Yttervinkelsatsen

Inuti cirkeln bildas en triangel där 2v är yttervinkel. Summan av de inre motstående vinklarna är 2v enligt yttervinkelsatsen. Det betyder att den vänstra vinkeln i triangeln är v.

Triangeln har alltså två vinklar som är lika stora. Det betyder att den är likbent, så vi kan markera sträckan x på triangelns högra sida.

De två kordorna delar alltså varandra så att delsträckorna blir x, x-3, 0.8x och 2.5. Vi använder kordasatsen för att beräkna x.

Den här andragradsekvationen kan vi lösa med nollproduktmetoden.

Vi får två lösningar på ekvationen, men eftersom x är en sträcka kan den inte vara 0. Därför är x=5.

Om vi kan bestämma en av de gröna vinklarna i stjärnan kan vi beräkna den sammanlagda vinkelsumman genom att multiplicera detta gradtal med 5. Vi börjar med att titta på den inskrivna femhörningen. Den är regelbunden vilket innebär att dess vinklar är lika stora. En femhörning har vinkelsumman 540^(∘) så i varje hörn är vinkeln 540^(∘)/5=108^(∘). Vi markerar dessa vinklar i femhörningen.

Vi tittar nu på ett av stjärnans hörn och bestämmer basvinklarna i den markerade triangeln.

De blå vinklarna utgör sidovinklar till femhörningens vinklar och eftersom dessa är 108^(∘) blir de blå vinklarna 180^(∘)-108^(∘)=72^(∘). Vi använder triangelns vinkelsumma för att ställa upp en ekvation och beräkna den gröna vinkeln i stjärnans översta spets, v.

Den gröna vinkeln i stjärnans ena spets är alltså 36^(∘) och eftersom det finns 5 spetsar totalt blir spetsarnas totala vinkelsumma 5* 36 ^(∘)=180^(∘).

Vi döper stjärnans fem vinklar till a, b, c, d och e. Vi lägger även till vinklarna u och v som är de två andra vinklarna i den mindre triangeln där d finns.

En triangel har som bekant vinkelsumman 180^(∘) vilket ger oss en ekvation. d+v+u = 180^(∘). Vinklarna v och u kan dock bytas ut. De är yttervinklar till varsin triangel i stjärnan. v är yttervinkel mot b och e, och u är yttervinkel till a och c.

Enligt yttervinkelsatsen gäller nu att v=b+e och u = a+c. Genom att sätta in detta i ekvationen vi kom fram till tidigare kan vi bestämma stjärnans vinkelsumma.

Stjärnans vinkelsumma är a+b+c+d+e som alltså är lika med 180^(∘) .

Vi kallar kvadratens sidlängd för x. För att bestämma den utnyttjar vi kordasatsen, som kan användas på fyra ställen i figuren. Vi känner till flest delsträckor för de två skärningspunkterna till vänster, där bara x och den lodräta sträckan längst ner till vänster saknas. Vi kallar den y.

Vi använder den vänstra och översta kordan för att ta fram ett uttryck för y.

Nu använder vi kordasatsen.

Nu har vi ett uttryck för y som bara beror på x så vi ställer upp kordasatsen för det nedre vänstra hörnet.

Nu får vi en likhet som vi kan förenkla till en andragradsekvation på pq-form.

Vi löser nu ekvationen med pq-formeln.

Sidlängden x kan inte vara negativ, vilket innebär att den negativa lösningen är inte intressant. Kvadratens sidlängd är alltså ungefär 2,8 le.