{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more {{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Jrhoads (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | <ebox title="<translate>Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata</translate>" labletitle="Exempel"> | + | <ebox title="<translate><!--T:1--> |
| − | <translate>Bestäm extrempunkterna till funktionen $f(x)=\N0.4x^4+2x^3+3$ med hjälp av dess första- och andraderivata.</translate> | + | Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata</translate>" labletitle="Exempel"> |
| + | <translate><!--T:2--> | ||
| + | Bestäm extrempunkterna till funktionen $f(x)=\N0.4x^4+2x^3+3$ med hjälp av dess första- och andraderivata.</translate> | ||
<line/> | <line/> | ||
| − | <translate>Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga [[Memo:Deriveringsregler|deriveringsregler]].</translate> | + | <translate><!--T:3--> |
| + | Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga [[Memo:Deriveringsregler|deriveringsregler]].</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 14: | Rad 17: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Vi sätter nu [[Derivata *Wordlist*|derivatan]] lika med $0$ och löser [[Ekvation *Wordlist*|ekvationen]]. På detta sätt hittar vi $x$-värdena till funktionens [[Stationär punkt *Wordlist*|stationära punkter]].</translate> | + | <translate><!--T:4--> |
| + | Vi sätter nu [[Derivata *Wordlist*|derivatan]] lika med $0$ och löser [[Ekvation *Wordlist*|ekvationen]]. På detta sätt hittar vi $x$-värdena till funktionens [[Stationär punkt *Wordlist*|stationära punkter]].</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 24: | Rad 28: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Denna ekvation löser vi enklast med [[Nollproduktmetoden *Method*|nollproduktmetoden]] eftersom vi kan bryta ut $x^2.$</translate> | + | <translate><!--T:5--> |
| + | Denna ekvation löser vi enklast med [[Nollproduktmetoden *Method*|nollproduktmetoden]] eftersom vi kan bryta ut $x^2.$</translate> | ||
<deduct mathmode=0> | <deduct mathmode=0> | ||
| Rad 46: | Rad 51: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Lösningarna till $f'(x)=0$ är alltså $x=0$ och $x=3.75$, och det är för dessa $x$-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma [[Andraderivata *Wordlist*|andraderivatans]] tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är [[Maximipunkt *Wordlist*|maximi]],- [[Minimipunkt *Wordlist*|minimi]]- eller [[Terrasspunkt *Wordlist*|terrasspunkter]]. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.</translate> | + | <translate><!--T:6--> |
| + | Lösningarna till $f'(x)=0$ är alltså $x=0$ och $x=3.75$, och det är för dessa $x$-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma [[Andraderivata *Wordlist*|andraderivatans]] tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är [[Maximipunkt *Wordlist*|maximi]],- [[Minimipunkt *Wordlist*|minimi]]- eller [[Terrasspunkt *Wordlist*|terrasspunkter]]. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 56: | Rad 62: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Vi sätter nu in $x$-värdena $0$ och $3.75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.</translate> | + | <translate><!--T:7--> |
| + | Vi sätter nu in $x$-värdena $0$ och $3.75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 68: | Rad 75: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>När $x=0$ är alltså andraderivatan $0.$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x=3.75.$</translate> | + | <translate><!--T:8--> |
| + | När $x=0$ är alltså andraderivatan $0.$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x=3.75.$</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 78: | Rad 86: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Andraderivatan är alltså negativ när $x=3.75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x=0$ är andraderivatan istället $0, $ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en [[Teckentabell *Wordlist*|teckentabell]] runt $x=0.$ Vi väljer ett $x$-värde som är lägre än $0,$ t.ex. $\N1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3.75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.</translate> | + | <translate><!--T:9--> |
