Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 33 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Metod

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen x3+8x2=20x x^3+8x^2=20x på detta sätt.

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med 0,0, så man subtraherar 20x20x från båda led: x3+8x220x=0. x^3+8x^2-20x=0.

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut x.x.

x3+8x220x=0x^3+8x^2-20x=0
x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0
{x=0x2+8x20=0\begin{cases}x=0 \\ x^2+8x-20=0 \end{cases}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x2+8x20=0x^2+8x-20=0
x=-82±(82)2(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
x=-4±42(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
x=-4±16(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationen har alltså lösningarna x=0,x=0, x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Metod

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen ax4+bx2+c=0,ax^4+bx^2+c=0, alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med pqpq-formeln. Ekvationen 2x436x2+160=0 2x^4-36x^2+160=0 kan exempelvis lösas med denna metod.

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar pqpq-form, dvs. så att koefficienten framför x4x^4 är 11 och högerledet är lika med 0.0. I detta fall divideras ekvationen med 2,2, vilket ger x418x2+80=0. x^4-18x^2+80=0.

Låt x2=t.x^2=t. Mittentermen blir då -18t\text{-}18t och genom att skriva om x4x^4-termen som (x2)2\left(x^2\right)^2 ser man också att x4=t2.x^4=t^2.

x418x2+80=0x^4-18x^2+80=0
abc=(ab)c a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}
(x2)218x2+80=0\left(x^2\right)^2-18x^2+80=0
t218t+80=0{\color{#0000FF}{t}}^2-18{\color{#0000FF}{t}}+80=0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda pqpq-formeln.

t218t+80=0t^2-18t+80=0
t=--182±(-182)280t=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{80}}}
t=-(-9)±(-9)280t=\text{-}(\text{-}9)\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±(-9)280t=9\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±8180t=9\pm\sqrt{81-80}
t=9±1t=9\pm\sqrt{1}
t=9±1t=9\pm1
t1=8t2=10\begin{array}{l}t_1=8 \\ t_2=10 \end{array}

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på x,x, inte t,t, som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet x2=t,x^2=t, och för lösningarna t=8t=8 och t=10t=10 ger det att x2=8ochx2=10. x^2=8\quad \text{och}\quad x^2=10.

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x2=8x^2=8
x=±8x=\pm\sqrt{8}

Två av lösningarna är alltså x=8x=\sqrt{8} och x=-8.x=\text{-} \sqrt{8}.

x2=10x^2=10
x=±10x=\pm\sqrt{10}

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså x=±8x=\pm \sqrt{8} och x=±10.x=\pm \sqrt{10}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}