Skills:Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Bestäm extrempunkterna till funktionen $f (x) = - 0.4 x^{4} + 2 x^{3} + 3$ med hjälp av dess första- och andraderivata.

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f (x) = - 0.4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (- 0.4 x^{4}) + D (2 x^{3}) + D (3)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = - 1.6 x^{3} + 6 x^{2} + D (3)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = - 1.6 x^{3} + 6 x^{2}

Vi sätter nu derivatan lika med $0$ och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi $x$ -värdena till funktionens stationära punkter.

f^{'} (x) = - 1.6 x^{3} + 6 x^{2}

\SubstII{f'(x)}{0}

0 = - 1.6 x^{3} + 6 x^{2}

\OEk

- 1.6 x^{3} + 6 x^{2} = 0

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut $x^{2} .$

- 1.6 x^{3} + 6 x^{2} = 0

\DIF

x^{2} (- 1.6 x) + x^{2} \cdot 6 = 0

\BU{x^2}

x^{2} (- 1.6 x + 6) = 0

\NPM

x^{2} = 0 - 1.6 x + 6 = 0 (I) (II)

$(I):$ \SqrtEkv

x = \pm 0 - 1.6 x + 6 = 0

$(I):$ \FRT

x = 0 - 1.6 x + 6 = 0

$(II):$ \SubEkv{6}

x = 0 - 1.6 x = - 6

$(II):$ \DivEkv{(\text{-}1.6)}

x = 0 x = \frac{- 6}{- 1 . 6}

$(II):$ Beräkna $1$

x_{1} = 0 x_{2} = 3.75

Lösningarna till $f^{'} (x) = 0$ är alltså $x = 0$ och $x = 3.75$ , och det är för dessa $x$ -värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

f^{'} (x) = - 1.6 x^{3} + 6 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (- 1.6 x^{3}) + D (6 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = - 4.8 x^{2} + 12 x

Vi sätter nu in $x$ -värdena $0$ och $3.75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

f^{''} (x) = - 4.8 x^{2} + 12 x

\SubstII{x}{0}

f^{''} (0) = - 4.8 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0

\BP

f^{''} (x) = - 4.8 \cdot 0 + 12 \cdot 0

\MF

f^{''} (x) = 0

När $x = 0$ är alltså andraderivatan $0 .$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x = 3.75 .$

f^{''} (x) = - 4.8 x^{2} + 12 x

\SubstII{x}{3.75}

f^{''} (3.75) = - 4.8 \cdot 3.75^{2} + 12 \cdot 3.75

Beräkna $1$

f^{''} (3.75) = - 22.5

Andraderivatan är alltså negativ när $x = 3.75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x = 0$ är andraderivatan istället $0,$ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt $x = 0 .$ Vi väljer ett $x$ -värde som är lägre än $0,$ t.ex. $- 1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3.75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.

$x$	$f^{'} (x)$	$=$	Tecken
$- 1$	$- 1.6 \cdot (- 1)^{3} + 6 \cdot (- 1)^{2}$	$7.6$	$+$
$1$	$- 1.6 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2}$	$4.4$	$+$

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en teckentabell.

$x$		$0$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Ter.	$↗$

Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0 .$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x = 3.75 .$ För att bestämma $y$ -värdet sätter vi in $x = 3.75$ i funktionen $f (x) = - 0.4 x^{4} + 2 x^{3} + 3 .$

f (x) = - 0.4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

\SubstII{x}{3.75}

f (3.75) = - 0.4 \cdot 3.75^{4} + 2 \cdot 3.75^{3} + 3

Beräkna $1$

f (3.75) = 29.3671875

\AvrDec{2}

f (3.75) \approx 29.37

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3.75, 29.37) .$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}