Avstånds- och mittpunktsformlerna

Punkterna ligger i koordinaterna (3,5) och (7,8) . Vi sätter in dessa koordinater i avståndsformeln och förenklar.

Avståndet mellan punkterna är 5.

Punkterna ligger i koordinaterna (- 3,7) och (5,1). Återigen sätter vi in dessa koordinater i avståndsformeln.

Avståndet mellan punkterna är 10.

Vi börjar med att läsa av koordinaterna för sträckans ändpunkter. Den blå sträckan går mellan koordinaterna (- 7,- 8) och (- 3,- 4). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.

Vi kan nu slå in detta uttryck på miniräknaren direkt. Vi trycker då på sqrt() (2nd+ x^2) för att skriva in ett roten ur-tecken och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Avsluta också med en högerparentes.

Den blå sträckan är alltså cirka 5.66 le.

Vi börjar med att läsa av koordinaterna för sträckans ändpunkter. Den röda sträckan har ändpunkterna (3, - 2) och (6, -6), och vi gör på samma sätt för att räkna ut längden.

Vi kan förenkla ytterligare ett steg, eller så skriver vi in uttrycket direkt på miniräknaren.

Avståndet är alltså 5 le.

Vi gör på samma sätt för den gröna sträckan, som går mellan punkterna (-3, 1) och (7,6).

Som tidigare räknar vi ut rotuttrycket med räknaren.

Sträckan är ~ 11.18 le.

Vi använder avståndsformeln en sista gång för den svarta sträckan som går mellan (- 8,2) och (- 2,6).

Använd räknaren igen.

Den sista sträckan är alltså ~ 7.21 le.

Punkterna ligger i koordinaterna (12,6) och (6,2). Vi sätter in dessa värden i avståndsformeln och förenklar. Det spelar ingen roll vilken punkt som ses som den första, så vi väljer att (6,2) är (x_1, y_1). Det hade gått precis lika bra att välja tvärtom, men man slipper en del negativa tal så här.

Avståndet mellan punkterna är sqrt(52) le., eller ungefär 7.21 avrundat till två decimaler.

Punkterna ligger i koordinaterna (8,10) och (1,- 5). Återigen sätter vi in dessa värden i avståndsformeln, och vi väljer att sätta (1, -5) som (x_1,y_1).

Avståndet mellan punkterna är sqrt(274) le., eller ungefär 16.55 avrundat till två decimaler.

Vi bestämmer mittpunkten med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaterna.

Vi gör samma sak för y_m.

Mittpunkten är alltså (4,5).

Vi använder mittpunktsformeln igen för punkterna (11, 9) och (5, 15) och börjar med x_m.

Sedan gör vi samma sak för y_m.

Mittpunkten är (8,12).

Vi gör samma sak igen för (2, 2) och (- 6, 10).

Slutligen räknar vi ut y_m.

Den sista mittpunkten är alltså (- 2, 6).

Vi använder mittpunktsformeln för att hitta mittpunkten (x_m, y_m) mellan de två punkterna (- 3, 4) och (4, 3). Vi börjar med x_m.

Nu räknar vi ut y_m.

Mittpunkten finns alltså i koordinaterna (0.5, 3.5).

Vi gör på samma sätt igen för de två punkterna (- 6, 3) och (- 6, - 8). Först räknar vi ut x_m.

Nu räknar vi ut y_m.

Punkterna ligger på en lodrät linje, vilket ger mittpunkten (- 6, - 2.5).

Slutligen räknar vi ut mittpunkten mellan (- 10, 8) och (10, - 8). Först x_m.

Samma sak för y_m.

Mittpunkten hamnar alltså i origo, (0,0).

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln. Men tittar vi på koordinaterna, eller ritar punkterna i ett koordinatsystem, inser vi att avståndet kan bestämmas direkt genom att ta reda på skillnaden i y-led.

Avståndet mellan punkterna A och B är alltså skillnaden mellan y-koordinaterna: AB=10-2=8 le.

Vi kan också använda avståndsformeln.

Sträckan är alltså 8 le.

Eftersom punkterna ligger vågrätt i förhållande till varandra kan vi på motsvarande sätt som i förra deluppgiften direkt bestämma det vågräta avståndet mellan C och D.

Avståndet mellan punkterna är alltså CD=9-5=4 le. Även här skulle vi kunnat använda avståndsformeln på motsvarande sätt som i förra deluppgiften.

Vi börjar med att markera koordinaterna som triangelns hörn ligger i.

Omkretsen är summan av triangelns sidlängder och för att räkna ut dessa sätter vi in hörnens koordinater i avståndsformeln och förenklar.

Sida AB

Vi sätter in koordinaterna (2,4) och (6,9).

Sidan AB har längden sqrt(41) cm.

Sida BC

Vi sätter sedan in koordinaterna (6,9) och (8,3) i avståndsformeln.

Sidan BC är sqrt(40) cm.

Sida AC

Vi räknar ut den sista sidan mellan koordinaterna (2,4) och (8,3).

Sidan AC är sqrt(37) cm. Till sist räknar vi ut omkretsen genom att summera de tre sidorna.

Triangelns omkrets är ungefär 18.8 cm.

För att bestämma avståndet mellan punkten (3, - 1) och mittpunkten mellan (3,3) och (- 5,3) måste vi först räkna ut mittpunkten. Det gör vi med mittpunktsformeln, och vi börjar med att bestämma x_m.

Vi bestämmer sedan y_m på samma sätt.

Mittpunkten ligger i koordinaterna (- 2, 3).

Nu bestämmer vi avståndet mellan mittpunkten (- 1, 3) och punkten (3, - 1) med hjälp av avståndsformeln.

Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker på sqrt() (2nd+x^2) för att skriva in ett rottecken och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Avsluta med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när roten ur-tecknet skrivs in.

Avståndet är alltså cirka 5.66 le.

Dogges sträcka är avståndet mellan koordinaterna (0,1.1) och (6.6,5.1). Sätter vi in dessa i avståndsformeln kan vi beräkna hur långt han springer.

Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker då på sqrt() (2nd+x^2) och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Vi avslutar också med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när ett rottecken skrivs in.

Vi avrundar till en decimal och konstaterar att Dogge springer ca 7.7 längdenheter. För att bestämma hur långt Dagge springer behöver vi veta längden på husets lång- och kortsida. Långsidan är skillnaden i x-led mellan koordinaterna och kortsidan är skillnaden i y-led: x-led:& 6.6-0=6.6 le. y-led:& 5.1-1.1=4 le. Dagge springer därför 6.6+4=10.6 längdenheter totalt vilket är 10.6-7.7=2.9 le. längre än Dogge.