Yttervinkelsatsen

Vinkeln v är yttervinkel till triangeln. Enligt yttervinkelsatsen betyder det att den är summan av de motstående inre vinklarna. De är 70^(∘) och 58^(∘) så v=70^(∘)+58^(∘)=128^(∘).

Den blå vinkeln på 130^(∘) är yttervinkel. Från yttervinkelsatsen vet vi att den är lika med summan av de motstående inre vinklarna: v+68^(∘)=130^(∘) ⇔ v=62^(∘).

På samma sätt som i föregående deluppgift kan vi använda yttervinkelsatsen för att beräkna v. 60^(∘)-vinkeln är summan av de inre motstående vinklarna, som både är lika med v.

v är alltså 30^(∘).

Vi ritar en cirkel och markerar medelpunkten.

Cirkelns rand är den svarta omkretsen på cirkeln. Vi markerar två godtyckliga punkter på randen och förbinder dessa med en sträcka.

Det vi ritat kallas för en korda.

Om vi drar en korda som måste gå igenom cirkelns medelpunkt kommer den alltid att utgöra cirkelns diameter, hur vi än drar den.

Vi ritar en godtycklig triangel och förlänger alla sidor åt båda håll.

Vid ett hörn kan vi till triangelns röda innervinkel rita två yttervinklar som i figuren.

Gör vi likadant i triangelns alla tre hörn får vi 2 * 3=6 vinklar. Vinklarna mittemellan räknas inte som yttervinklar eftersom de inte är sidovinklar till triangelns hörn. Vi kan gör på samma sätt oavsett triangelns utseende, så en triangel har alltid 6 yttervinklar.

Vi tänker på samma sätt här. Vi ritar en godtycklig fyrhörning och förlänger alla sidor. Det måste inte vara en rektangel eller kvadrat. Vid ett hörn hittar vi två yttervinklar.

På motsvarande sätt hittar vi två yttervinklar vid fyrhörningens alla fyra hörn. Det blir alltså totalt 2 * 4=8 hörn.

Vi inser att det alltid bildas två yttervinklar i varje hörn eftersom det alltid är två linjer som möts där och därmed finns det två linjer som kan förlängas, vilket ger två olika yttervinklar.

I en tiohörning bildas därför 2 * 10=20 st yttervinklar.

Den ena kordan kan vi beräkna direkt genom att addera delsträckorna 2,5 och 7 mm: 2,5+7=9,5 mm. Den andra kordan beräknar vi med kordasatsen. Vi kallar den okända delsträckan för x.

Kordasatsen ger oss då en ekvation vi kan lösa.

För att få hela kordans längd adderar vi de två delsträckorna: 2,1875+8=10,1875 ≈ 10,2. Den andra kordan är alltså ca 10,2 mm.

Den ena kordan går genom cirkelns medelpunkt, och är därför en diameter. För att bestämma radien måste vi först beräkna diametern och därefter dividera med 2. Vi kallar den okända delsträckan för x.

Vi bestämmer vi den med kordasatsen.

Diametern är alltså 6,4+3,75 = 10,15 mm, vilket ger att radien blir 10,15/2=5,075 ≈ 5,1 mm.

Vi använder kordasatsen, som säger att om två kordor skär varandra så ska produkten av deras delsträckor ska vara lika. Vi får då en ekvation som vi kan lösa ut a ur.

Sträckan a=2,1 cm.

Vi gör på samma sätt här.

Sträckan x är alltså lika med 12 cm.

För att bestämma längden av kordorna behöver vi bestämma längden på delsträckorna. Den ena kordan blir 3+4=7 le. För att bestämma längden på den andra behöver vi värdet på x. Med hjälp av kordasatsen kan vi ställa upp en ekvation där vi löser ut x.

Eftersom x är en längd måste den vara positiv, så den negativa lösningen till ekvationen är därför inte intressant. Svaret är alltså x=2. Vi går vidare och bestämmer kordans längd också. Delsträckorna på den andra kordan blir 2 och 3*2=6 le.

Den ena kordans längd har vi redan räknat ut, 7 le. Den andra blir 2+6=8

Den gröna vinkeln är en yttervinkel till triangeln. De inre motstående vinklarna är x och en rät vinkel. Summan av dem ska bli 153^(∘) enligt yttervinkelsatsen: x+90^(∘)&=153^(∘) &⇕ x&=63^(∘).

Triangelns nedre vänstra hörn är sidovinkel till 110^(∘). Det betyder att den är 180^(∘)-110^(∘)=70^(∘).

Sedan är x också yttervinkel till triangeln, och de motstående inre vinklarna till den är 45^(∘) och 70^(∘), vilket ger x&=45^(∘)+70^(∘) &=115^(∘).

Det bildas två mindre trianglar där en yttervinkel är 90^(∘). Enligt yttervinkelsatsen blir ∧ ACD+67^(∘) &= 90^(∘) &⇕ ∧ ACD &= 23^(∘). Vinkeln ACB byggs upp av två lika stora vinklar som är 23^(∘). Det betyder att ∧ ACB är 23^(∘)+23^(∘)=46^(∘).

Triangeln är liksidig, vilket betyder att alla sidor är lika långa. Därför är alla vinklar också lika stora dvs. 180^(∘)3=60^(∘).

Nu kan y beräknas på två sätt.

Yttervinkelsatsen

Vinkeln y är yttervinkel till triangeln. Enligt yttervinkelsatsen är den lika med summan av de motstående inre vinklarna.

Därför blir y=60^(∘)+60^(∘)=120^(∘).

Sidovinklar

Vinkeln y är sidovinkel till den närliggande inre vinkeln.

Summan av sidovinklar är alltid 180^(∘) så y=180^(∘)-60^(∘)=120^(∘).