Undersökningar

Vi börjar med att beräkna dagsproduktionen. 660 termometrar ingår i stickprovet och av dessa är 33 trasiga. Vi sätter in dessa värden i andelsformeln för att bestämma hur många procent det motsvarar.

Av stickprovet är 5 % av termometrarna trasiga. Eftersom urvalet gjordes slumpmässigt utgår vi ifrån att detta gäller för hela populationen av termometrar. Delar vi 4 000 med den totala dagsproduktionen av termometrar, dvs. det hela, ska vi alltså få 0,05.

Enligt VD:n ska högst 1 500 st. i dagsproduktionen vara trasiga, dvs. 1 50080 000. Slår vi det på räknaren får vi 0,01875, vilket motsvarar ca 1,9 %. Detta ska även gälla för stickprovet på 660 termometrar, vilket innebär max 0,01875 * 660=12,375 st. Halva termometrar kan inte vara trasiga. Om 13 termometrar är trasiga överstiger företaget fortfarande VD's krav. Vi avrundar alltså nedåt så högst 12 termometrar av stickprovet får vara trasiga.

Vi börjar med att undersöka om urvalet stämmer överens med vad man kan förvänta sig om det faktiskt är stratifierat. Vi vet att 60 % av medlemmarna har katt, och då bör även 60 % av urvalet vara det, alltså 0,60 * 20 = 12medlemmar. 40 % av medlemmarna var hundägare och ett stratifierat urval bör då innehålla 0,40 * 20 = 8medlemmar. Detta stämmer precis överens med undersökningen, så urvalet kan mycket väl ha varit stratifierat. Men kan vi veta det säkert? Nej, det kan ha varit ett obundet slumpmässigt urval men att urvalet ändå fick denna fördelning av en slump. Svaret är alltså nej, det går inte säkert att avgöra om det var stratifierat.

Urvalets storlek är 53+32=85. Om det är stratifierat med hänsyn till medborgarskap ska andelen norska respektive danska medarbetare vara lika stort i urvalet som på arbetsplatsen. Vi beräknar först andelarna på arbetsplatsen med andelsformeln: Andel norska&=1254/1650= 76 % Andel danska&=396/1650 = 24 %, och sedan jämför vi med andelarna i urvalet: Andel norska&=53/85≈ 62 %, Andel danska&=32/85 ≈ 38 %. Då andelarna inte är samma är urvalet inte stratifierat.

Stickprovets storlek är oförändrad, 85 personer. För att göra det stratifierat i förhållande till populationens medborgarskap ska 76 % av personerna i urvalet vara norska och 24 % danska. Om vi kallar antalet norska medarbetare för x får vi ekvationen x85=0,76.

Antalet norska medarbetare i urvalet ska vara 65 vilket ger att 85-65=20 ska vara danska.

Vi ska göra ett stratifierat urval utifrån kön, vilket innebär att andelen pojkar och flickor i urvalet ska spegla andelen pojkar och flickor som går på förskolan. Dessa andelar kan beräknas med andelsformeln. I formeln utgör delen antalet pojkar respektive flickor på skolan och det hela är det totala antalet barn.

Totala antalet elever

Det totala antalet barn är summan av antalet barn på respektive avdelning, dvs. 400+250=650 stycken.

Antalet flickor

Antalet flickor på förskolan är summan av 70 % av 400 från avdelning A och 30 % av 250 från avdelning B. Det totala antalet flickor är alltså 0,7 * 400 + 0,3 * 250 = 355.

Antalet pojkar

På samma sätt kan antalet pojkar på förskolan bestämmas. Det är dock enklare att bara subtrahera 355 från 650 vilket ger 650-355 = 295 pojkar.

Andelen pojkar respektive flickor

Genom att dela antalet av respektive kön med det totala antalet barn kan vi bestämma andelen pojkar och flickor på förskolan: Andel pojkar=295/650 Andel flickor=355/650. När vi vet könsfördelningen på förskolans barn beräknar vi hur många flickor respektive pojkar som ska ingå i urvalet genom att multiplicera andelarna med urvalets storlek, dvs. 100. Vi avrundar resultaten till heltal.

Urvalet ska bestå av 55 flickor och 45 pojkar.

Vi använder fortfarande andelsformeln för att bestämma urvalets fördelning. Det hela är fortfarande det totala antalet elever på skolan. Delen däremot utgör nu antalet barn på respektive avdelning som vi från tabellen kan läsa av till 400 och 250 för avdelning A och B.

När man stratifierar stickprovet utifrån avdelningarnas storlek ska man välja 62 barn från avdelning A och 38 barn från avdelning B.

