4. Yttervinkelsatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
4.
Yttervinkelsatsen
Lektionen behandlar två centrala begrepp inom klassisk geometri: yttervinkelsatsen och kordasatsen. Yttervinkelsatsen beskriver hur en yttervinkel i en triangel är lika stor som summan av de motstående inre vinklarna. Kordasatsen förklarar förhållandet mellan längderna på fyra kortare sträckor när två kordor skär varandra. Sidan illustrerar dessa begrepp med exempel och visuella representationer, som hur man kan bestämma en vinkel med yttervinkelsatsen eller längden med kordasatsen. Det finns också övningar och lösningar som hjälper till att förstå och tillämpa dessa satsar. Informationen är användbar för studenter som studerar geometri och vill förstå dessa fundamentala koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Yttervinkel
- Yttervinkelsatsen
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Yttervinkel
Om man förlänger en sida i en geometrisk figur bildas en yttervinkel. Exempelvis är den blå vinkeln i figuren en yttervinkel till triangeln. Den är dessutom sidovinkel till den röda.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Making a parallelogram by rotating a triangle
Consider △ ABC, where D and E are the midpoint of AB and AC, respectively. Let ∠ PCA be one exterior angle of △ ABC.
The following applet can be used to visualize how △ ABC can be rotated 180^(∘) about D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Yttervinkelsatsen
Enligt yttervinkelsatsen är en yttervinkel till en triangel lika stor som summan av de motstående inre vinklarna i triangeln.
För vinklarna i figuren ger alltså yttervinkelsatsen följande samband.
y = u + v
Detta kan bevisas med vinkelsumman i triangeln.
Bevis
Yttervinkelsatsen säger att en yttervinkel till en triangel är lika stor som summan av de inre dvs.
x=u+v.
Vi vet att vinkelsumman av en triangel är 180^(∘), vilket betyder att u+v+w=180^(∘). Men w och x är sidovinklar så summan av dem är också 180^(∘), dvs. w+x=180^(∘).
Vinkeln x är alltså summan av u och v.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm vinkel med yttervinkelsatsen
Bestäm vinkel u med yttervinkelsatsen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"u=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["32"]}}
Ledtråd
Använd yttervinkelsatsen.
Lösning
Enligt yttervinkelsatsen är yttervinkeln lika stor som summan av de motstående inre vinklarna i triangeln. I vårt fall ger det oss en ekvation med u som okänd.
Vinkeln u är alltså 32^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Finding the Missing Angle Measure
Dela
Rapportera fel
Översätt
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["180"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["180"]}}
security
report
code
security
report
code
Om vi kan bestämma en av de gröna vinklarna i stjärnan kan vi beräkna den sammanlagda vinkelsumman genom att multiplicera detta gradtal med 5. Vi börjar med att titta på den inskrivna femhörningen. Den är regelbunden vilket innebär att dess vinklar är lika stora. En femhörning har vinkelsumman 540^(∘) så i varje hörn är vinkeln 540^(∘)/5=108^(∘). Vi markerar dessa vinklar i femhörningen.
Vi tittar nu på ett av stjärnans hörn och bestämmer basvinklarna i den markerade triangeln.
De blå vinklarna utgör sidovinklar till femhörningens vinklar och eftersom dessa är 108^(∘) blir de blå vinklarna 180^(∘)-108^(∘)=72^(∘). Vi använder triangelns vinkelsumma för att ställa upp en ekvation och beräkna den gröna vinkeln i stjärnans översta spets, v.
Den gröna vinkeln i stjärnans ena spets är alltså 36^(∘) och eftersom det finns 5 spetsar totalt blir spetsarnas totala vinkelsumma 5* 36 ^(∘)=180^(∘).
Vi döper stjärnans fem vinklar till a, b, c, d och e. Vi lägger även till vinklarna u och v som är de två andra vinklarna i den mindre triangeln där d finns.
En triangel har som bekant vinkelsumman 180^(∘) vilket ger oss en ekvation. d+v+u = 180^(∘). Vinklarna v och u kan dock bytas ut. De är yttervinklar till varsin triangel i stjärnan. v är yttervinkel mot b och e, och u är yttervinkel till a och c.
Enligt yttervinkelsatsen gäller nu att v=b+e och u = a+c. Genom att sätta in detta i ekvationen vi kom fram till tidigare kan vi bestämma stjärnans vinkelsumma.
Stjärnans vinkelsumma är a+b+c+d+e som alltså är lika med 180^(∘) .
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En extern vinkel av en triangel mäter 32^(∘). Vad vet du om måtten på de inre vinklarna? Förklara din resonemang.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":2,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["32","148"]}}
security
report
code
security
report
code
En yttervinkel och dess närliggande vinkel bildar ett linjärt par och är därför supplementära. Alltså, om yttervinkeln är 32^(∘), måste den närliggande vinkeln vara 148^(∘). 180^(∘)-32^(∘) = 148^(∘) Dessutom, enligt yttervinkelsatsen, är måttet på en yttervinkel i en triangel lika med summan av måtten på de två icke-närliggande inre vinklarna. Därför är det enda vi kan säga om de icke-närliggande vinklarna att de summerar till 32^(∘)
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vilka av följande skulle kunna representera måtten av en yttre vinkel och två inre vinklar i en triangel? Välj alla som gäller. A.& 100^(∘); 62^(∘); 38^(∘) B.& 81^(∘); 57^(∘); 24^(∘) C.& 119^(∘); 68^(∘); 49^(∘) D.& 95^(∘); 85^(∘); 28^(∘) E.& 92^(∘); 78^(∘); 68^(∘) F.& 149^(∘); 101^(∘); 48^(∘)
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,5]}
security
report
code
security
report
code
Enligt yttervinkelsatsen är måttet på en yttervinkel i en triangel lika med summan av måtten på de två icke-närliggande innervinklarna. Därför, om summan av de två mindre vinklarna är lika med den större vinkeln, vet vi att uppsättningen kan representera måttet på en yttervinkel och två innervinklar.
| Uppsättning | Summa | = |
|---|---|---|
| A | 62^(∘)+38^(∘) | 100^(∘) |
| B | 57^(∘)+24^(∘) | 81^(∘) |
| C | 68^(∘)+49^(∘) | 117^(∘) |
| D | 85^(∘)+28^(∘) | 113^(∘) |
| E | 78^(∘)+68^(∘) | 146^(∘) |
| F | 101^(∘)+48^(∘) | 149^(∘) |
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Två vinklar i en triangel mäter 64 och 48. Vad är måttet på den största yttre vinkeln av triangeln? Förklara.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["132"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att måtten på två vinklar i en triangel är 64 och 48. Låt oss göra ett diagram som visar detta.
"Triangelns vinkelsumma-sats" säger oss att summan av måtten på vinklarna i en triangel är 180. Detta kan hjälpa oss att bestämma x. 64+48+x=180 ⇔ x=68 Nu när vi vet måtten på alla vinklar i triangeln kan vi betrakta yttervinklarna. Låt oss identifiera dem i diagrammet!
Som vi kan se bildar ∠ 1, ∠ 2 och ∠ 3 linjära par med vinklarna med måtten 64, 68 respektive 48. Därför är summan av måtten på varje linjärt par 180. Detta kan hjälpa oss att bestämma måtten på yttervinklarna. m ∠ 1 + 64=180 ⇔ m ∠ 1 = 116 m ∠ 2 + 68=180 ⇔ m ∠ 2 = 112 m ∠ 3 + 48=180 ⇔ m ∠ 3 = 132 Vi kan se att måttet på den största yttervinkeln i triangeln är 132.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Yttervinkelsatsen
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll