Yttervinkel- och kordasatsen: Cirkelns kordor i matte

I figuren syns en regelbunden femuddig stjärna. Femhörningen inuti stjärnan är regelbunden. Bestäm summan av vinklarna i stjärnans spetsar.

Nedan är en oregelbunden femuddig stjärna. Bestäm samma vinkelsumma som i föregående deluppgift.

Om vi kan bestämma en av de gröna vinklarna i stjärnan kan vi beräkna den sammanlagda vinkelsumman genom att multiplicera detta gradtal med 5. Vi börjar med att titta på den inskrivna femhörningen. Den är regelbunden vilket innebär att dess vinklar är lika stora. En femhörning har vinkelsumman 540^(∘) så i varje hörn är vinkeln 540^(∘)/5=108^(∘). Vi markerar dessa vinklar i femhörningen.

Vi tittar nu på ett av stjärnans hörn och bestämmer basvinklarna i den markerade triangeln.

De blå vinklarna utgör sidovinklar till femhörningens vinklar och eftersom dessa är 108^(∘) blir de blå vinklarna 180^(∘)-108^(∘)=72^(∘). Vi använder triangelns vinkelsumma för att ställa upp en ekvation och beräkna den gröna vinkeln i stjärnans översta spets, v.

Den gröna vinkeln i stjärnans ena spets är alltså 36^(∘) och eftersom det finns 5 spetsar totalt blir spetsarnas totala vinkelsumma 5* 36 ^(∘)=180^(∘).

Vi döper stjärnans fem vinklar till a, b, c, d och e. Vi lägger även till vinklarna u och v som är de två andra vinklarna i den mindre triangeln där d finns.

En triangel har som bekant vinkelsumman 180^(∘) vilket ger oss en ekvation. d+v+u = 180^(∘). Vinklarna v och u kan dock bytas ut. De är yttervinklar till varsin triangel i stjärnan. v är yttervinkel mot b och e, och u är yttervinkel till a och c.

Enligt yttervinkelsatsen gäller nu att v=b+e och u = a+c. Genom att sätta in detta i ekvationen vi kom fram till tidigare kan vi bestämma stjärnans vinkelsumma.

Stjärnans vinkelsumma är a+b+c+d+e som alltså är lika med 180^(∘) .

En extern vinkel av en triangel mäter

3 2^{\circ} .

Vad vet du om måtten på de inre vinklarna? Förklara din resonemang.

En yttervinkel och dess närliggande vinkel bildar ett linjärt par och är därför supplementära. Alltså, om yttervinkeln är 32^(∘), måste den närliggande vinkeln vara 148^(∘). 180^(∘)-32^(∘) = 148^(∘) Dessutom, enligt yttervinkelsatsen, är måttet på en yttervinkel i en triangel lika med summan av måtten på de två icke-närliggande inre vinklarna. Därför är det enda vi kan säga om de icke-närliggande vinklarna att de summerar till 32^(∘)

Vilka av följande skulle kunna representera måtten av en yttre vinkel och två inre vinklar i en triangel? Välj alla som gäller.

A . B . C . D . E . F . 10 0^{\circ}; 6 2^{\circ}; 3 8^{\circ} 8 1^{\circ}; 5 7^{\circ}; 2 4^{\circ} 11 9^{\circ}; 6 8^{\circ}; 4 9^{\circ} 9 5^{\circ}; 8 5^{\circ}; 2 8^{\circ} 9 2^{\circ}; 7 8^{\circ}; 6 8^{\circ} 14 9^{\circ}; 10 1^{\circ}; 4 8^{\circ}

Enligt yttervinkelsatsen är måttet på en yttervinkel i en triangel lika med summan av måtten på de två icke-närliggande innervinklarna. Därför, om summan av de två mindre vinklarna är lika med den större vinkeln, vet vi att uppsättningen kan representera måttet på en yttervinkel och två innervinklar.

Uppsättning	Summa	=
A	62^(∘)+38^(∘)	100^(∘)
B	57^(∘)+24^(∘)	81^(∘)
C	68^(∘)+49^(∘)	117^(∘)
D	85^(∘)+28^(∘)	113^(∘)
E	78^(∘)+68^(∘)	146^(∘)
F	101^(∘)+48^(∘)	149^(∘)

Två vinklar i en triangel mäter

64

och

48 .

Vad är måttet på den största yttre vinkeln av triangeln? Förklara.

Vi vet att måtten på två vinklar i en triangel är 64 och 48. Låt oss göra ett diagram som visar detta.

"Triangelns vinkelsumma-sats" säger oss att summan av måtten på vinklarna i en triangel är 180. Detta kan hjälpa oss att bestämma x. 64+48+x=180 ⇔ x=68 Nu när vi vet måtten på alla vinklar i triangeln kan vi betrakta yttervinklarna. Låt oss identifiera dem i diagrammet!

Som vi kan se bildar ∠ 1, ∠ 2 och ∠ 3 linjära par med vinklarna med måtten 64, 68 respektive 48. Därför är summan av måtten på varje linjärt par 180. Detta kan hjälpa oss att bestämma måtten på yttervinklarna. m ∠ 1 + 64=180 ⇔ m ∠ 1 = 116 m ∠ 2 + 68=180 ⇔ m ∠ 2 = 112 m ∠ 3 + 48=180 ⇔ m ∠ 3 = 132 Vi kan se att måttet på den största yttervinkeln i triangeln är 132.

Yttervinkelsatsen

Förkunskaper

Yttervinkel

Making a parallelogram by rotating a triangle

Yttervinkelsatsen

Bevis

Bestäm vinkel med yttervinkelsatsen

Ledtråd

Lösning

Finding the Missing Angle Measure

Yttervinkelsatsen

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.