Undersökningar: Stickprov och slumpmässiga urval

Lärare	Antal	Andel	$=$
Manliga	$48$	$\frac{4 8}{6 4}$	$0.75$
Kvinnliga	$16$	$\frac{1 6}{6 4}$	$0.25$

Lärare	Andel	Antal	$=$
Manliga	$0.75$	$0.75 \cdot 8$	$6$
Kvinnliga	$0.25$	$0.25 \cdot 8$	$2$

Ett företag som tillverkar digitala bastutermometrar vill veta hur många i deras dagsproduktion som förväntas vara trasiga. De gör ett slumpmässigt urval på $660$ termometrar varav $33$ är trasiga. VD:n utbrister:

Detta innebär att ca 4000 av vår dagliga produktion är trasiga. Denna siffra får högst vara 1500! Hur många termometrar får som mest vara trasiga i nästa stickprov om VD:n ska bli nöjd? Nästa stickprov är lika stort som det första.

Vi börjar med att beräkna dagsproduktionen. 660 termometrar ingår i stickprovet och av dessa är 33 trasiga. Vi sätter in dessa värden i andelsformeln för att bestämma hur många procent det motsvarar.

Av stickprovet är 5 % av termometrarna trasiga. Eftersom urvalet gjordes slumpmässigt utgår vi ifrån att detta gäller för hela populationen av termometrar. Delar vi 4000 med den totala dagsproduktionen av termometrar, dvs. det hela, ska vi alltså få 0.05.

Enligt VD:n ska högst 1500 st. i dagsproduktionen vara trasiga, dvs. 150080 000. Slår vi det på räknaren får vi 0.01875, vilket motsvarar ca 1.9 %. Detta ska även gälla för stickprovet på 660 termometrar, vilket innebär max 0.01875 * 660=12.375 st. Halva termometrar kan inte vara trasiga. Om 13 termometrar är trasiga överstiger företaget fortfarande VD's krav. Vi avrundar alltså nedåt så högst 12 termometrar av stickprovet får vara trasiga.

I en husdjurförening har

60 %

av medlemmarna katt och

40 %

hund. I en undersökning ställdes ett antal frågor till

20

av medlemmarna. När klubbens ordförande får resultatet ser hon att det var

12

kattägare och

8

hundägare som svarade. Hon påstår att urvalet då måste ha varit stratifierat. Stämmer det?

Vi börjar med att undersöka om urvalet stämmer överens med vad man kan förvänta sig om det faktiskt är stratifierat. Vi vet att 60 % av medlemmarna har katt, och då bör även 60 % av urvalet vara det, alltså 0.60 * 20 = 12medlemmar. 40 % av medlemmarna var hundägare och ett stratifierat urval bör då innehålla 0.40 * 20 = 8medlemmar. Detta stämmer precis överens med undersökningen, så urvalet kan mycket väl ha varit stratifierat. Men kan vi veta det säkert? Nej, det kan ha varit ett obundet slumpmässigt urval men att urvalet ändå fick denna fördelning av en slump. Svaret är alltså nej, det går inte säkert att avgöra om det var stratifierat.

En förskola är uppdelad i två avdelningar: A och B. Barnens könsfördelning framgår av tabellen.

Avdelning	Elever	Andel flickor	Andel pojkar
A	$400$	$70 %$	$30 %$
B	$250$	$30 %$	$70 %$

En stickprovsundersökning ska genomföras bland barnen där $100$ personer ska ingå i stickprovet.

Hur många personer från avdelning A ska ingå om det stratifierade urvalet istället görs med hänsyn till antalet barn på avdelningarna?

Vi ska göra ett stratifierat urval utifrån kön, vilket innebär att andelen pojkar och flickor i urvalet ska spegla andelen pojkar och flickor som går på förskolan. Dessa andelar kan beräknas med andelsformeln. I formeln utgör delen antalet pojkar respektive flickor på skolan och det hela är det totala antalet barn.

Totala antalet elever

Det totala antalet barn är summan av antalet barn på respektive avdelning, dvs. 400+250=650 stycken.

Antalet flickor

Antalet flickor på förskolan är summan av 70 % av 400 från avdelning A och 30 % av 250 från avdelning B. Det totala antalet flickor är alltså 0.7 * 400 + 0.3 * 250 = 355.

Antalet pojkar

På samma sätt kan antalet pojkar på förskolan bestämmas. Det är dock enklare att bara subtrahera 355 från 650 vilket ger 650-355 = 295 pojkar.

Andelen pojkar respektive flickor

Genom att dela antalet av respektive kön med det totala antalet barn kan vi bestämma andelen pojkar och flickor på förskolan: Andel pojkar=295/650 Andel flickor=355/650. När vi vet könsfördelningen på förskolans barn beräknar vi hur många flickor respektive pojkar som ska ingå i urvalet genom att multiplicera andelarna med urvalets storlek, dvs. 100. Vi avrundar resultaten till heltal.

Kön	Antal	Andel	Urval	≈
Flickor	355	355/650	355/650 * 100	55
Pojkar	295	295/650	295/650 * 100	45

Urvalet ska bestå av 55 flickor och 45 pojkar.

Vi använder fortfarande andelsformeln för att bestämma urvalets fördelning. Det hela är fortfarande det totala antalet elever på skolan. Delen däremot utgör nu antalet barn på respektive avdelning som vi från tabellen kan läsa av till 400 och 250 för avdelning A och B.

Avdelning	Elever	Andel	Urval	≈
A	400	400/650	400/650 * 100	62
B	250	250/650	250/650 * 100	38

När man stratifierar stickprovet utifrån avdelningarnas storlek ska man välja 62 barn från avdelning A och 38 barn från avdelning B.

År

2016

genomfördes en stickprovsundersökning där man frågade

800

svenskar om de röker eller inte. Av dessa svarade

168

att de röker. Samtidigt gjordes en likadan undersökning i Danmark där man ställde samma fråga till

600

danskar. Av dem svarade

102

personer att de röker. År

2016

var befolkningen i Sverige ungefär

10

miljoner och i Danmark

5.7

miljoner. Hur stor andel av Sverige och Danmarks sammanlagda befolkning kan vi förvänta oss röker? Svara i hela procent.

Om stickproven är representativa för hela populationen ska de ha samma andel rökare som för befolkningen som helhet. Vi räknar ut andelen rökare i stickproven genom att dividera antalet rökare med antalet personer i undersökningen. För Sverige får vi 168/800 = 0.21, alltså 21 %. Samma uträkning för Danmark ger 102/600 = 0.17. Vi får alltså anta att 21 % av svenskarna och 17 % av danskarna är rökare. För att bestämma andelen rökare i Sveriges och Danmarks sammanlagda befolkning kombinerar vi de två populationerna. Vi beräknar först totala antalet rökare i Sverige och Danmark, i miljoner.

3.069 miljoner röker totalt i Sverige och Danmark, av totalt 10 + 5.7 = 15.7 miljoner. Vi beräknar totala andelen rökare genom att dividera mängden rökare med totala antalet invånare: 3.069/15.7 = 0.19547... ≈ 0.20. Av den totala befolkningen i Sverige och Danmark kan vi alltså vänta oss att ungefär 20 % röker.

Undersökningar

Mathleaks

Förkunskaper

Statistiska undersökningar

Statistiskt urval

Exempel

Avgör typ av urval och bestäm stickprovets storlek