| + | Andraderivatan är alltså negativ när $x=3.75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x=0$ är andraderivatan istället $0, $ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en [[Teckentabell *Wordlist*|teckentabell]] runt $x=0.$ Vi väljer ett $x$-värde som är lägre än $0,$ t.ex. $\N1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3.75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.</translate> | ||
{|class="mltable" | {|class="mltable" | ||
| − | !$x$ || $f'(x)$|| $=$ || <translate>Tecken</translate> | + | !$x$ || $f'(x)$|| $=$ || <translate><!--T:10--> |
| + | Tecken</translate> | ||
|- | |- | ||
|$\col{\N1} $ || $\N1.6\g(\col{\N1})^3+6\g(\col{\N1})^2$|| $7.6$ || $+$ | |$\col{\N1} $ || $\N1.6\g(\col{\N1})^3+6\g(\col{\N1})^2$|| $7.6$ || $+$ | ||
| Rad 88: | Rad 98: | ||
|} | |} | ||
| − | <translate>Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en [[Teckentabell *Wordlist*|teckentabell]]. | + | <translate><!--T:11--> |
| + | Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en [[Teckentabell *Wordlist*|teckentabell]]. | ||
</translate> | </translate> | ||
| Rad 102: | Rad 113: | ||
|} | |} | ||
| − | <translate>Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0.$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x=3.75.$ För att bestämma $y$-värdet sätter vi in $x = 3.75$ i funktionen $f(x)=\N0.4x^4+2x^3+3.$</translate> | + | <translate><!--T:12--> |
| + | Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0.$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x=3.75.$ För att bestämma $y$-värdet sätter vi in $x = 3.75$ i funktionen $f(x)=\N0.4x^4+2x^3+3.$</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 114: | Rad 126: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3.75,29.37).$</translate> | + | <translate><!--T:13--> |
| + | Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3.75,29.37).$</translate> | ||
</ebox> | </ebox> | ||
Versionen från 15 januari 2018 kl. 11.36
Bestäm extrempunkterna till funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3 med hjälp av dess första- och andraderivata.
Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
f(x)=-0.4x4+2x3+3
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(-0.4x4)+D(2x3)+D(3)
DeriveMonomCo
D(axn)=a⋅nxn−1
f′(x)=-1.6x3+6x2+D(3)
DeriveConst
D(a)=0
f′(x)=-1.6x3+6x2
Vi sätter nu derivatan lika med 0 och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi x-värdena till funktionens stationära punkter.
f′(x)=-1.6x3+6x2
\SubstII{f'(x)}{0}
0=-1.6x3+6x2
\OEk
-1.6x3+6x2=0
Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut x2.
-1.6x3+6x2=0
\DIF
x2(-1.6x)+x2⋅6=0
\BU{x^2}
x2(-1.6x+6)=0
\NPM
x2=0-1.6x+6=0(I)(II)
(I): \SqrtEkv
x=±0-1.6x+6=0
(I): \FRT
x=0-1.6x+6=0
(II): \SubEkv{6}
x=0-1.6x=-6
(II): \DivEkv{(\text{-}1.6)}
x=0x=-1.6-6
(II): Beräkna 1
x1=0x2=3.75
Lösningarna till f′(x)=0 är alltså x=0 och x=3.75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.
f′(x)=-1.6x3+6x2
Derive
Derivera funktion
f′′(x)=D(-1.6x3)+D(6x2)
DeriveMonomCo
D(axn)=a⋅nxn−1
f′′(x)=-4.8x2+12x
Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3.75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.
f′′(x)=-4.8x2+12x
\SubstII{x}{0}
f′′(0)=-4.8⋅02+12⋅0
\BP
f′′(x)=-4.8⋅0+12⋅0
\MF
f′′(x)=0
När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3.75.
f′′(x)=-4.8x2+12x
\SubstII{x}{3.75}
f′′(3.75)=-4.8⋅3.752+12⋅3.75
Beräkna 1
f′′(3.75)=-22.5
Andraderivatan är alltså negativ när x=3.75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. -1, och ett som ligger mellan x=0 och x=3.75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.
| x | f′(x) | = | Tecken |
|---|---|---|---|
| -1 | -1.6⋅(-1)3+6⋅(-1)2 | 7.6 | + |
| 1 | -1.6⋅13+6⋅12 | 4.4 | + |
Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en teckentabell.
| x | 0 | ||
|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | + |
| f(x) | ↗ | Ter. | ↗ |
Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3.75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x=3.75 i funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3.
f(x)=-0.4x4+2x3+3
\SubstII{x}{3.75}
f(3.75)=-0.4⋅3.754+2⋅3.753+3
Beräkna 1
f(3.75)=29.3671875
\AvrDec{2}
f(3.75)≈29.37
Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3.75,29.37).