprunget för uppskjutningen,

flygtid

, ersättas med

4

h (t) = - 2 \cdot t (t - 4)

Den tidigare funktionen modellerar raketens höjd

t

sekunder efter uppskjutning.

b Värdena för

A,

B,

och

C

kan hittas genom att använda funktionsregeln som skrevs i föregående del.

h (t) = - 2 \cdot t (t - 4)

I värdetabellen innehåller den andra kolumnen de utdata som erhålls när värdena i den första kolumnen utvärderas vid funktionen. För att hitta värdet på

A,

utvärdera funktionen

h (t)

vid

t = 0 .

h (t) = - 2 \cdot t (t - 4)

Substitute

$t = 0$

h (0) = - 2 (0) (0 - 4)

SubTerm

Subtrahera term

h (0) = - 2 (0) (- 4)

Multiply

Multiplicera faktorer

h (0) = 0

När funktionen utvärderas vid

t = 0

, resulterar det i

0

. Detta innebär att

A = 0

. Genom att upprepa samma process kan värdetabellen fyllas i.

$t$	$h (t) = - 2 t (t - 4)$	$h (t)$
$0$	$h (0) = - 2 (0) (0 - 4)$	$0$
$1$	$h (1) = - 2 (1) (1 - 4)$	$6$
$2$	$h (2) = - 2 (2) (2 - 4)$	$8$
$3$	$h (3) = - 2 (3) (3 - 4)$	$6$
$4$	$h (4) = - 2 (4) (4 - 4)$	$0$

Värdena för $A,$ $B,$ och $C$ är $0,$ $8,$ och $6$ respektive.

c Grafen av en funktion kan ritas genom att plotta och koppla samman punkterna från värdetabellen som bestämdes i föregående del. Börja med att plotta punkterna.

Punkterna verkar inte följa en rak linje. Istället går de uppåt längs

y

-axeln till en början, för att sedan gå ner mot

0

. Nästa steg är att rita en jämn kurva för att koppla samman punkterna.

Här representerar

t

och

h (t)

tid och höjd respektive. Därför kan inte dessa variabler vara negativa. Detta är anledningen till att endast den första kvadranten beaktas. Genom att jämföra den tidigare grafen med de fyra givna graferna kan man dra slutsatsen att grafen för

h (t)

är alternativ C.

Ekvation	Beskrivning
$d = \frac{1}{6} t$	Sträcka som Freja joggar, i meter, på $t$ minuter.
$d = \frac{1}{5} t - \frac{2}{5}$	Sträcka som Julia joggar, i meter, på $t$ minuter.

Ekvation

Beskrivning

d = \frac{1}{6} t

Sträcka som Freja joggar, i meter, på

t

minuter.

d = \frac{1}{5} t - \frac{2}{5}

Sträcka som Julia joggar, i meter, på

t

minuter.

Jämförelse	Slutsats
Julias graf är brantare än Frejas.	Julia joggade i snabbare takt.
Freja joggade ungefär $2500$ meter eller $2, 5$ kilometer, medan Julia joggade $2600$ meter eller $2, 6$ kilometer.	Julia sprang $100$ meter längre än Freja under $15 -$ minuters joggningen.
Frejas graf börjar vid $t = 0$ medan Julias börjar vid $t = 2 .$	Julia började jogga $2$ minuter efter Freja.
Graferna skär varandra vid $(12, 2000) .$	Julia hann ikapp Freja efter $12$ minuter. Vid den tiden hade de joggat $2000$ meter.

Jämförelse

Slutsats

Julias graf är brantare än Frejas.

Julia joggade i snabbare takt.

Freja joggade ungefär

2500

meter eller

2, 5

kilometer, medan Julia joggade

2600

meter eller

2, 6

kilometer.

Julia sprang

100

meter längre än Freja under

15 -

minuters joggningen.

Frejas graf börjar vid

t = 0

medan Julias börjar vid

t = 2 .

Julia började jogga

2

minuter efter Freja.

Graferna skär varandra vid

(12, 2000) .

Julia hann ikapp Freja efter

12

minuter. Vid den tiden hade de joggat

2000

meter.

	Tid sedan tändning (timmar)	Höjd (cm)	Punkt
Det högsta ljuset är $10$ centimeter högt.	$0$	$10$	$(0, 10)$
Det kortaste ljuset är $10$ centimeter högt.	$0$	$8$	$(0, 8)$
Det högsta ljuset brinner ner på $6$ timmar.	$6$	$0$	$(6, 0)$
Det kortaste ljuset brinner ner på $8$ timmar.	$8$	$0$	$(8, 0)$

Tid sedan tändning (timmar)

Höjd (cm)

Punkt

Det högsta ljuset är

10

centimeter högt.

0

10

(0, 10)

Det kortaste ljuset är

10

centimeter högt.

0

8

(0, 8)

Det högsta ljuset brinner ner på

6

timmar.

6

0

(6, 0)

Det kortaste ljuset brinner ner på

8

timmar.

8

0

(8, 0)

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Funktion

Modeling with Functions

Oberoende och beroende variabel

Evaluera en funktion

Lönesats

Ledtråd

Lösning

Delar av koordinatsystemet

Kvadrant

Identifiera kvadranter

Sätt att representera en funktion

Värdetabell

Rita och koppla ihop punkter

Graph of a Function

Raketuppskjutning

Ledtråd

Lösning

Graf för Vikt-Ålder Tillväxt.

Ledtråd

Lösning

Flera grafer på samma koordinatsystem

Tända ljus

Svar

Ledtråd

Lösning

Sammanfattning - Funktioner

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}