3. Träddiagram och komplementhändelser
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
3.
Träddiagram och komplementhändelser
Lektionen fokuserar på att förklara koncepten träddiagram och komplementhändelser inom matematik, särskilt i samband med sannolikhet. Träddiagram används för att visualisera olika möjliga utfall i en sannolikhetsmodell, medan komplementhändelser hjälper till att beräkna sannolikheten för att en viss händelse inte inträffar. Dessa verktyg är viktiga inom statistik och sannolikhetsteori och används ofta i olika vetenskapliga och affärssammanhang. Sidan erbjuder en djupgående förståelse av dessa begrepp och visar hur de kan tillämpas i praktiken, vilket gör den till en värdefull lektionen för studenter och lärare.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Träddiagram och komplementhändelser
Sida av 7
Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Addition av sannolikheter
- Träddiagram
- Utfallsmatris
- Komplementhändelse
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Addition av sannolikheter
För två händelser, A och B, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.
P(AellerB)=P(A)+P(B)
Bevis
Informell motiveringMan kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en 1:a är 16 eftersom det finns 1 gynnsamt utfall av 6 möjliga. För händelsen att antingen slå en 1:a eller en 2:a ökar antalet gynnsamma utfall till 2 så sannolikheten blir 26.
Genom att dela upp sannolikheten för att slå en 1:a eller 2:a från 26 till 16+ 16 kan man se att sambandet gäller. 16 är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att P(1:a eller2:a) = P(1:a) + P(2:a).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Träddiagram
Ett träddiagram visar alla möjliga utfall i ett slumpförsök som består av flera steg, till exempel att kasta en tärning två gånger. Diagrammet består av noder och grenar som visar varje val eller händelse.
- Noder: Varje nod representerar ett specifikt utfall i försöket.
- Grenar: En gren kopplar ihop två noder. Från varje nod kan det gå flera grenar som visar olika möjliga fortsättningar.
För att skapa ett träddiagram som visar alla möjliga utfall när man kastar en tärning två gånger, börjar man med en rotnod. Från denna nod ritar man en gren för varje möjligt utfall av det första kastet. I slutet av varje gren skapar man en ny nod som representerar resultatet av det kastet.
Oavsett vilket resultat man får vid det första kastet, finns det sex möjliga utfall även vid det andra kastet. Därför ritas sex grenar från varje nod efter det första kastet, som leder till noder för de möjliga utfallen av det andra kastet.
Slutnoderna i träddiagrammet visar alla möjliga utfall i detta experiment — totalt 36 stycken. Sannolikheten att få två ettor när man kastar en tärning två gånger är då 1/36, eftersom det bara finns ett gynnsamt utfall för den händelsen. Detta motsvaras av den allra första grenen i träddiagrammet.
P(1och1)=1/36
Denna sannolikhet kan också beräknas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra. Sannolikheten att slå en etta på kast 1 är 1/6. Samma sannolikhet gäller för att få en etta på kast 2.
P(1och1) = P(1) * P(1)
Substitute
P(1)= 1/6
P(1och1) = 1/6 * 1/6
MultFrac
Multiplicera bråk
P(1och1) = 1/36
Denna regel gäller endast när den ena händelsen inte påverkar den andra. Om sannolikheten för händelse A är P(A) och sannolikheten för händelse B är P(B), då är sannolikheten att både A och B inträffar lika med produkten av deras individuella sannolikheter:
P(AochB) = P(A) * P(B)
Träddiagram hjälper till att räkna ut sannolikheter i flerstegsexperiment. Genom att skriva sannolikheter på grenarna ser man hur de kombineras. Om man multiplicerar sannolikheterna längs en gren, kan man snabbt beräkna sannolikheten för ett visst utfall.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Beräkna sannolikhet med träddiagram
Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 1--8 och i det andra finns bokstäverna A--H.
Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3}{8}"]}}
Ledtråd
Rita ett träddiagram som representerar situationen.