Om stickproven är representativa för hela populationen ska de ha samma andel rökare som för befolkningen som helhet. Vi räknar ut andelen rökare i stickproven genom att dividera antalet rökare med antalet personer i undersökningen. För Sverige får vi 168/800 = 0,21, alltså 21 %. Samma uträkning för Danmark ger 102/600 = 0,17. Vi får alltså anta att 21 % av svenskarna och 17 % av danskarna är rökare. För att bestämma andelen rökare i Sveriges och Danmarks sammanlagda befolkning kombinerar vi de två populationerna. Vi beräknar först totala antalet rökare i Sverige och Danmark, i miljoner.

3,069 miljoner röker totalt i Sverige och Danmark, av totalt 10 + 5,7 = 15,7 miljoner. Vi beräknar totala andelen rökare genom att dividera mängden rökare med totala antalet invånare: 3,069/15,7 = 0,19547... ≈ 0,20. Av den totala befolkningen i Sverige och Danmark kan vi alltså vänta oss att ungefär 20 % röker.

Vi vill veta den genomsnittliga längden på sjundeklassare i Sverige. Vi vill avgöra om vi ska undersöka populationen eller ett urval. Låt oss börja med att komma ihåg några fakta om populationen och ett urval.

I det här fallet består populationen av alla sjundeklassare i Sverige. Vi vet att det är opraktiskt att studera varje elev. Det betyder att vi bör använda ett urval för att uppskatta den genomsnittliga längden på sjundeklassare i Sverige.

Vi vill veta vilka favorittyper av musik som eleverna i vår klass har. Vi vill avgöra om vi ska undersöka populationen eller ett urval. Låt oss börja med att komma ihåg några fakta om populationen och ett urval.

I det här fallet består populationen av alla elever i vår klass. Vi vet att antalet elever i vår klass inte är tillräckligt stort för att göra undersökningen svår. Det betyder att vi bör undersöka en population för att fastställa vilka favorittyper av musik som eleverna i vår klass har.

Vi vill uppskatta antalet miljövetare i vår stat som föredrar återvinning. Vi vet att vi ber 20 slumpmässigt utvalda forskare från vår stat att ange sitt favoritsätt att eliminera avfall. Vi vet också att det finns 200 forskare i vår stat. Låt oss titta på resultaten av undersökningen i tabellen!

Vi kan se att av 20 forskare i urvalet föredrar 2 forskare återvinning. Slutligen kan vi använda en proportionstabell för att uppskatta antalet forskare som föredrar återvinning.

Vi kan se att förhållandet mellan antalet forskare i urvalet och det totala antalet forskare är 10. Vi kan också se att vi kan uppskatta antalet forskare som föredrar återvinning genom att beräkna produkten av antalet forskare från urvalet som föredrar återvinning, 2, och förhållandet 10. Totalt antal anställda (Föredrar återvinning) 2* 10=20 Vi kan förutspå att cirka 20 forskare i vår stat föredrar återvinning.

Låt oss ta en titt på det givna cirkeldiagrammet. Detta diagram visar resultaten av en undersökning där 60 000 tonåringar deltog.

Vi vill förutsäga antalet tonåringar som skulle köpa en musik-CD om de fick 200 kronor. Vi kan se i vårt diagram att 32 % av de tillfrågade tonåringarna skulle köpa en musik-CD. Om det finns ungefär 28 miljoner tonåringar i Sverige, måste vi hitta 32 % av 28 för att hitta antalet miljoner tonåringar som skulle köpa en CD. Låt oss använda procentekvationen. p^(del)=0,32_(procent)*28^(helhet) ⇕ p=8,96 Vi kan förutsäga att ungefär 8,96 miljoner tonåringar skulle köpa en musik-CD om de fick 200 kronor.

Vi får veta att 3 av varje 10 elever i åldern 6 till 14 har en tidningsprenumeration. Låt oss skriva om denna proportion som en procentandel. 3av varje 10 ⇕ 3/10eller 30 % Vi vill förutsäga antalet elever i Annabelles klass som har en tidningsprenumeration. Om det finns 30 elever i Annabelles klass, då behöver vi hitta 30 % av 30. Låt oss använda den procentuella ekvationen. p^(del)=0,30_(procent)*30^(helhet) ⇕ p=9 Vi kan förutsäga att ungefär 9 elever i Annabelles klass kommer att ha en tidningsprenumeration.

I en tidigare övning fann vi att sannolikheten att Luther vinner nästa spel är 60 %. Vi vill förutsäga antalet gånger han kommer att vinna om han spelar 60 spel med sina vänner. För att göra detta måste vi hitta 60 % av 60. Låt oss använda procentekvationen. p^(del)=0,60_(procent)*60^(helhet) ⇕ p=36 Vi kan förutsäga att Luther kommer att vinna ungefär 36 av 60 spel.