Yttervinkelsatsen

Vinkeln v är yttervinkel till triangeln. Enligt yttervinkelsatsen betyder det att den är summan av de motstående inre vinklarna. De är 70^(∘) och 58^(∘) så v=70^(∘)+58^(∘)=128^(∘).

Den blå vinkeln på 130^(∘) är yttervinkel. Från yttervinkelsatsen vet vi att den är lika med summan av de motstående inre vinklarna: v+68^(∘)=130^(∘) ⇔ v=62^(∘).

På samma sätt som i föregående deluppgift kan vi använda yttervinkelsatsen för att beräkna v. 60^(∘)-vinkeln är summan av de inre motstående vinklarna, som både är lika med v.

v är alltså 30^(∘).

Vi ritar en godtycklig triangel och förlänger alla sidor åt båda håll.

Vid ett hörn kan vi till triangelns röda innervinkel rita två yttervinklar som i figuren.

Gör vi likadant i triangelns alla tre hörn får vi 2 * 3=6 vinklar. Vinklarna mittemellan räknas inte som yttervinklar eftersom de inte är sidovinklar till triangelns hörn. Vi kan gör på samma sätt oavsett triangelns utseende, så en triangel har alltid 6 yttervinklar.

Vi tänker på samma sätt här. Vi ritar en godtycklig fyrhörning och förlänger alla sidor. Det måste inte vara en rektangel eller kvadrat. Vid ett hörn hittar vi två yttervinklar.

På motsvarande sätt hittar vi två yttervinklar vid fyrhörningens alla fyra hörn. Det blir alltså totalt 2 * 4=8 hörn.

Vi inser att det alltid bildas två yttervinklar i varje hörn eftersom det alltid är två linjer som möts där och därmed finns det två linjer som kan förlängas, vilket ger två olika yttervinklar.

I en tiohörning bildas därför 2 * 10=20 st yttervinklar.

Den gröna vinkeln är en yttervinkel till triangeln. De inre motstående vinklarna är x och en rät vinkel. Summan av dem ska bli 153^(∘) enligt yttervinkelsatsen: x+90^(∘)&=153^(∘) &⇕ x&=63^(∘).

Triangelns nedre vänstra hörn är sidovinkel till 110^(∘). Det betyder att den är 180^(∘)-110^(∘)=70^(∘).

Sedan är x också yttervinkel till triangeln, och de motstående inre vinklarna till den är 45^(∘) och 70^(∘), vilket ger x&=45^(∘)+70^(∘) &=115^(∘).

Det bildas två mindre trianglar där en yttervinkel är 90^(∘). Enligt yttervinkelsatsen blir ∧ ACD+67^(∘) &= 90^(∘) &⇕ ∧ ACD &= 23^(∘). Vinkeln ACB byggs upp av två lika stora vinklar som är 23^(∘). Det betyder att ∧ ACB är 23^(∘)+23^(∘)=46^(∘).

Triangeln är liksidig, vilket betyder att alla sidor är lika långa. Därför är alla vinklar också lika stora dvs. 180^(∘)3=60^(∘).

Nu kan y beräknas på två sätt.

Yttervinkelsatsen

Vinkeln y är yttervinkel till triangeln. Enligt yttervinkelsatsen är den lika med summan av de motstående inre vinklarna.

Därför blir y=60^(∘)+60^(∘)=120^(∘).

Sidovinklar

Vinkeln y är sidovinkel till den närliggande inre vinkeln.

Summan av sidovinklar är alltid 180^(∘) så y=180^(∘)-60^(∘)=120^(∘).

Vi vill hitta värdet på x i den givna triangeln.

För att göra det kommer vi först att påminna oss om en viktig bit information!

Yttervinklar i en triangel |- Måttet på en yttervinkel i en triangel är lika med summan av måtten på dess två avlägsna innervinklar.

Med denna regel kan vi skriva en ekvation i termer av x. 123^(∘)= 92^(∘)+ x^(∘) Nu kan vi lösa denna ekvation för x. För enkelhetens skull kommer vi inte att inkludera gradsymbolen.

Måttet på den saknade vinkeln är 31^(∘).

Vi vill hitta värdet på x i den givna triangeln.

För att göra det kommer vi först att påminna oss om en viktig bit information!

Yttervinklar i en triangel |- Måttet på en yttervinkel i en triangel är lika med summan av måtten på dess två avlägsna innervinklar.

Med denna regel kan vi skriva en ekvation i termer av x. 170^(∘)= x^(∘)+ 125^(∘) Nu kan vi lösa denna ekvation för x. För enkelhetens skull kommer vi inte att inkludera gradsymbolen.

Låt oss analysera den givna triangeln.

Vi kan se att måtten på de inre vinklarna är (x+8)^(∘) och 4x^(∘). Enligt yttervinkelsatsen är måttet på en yttervinkel i en triangel lika med summan av måtten på de två icke-närliggande inre vinklarna. Detta tillåter oss att skriva en ekvation. 7x-16=(x+8)+4x Vi kommer nu att lösa ovanstående ekvation för x.

Nu kan vi sätta in x= 12 i uttrycket 7x-16 för att hitta vinkelns mått. 7( 12)-16=68^(∘) Alltså är måttet på yttervinkeln 68^(∘).