Lösning
Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är 4 av de 8 siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är
P(U)= 4 8 = 12. På andra hjulet är 6 av de 8 bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är P(K)= 68= 34.
För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet: P(U,K)= 12* 34= 38.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Utfallsmatris
Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 2:a och en 5:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 2 gynnsamma utfall.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Komplementhändelse
Om en händelse, kallad A, är att slå 4:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 4:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet c uppe till höger: A^c. För A är komplementhändelsen A^c att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6.
Antingen inträffar händelsen A eller dess komplementhändelse, A^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.
P(A)+P(A^c)=1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är komplementhändelsen?
Eloise köper 5 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, A^c, om A är händelsen att alla lotter är nitlotter?
Svar
Minst ett av de fem skraplotterna vinner.
Ledtråd
Överväg alla möjliga utfall.
Lösning
För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper 5 lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till 5 vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få 0, 1, 2, 3, 4eller5vinstlotter.
Vi vet att händelse A är att alla är nitlotter, dvs. att hon får 0 vinstlotter. Komplementhändelsen, A^c, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter. Enklare uttryckt är A^c alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Träddiagram och komplementhändelser
Uppgifter
När Björn skjuter med sin pilbåge är sannolikheten att han träffar målet 0,8. Han skjuter två pilar mot en måltavla. Vad är sannolikheten att båda skotten träffar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"P(tr\u00e4ff,tr\u00e4ff)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,64"]}}
security
report
code
security
report
code
Oavsett om Björn träffar det första skottet eller inte kommer sannolikheten inte att förändras nästa gång han skjuter. Det är fortfarande 80 % chans att han träffar tavlan och 20 % risk att han missar. Vi ritar ett träddiagram.
Vi markerar två träffar i rad i träddiagrammet.
Sannolikheten för att få två träffar i rad beräknar vi genom att multiplicera sannolikheterna längs med den röda vägen: P(T,T)=0,8* 0,8=0,64. Sannolikheten att Björn träffar båda sina skott är 0,64.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"%","answer":{"text":["19"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Po\u00e4ngsumman 3","Po\u00e4ngsumman 8"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi ritar ett utfallsrum och markerar alla utfall där poängsumman är 4 eller 9.
Det finns 7 utfall där poängsumman blir 4 eller 9. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln. Det totala antalet utfall är 36.
Sannolikheten är alltså ca 19 %.
Vi markerar de två händelserna i ett utfallsrum.
Det finns 2 utfall som ger poängsumman tre, medan 5 utfall ger poängsumman åtta. Det totala antalet utfall är 36 för båda händelser så poängsumman åtta är mer sannolik eftersom de gynnsamma utfallen är fler.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,36"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,48"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi markerar händelsen att ta upp två gröna kulor i träddiagrammet.
Sannolikheten för denna händelse kan beräknas genom att multiplicera sannolikheterna längs den markerade grenen i träddiagrammet: P(G,G)=0,6* 0,6=0,36. Sannolikheten att han tar två gröna kulor är 0,36.
Det finns två sätt för Stannis att plocka två olika kulor. Antingen tar han först en grön och sedan en blå. Eller så tar han först en blå och sedan en grön. Vi markerar dessa utfall i träddiagrammet.
Sannolikheten för de olika händelserna beräknas genom att multiplicera sannolikheterna längs med grenarna: P(G,B)=0,6* 0,4 och P(B,G)=0,4* 0,6 Sannolikheten för att någon av dessa händelser inträffar är summan av deras individuella sannolikheter.
