body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 2

Definitions- och värdemängd

Den här lektionenen ger en insikt i hur funktioner har olika definitions- och värdemängder. Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion. Det finns två huvudskäl till att vissa tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden: talet ger en otillåten beräkning, eller funktionen beskriver en specifik situation där vissa värden inte är meningsfulla. Värdemängden, å andra sidan, är alla de värden som kan skapas av en funktion. Vissa funktioner kan bilda alla funktionsvärden, medan andra bara kan bilda vissa funktionsvärden.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Definitions- och värdemängd

Sida av 7

Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Definitionsmängd
Värdemängd
Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

Förkunskaper

Funktion
Graf
Mängd
Olikhet

Koncept

Definitionsmängd

Definitionsmängden, $D_{f},$ är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion $f .$ Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. $- 1$ eller $\frac{2}{0} .$
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för $x$ äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad $- 5$ äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall.

Det gäller exempelvis för funktionen

f (x) = x

som har definitionsmängden

x \geq 0

eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{4 x}{x - 1} .

Ledtråd

Division med noll är odefinierad. Uteslut värden som gör nämnaren noll från definitionsmängden.

Lösning

Definitionsmängden är alla

x

man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med

0

är funktionen definierad för alla

x

utom det som gör att

x - 1

blir

0 .

Eftersom

x - 1 = 0

för

x = 1

betyder det att funktionen är definierad för alla

x

utom

1,

vilket skrivs

D_{f} : x \neq = 1 .

Koncept

Värdemängd

Värdemängden,

V_{f},

är alla

y -

värden som kan skapas av en funktion

f .

Vissa funktioner, t.ex.

y = 2 x,

kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen

y = x^{2}

värdemängden

y \geq 0

eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestäm värdemängden för funktionen

y = x^{2} - 7 .

Ledtråd

Hitta de minsta och största funktionsvärdena. Kom ihåg att kvadrater alltid är icke-negativa.

Lösning

Värdemängden är de

y -

värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan

x^{2}

minst bli

0 .

Det leder till att det minsta värde som

y = x^{2} - 7

kan anta är

y = 0 - 7 = - 7 .

En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så

y

kan bli hur stort som helst. Det betyder att

V_{f} : y \geq - 7 .

Metod

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen $f .$ Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.

För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med $- 6$ upp till $6 .$ I sidled går kurvan från och med $- 2$ till $4 .$ Detta betyder att

D_{f} : - 2 \leq x < 4 och V_{f} : - 6 \leq y < 6 .

Exempel

Vad är definitionsmängden och värdemängden för grafen?

Bestäm definitionsmängden och värdemängden för grafen.

Ledtråd

Definitionsmängden är alla $x -$ värden för vilka grafen är ritad. På samma sätt är värdemängden alla $y -$ värden för vilka grafen är ritad.

Lösning

För att hitta funktionens definitionsmängd, följ grafen och notera

x -

värdena.

Som man kan se är grafen ritad för alla värden från

0

till

10,

båda ändpunkterna inkluderade. Därför är definitionsmängden

0 \leq x \leq 10 .

För att hitta värdemängden, titta på alla

y -

värden för vilka grafen är ritad.

Värdemängden går från

0, 5

till

8,

båda ändpunkterna inkluderade. Därför är värdemängden

0, 5 \leq y \leq 8 .

Definitions- och värdemängd

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.