4. Yttervinkelsatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
4.
Yttervinkelsatsen
Lektionen behandlar två centrala begrepp inom klassisk geometri: yttervinkelsatsen och kordasatsen. Yttervinkelsatsen beskriver hur en yttervinkel i en triangel är lika stor som summan av de motstående inre vinklarna. Kordasatsen förklarar förhållandet mellan längderna på fyra kortare sträckor när två kordor skär varandra. Sidan illustrerar dessa begrepp med exempel och visuella representationer, som hur man kan bestämma en vinkel med yttervinkelsatsen eller längden med kordasatsen. Det finns också övningar och lösningar som hjälper till att förstå och tillämpa dessa satsar. Informationen är användbar för studenter som studerar geometri och vill förstå dessa fundamentala koncept.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Yttervinkelsatsen
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Yttervinkel
- Yttervinkelsatsen
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Yttervinkel
Om man förlänger en sida i en geometrisk figur bildas en yttervinkel. Exempelvis är den blå vinkeln i figuren en yttervinkel till triangeln. Den är dessutom sidovinkel till den röda.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Making a parallelogram by rotating a triangle
Consider △ ABC, where D and E are the midpoint of AB and AC, respectively. Let ∠ PCA be one exterior angle of △ ABC.
The following applet can be used to visualize how △ ABC can be rotated 180^(∘) about D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Yttervinkelsatsen
Enligt yttervinkelsatsen är en yttervinkel till en triangel lika stor som summan av de motstående inre vinklarna i triangeln.
För vinklarna i figuren ger alltså yttervinkelsatsen följande samband.
y = u + v
Detta kan bevisas med vinkelsumman i triangeln.
Bevis
Yttervinkelsatsen säger att en yttervinkel till en triangel är lika stor som summan av de inre dvs.
x=u+v.
Vi vet att vinkelsumman av en triangel är 180^(∘), vilket betyder att u+v+w=180^(∘). Men w och x är sidovinklar så summan av dem är också 180^(∘), dvs. w+x=180^(∘).
Vinkeln x är alltså summan av u och v.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm vinkel med yttervinkelsatsen
Bestäm vinkel u med yttervinkelsatsen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"u=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["32"]}}
Ledtråd
Använd yttervinkelsatsen.
Lösning
Enligt yttervinkelsatsen är yttervinkeln lika stor som summan av de motstående inre vinklarna i triangeln. I vårt fall ger det oss en ekvation med u som okänd.
Vinkeln u är alltså 32^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Finding the Missing Angle Measure
Dela
Rapportera fel
Översätt
Yttervinkelsatsen
Uppgift 2.1
Använd figuren för att bevisa yttervinkelsatsen, dvs. att y=u+v.
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att sätta ut en hjälpvinkel på triangelns sista hörn, som vi kan kalla w.
Eftersom vinklarna w och y är sidovinklar blir summan av dem 180^(∘), dvs. w + y = 180^(∘). Skriver vi om det får vi ett uttryck för w som beror på y: w=180^(∘)-y. Vi vet också att vinkelsumman för en triangel är lika med 180^(∘), dvs. u+v+w=180^(∘). Nu använder vi dessa två samband för att lösa ut vinkeln y.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Ställ upp en funktion y(x) på enklaste form utifrån vinklarna i figuren.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["180-x"]}}
security
report
code
security
report
code
En funktion y(x) innebär att vi ska hitta ett samband mellan y och x på formen y(x)= något uttryck med x
. För att kunna använda yttervinkelsatsen måste vi känna till båda de motstående inre vinklarna till y. Den okända inre vinkeln är en sidovinkel till yttervinkeln 2x, så summan av dem är 180^(∘). Den andra inre vinkeln är alltså 180^(∘) - 2x.
Yttervinkelsatsen ger nu att y(x)=x+180^(∘)-2x. Förenklar vi detta får vi funktionen y(x)=180^(∘)-x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm vinkeln y.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["80"]}}
security
report
code
security
report
code
Två av triangelns ben är radier i cirkeln. Det betyder att de är lika långa, så triangeln är likbent. I likbenta trianglar är basvinklarna lika stora så det finns en 40^(∘)-vinkel till.
Vinkeln y är yttervinkel till triangeln så den är summan av de inre motstående vinklarna. Därför är
y=40^(∘)+40^(∘)=80^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I figuren är hela den markerade yttervinkeln till fyrhörningen 284^(∘). Bestäm vinkeln x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["116"]}}
security
report
code
security
report
code
Fyrhörningen är uppdelad i två trianglar. Vi kan se den stora vinkeln till vänster som två yttervinklar, den ena till den övre och den andra till den undre triangeln. Vi kallar den övre vinkeln för u och den undre för v.
Enligt yttervinkelsatsen är u summan av de motstående inre vinklarna, dvs. x+22^(∘). På samma sätt är v lika med x + x-86^(∘). Eftersom u+v tillsammans ska bli 285^(∘) kan vi ställa upp en ekvation som vi kan lösa ut x ur.
Vinkeln är alltså 116^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sträckan BD är en bisektris. Hur stor är vinkeln y?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["90"]}}
security
report
code
security
report
code
En bisektris delar en vinkel i två lika stora delar. Det betyder att vinklarna ∧ DBA och ∧ DBC är lika stora. Vi markerar dessa vinklar och kallar dem x.
Triangeln BDC är likbent eftersom BD och CD är lika långa. Därför blir ∧ C också lika med x.
Men även den stora triangeln △ ABC är likbent eftersom AB och BC är lika långa. Därför är även ∧ A lika med x.
Nu har vi uttryck för alla vinklar i triangeln ABC. Vinkelsumman i en triangel är alltid 180^(∘) så vi använder det för att bestämma x.
Vinkeln x är alltså 45^(∘). Men y är ju yttervinkel till triangeln △ BCD. Enligt yttervinkelsatsen blir den därför x + x = 2x.
Vinkeln y är 90^(∘), dvs. det är en rät vinkel.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I ett hörn i en triangel kan man skapa två yttervinklar. Är de lika stora?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi ritar en triangel. I varje hörn möts två sidor, och förlänger man dem går det att markera två yttervinklar som vi kallar u och v.
Om vi tittar lite mer noggrant på hörnet ser vi att u och v är vertikalvinklar.
Vertikalvinklar är alltid lika stora, så u=v.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Yttervinkelsatsen
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll