Yttervinkelsatsen

Vi börjar med att sätta ut en hjälpvinkel på triangelns sista hörn, som vi kan kalla w.

Eftersom vinklarna w och y är sidovinklar blir summan av dem 180^(∘), dvs. w + y = 180^(∘). Skriver vi om det får vi ett uttryck för w som beror på y: w=180^(∘)-y. Vi vet också att vinkelsumman för en triangel är lika med 180^(∘), dvs. u+v+w=180^(∘). Nu använder vi dessa två samband för att lösa ut vinkeln y.

En funktion y(x) innebär att vi ska hitta ett samband mellan y och x på formen y(x)= något uttryck med x. För att kunna använda yttervinkelsatsen måste vi känna till båda de motstående inre vinklarna till y. Den okända inre vinkeln är en sidovinkel till yttervinkeln 2x, så summan av dem är 180^(∘). Den andra inre vinkeln är alltså 180^(∘) - 2x.

Yttervinkelsatsen ger nu att y(x)=x+180^(∘)-2x. Förenklar vi detta får vi funktionen y(x)=180^(∘)-x.

Vi börjar med att rita upp det vi vet. Diametern AB är en korda som går mellan två punkter A och B på en cirkel och passerar mittpunkten på vägen. Kordan CD ska skära AB i punkten P. Eftersom vi vet att de två delsträckor som CD kommer att delas in i är lika långa, 1,5 cm, bör vi rita CD så att skärningspunkten P hamnar i mitten av den kordan.

Om vi kallar hela diametern för x så vet vi att AP ska vara 14 av x, dvs. x4. Då måste resten av AB, sträckan BP, vara tre fjärdedelar av x, alltså 3x4.

Nu kan vi använda kordasatsen för att få ett samband vi kan lösa ut x ur.

Eftersom en sträcka inte kan vara negativ förkastar vi den negativa lösningen. Vi räknar vidare med detta exakta värde. Den sökta sträckan AP är 34 av detta. Vi skriver in det på räknaren och får då AP=3 * sqrt(12)/4= 2,59807 ... ≈ 2,6 cm.

Två av triangelns ben är radier i cirkeln. Det betyder att de är lika långa, så triangeln är likbent. I likbenta trianglar är basvinklarna lika stora så det finns en 40^(∘)-vinkel till.

Vinkeln y är yttervinkel till triangeln så den är summan av de inre motstående vinklarna. Därför är y=40^(∘)+40^(∘)=80^(∘).

Vi har uttryck för längden av de 4 delsträckorna som bildas. Vi använder kordasatsen för att bestämma x.

Vi löser andragradsekvationen med pq-formeln.

x är en sträcka så den kan inte vara negativ. Därför är x=-0,5 inte rimlig, utan x=2 le.

Nu ser vi att kordorna är 3*2+2=8le. och (2+1)+(2+2)=7 le., varav den längsta är 8 le.

Vi gör på samma sätt och använder kordasatsen.

Nu har vi fått en andragradsekvation. Vi skriver om den till pq-form och använder pq-formeln.

Det finns två lösningar till ekvationen. Ger någon negativa sidlängder? Vi provar att sätta in x=-4 och beräknar delsträckorna i figuren.

Det ger att den ena kordan är -1+(-3)=-4, så vi förkastar den lösningen. Vi sätter in x=-1 och beräknar delsträckorna.

Den längre kordan är alltså 3+8=11 le. och den andra är 6+4=10 le.

Fyrhörningen är uppdelad i två trianglar. Vi kan se den stora vinkeln till vänster som två yttervinklar, den ena till den övre och den andra till den undre triangeln. Vi kallar den övre vinkeln för u och den undre för v.

Enligt yttervinkelsatsen är u summan av de motstående inre vinklarna, dvs. x+22^(∘). På samma sätt är v lika med x + x-86^(∘). Eftersom u+v tillsammans ska bli 285^(∘) kan vi ställa upp en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Vinkeln är alltså 116^(∘).

En bisektris delar en vinkel i två lika stora delar. Det betyder att vinklarna ∧ DBA och ∧ DBC är lika stora. Vi markerar dessa vinklar och kallar dem x.

Triangeln BDC är likbent eftersom BD och CD är lika långa. Därför blir ∧ C också lika med x.

Men även den stora triangeln △ ABC är likbent eftersom AB och BC är lika långa. Därför är även ∧ A lika med x.

Nu har vi uttryck för alla vinklar i triangeln ABC. Vinkelsumman i en triangel är alltid 180^(∘) så vi använder det för att bestämma x.

Vinkeln x är alltså 45^(∘). Men y är ju yttervinkel till triangeln △ BCD. Enligt yttervinkelsatsen blir den därför x + x = 2x.

Vinkeln y är 90^(∘), dvs. det är en rät vinkel.

Vi ritar en triangel. I varje hörn möts två sidor, och förlänger man dem går det att markera två yttervinklar som vi kallar u och v.

Om vi tittar lite mer noggrant på hörnet ser vi att u och v är vertikalvinklar.

Vertikalvinklar är alltid lika stora, så u=v.