Sannolikheten är alltså 0,48 att Stannis plockar två kulor med olika färg.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I ett lotteri finns tre typer av lotter: NIT, VINST10KR och VINST20KR. Vi låter händelsen A vara att man vinner 10 kr. Vad är komplementhändelsen?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["NIT","VINST 10 kr","VINST 20 kr"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,2]}
security
report
code
security
report
code
Om man inte vinner 10 kr så drar man antingen en nitlott eller vinner 20 kr. Därför blir komplementhändelsen: A^c=NIT eller VINST 20KR.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"multichoice","form":{"alts":["1 prick","2 prickar","3 prickar","4 prickar","5 prickar","6 prickar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,2]}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["1 prick","2 prickar","3 prickar","4 prickar","5 prickar","6 prickar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0]}
security
report
code
security
report
code
Utfallsrummet när man kastar en tärning är: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Något av dessa utfall måste inträffa och om vi inte får 4, 5 eller 6 måste vi få 1, 2 eller 3 prickar. Om vi kallar händelsen att få 4, 5 eller 6 vid ett tärningskast för A blir komplementhändelsen A^c = 1, 2 eller 3 prickar
Minst poängtalet 2 inkluderar utfallen 2, 3, 4, 5 och 6. Denna händelse är B. Utöver dessa kan man slå poängtalet 1 så komplementhändelsen till B blir
B^c= 1 prick.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"utfall","answer":{"text":["1296"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"utfall","answer":{"text":["3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"%","answer":{"text":["8"]}}
security
report
code
security
report
code
Det totala utfallsrummet beräknas genom att multiplicera utfallsrummen med varandra. Varje tärning har sex möjliga sidor och genom att multiplicera dessa kan vi beräkna det totala utfallsrummet när man kastar fyra tärningar: 6* 6* 6* 6=1296.
För att få poängsumman 4 måste den ena tärningen visa 3 och den andra 1 eller vice versa. Vi får även poängsumman 4 om båda skulle visa 2.
Det finns alltså tre gynnsamma utfall.
Sannolikhet beräknas med sannolikhetsformeln. I det här fallet är antalet gynnsamma utfall 3 och antalet möjliga utfall 36. Vi sätter in detta i formeln.
Sannolikheten att få poängsumman 4 är ca 8 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Med en specialtillverkad tärning är sannolikheten för de olika utfallen inte samma. Bland annat är sannolikheten för att få en trea 30 %. Vad är sannolikheten för att få nåt annat än en trea? Svara i decimalform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,7"]}}
security
report
code
security
report
code
Att inte få en trea är komplementhändelse till att få en trea. Summan av dessa sannolikheter är därför 1. Vi sätter in sannolikheten för att få en trea i formeln för komplementhändelse.
Sannolikheten att inte få en trea är 0,7.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En sommardag står det i tidningen att sannolikheten för temperaturen 25^(∘)C eller mer är 38 %. Vad är sannolikheten för komplementhändelsen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["62"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att sannolikheten för att det blir minst 25^(∘)C eller mer är 38 % = 0,38. Vi använder att summan av sannolikheterna för A och A^c är 1.
Sannolikheten för komplementhändelsen är 62 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sannolikheten att vinna mer än tusen kr i lotteriet VINSTCHANSEN
är 0,002. Vad är sannolikheten för komplementhändelsen? Svara i procent med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["99,8"]}}
security
report
code
security
report
code
Komplementhändelsen till att vinna mer än tusen kr är det som händer om man inte vinner mer än 1 000 kr. Det är alltså att man vinner högst 1 000 kr eller att man drar en nitlott. Om vi kallar händelsen att vinna mer än 1 000 kr för A kan komplementhändelsen skrivas A^c=som mest 1 000 kr eller nitlott. Vi vet att sannolikheten för mer än tusen kr i vinst är 0,002. Summan av sannolikheterna för A och A^c är 1. Vi använder det för att bestämma P(A^c).
Sannolikheten för komplementhändelsen är 99,8 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sannolikheten att ett trafikljus visar rött eller gult ljus är 0,55 respektive 0,08. Vad är sannolikheten att trafikljuset visar grönt? Svara i procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["37"]}}
security
report
code
security
report
code
Summeras sannolikheterna för rött, gult och grönt blir det 1. Det finns ju inga andra möjliga utfall så sannolikheten att någon av dem inträffar måste vara 100 %.
Sannolikheten att trafikljuset visar grönt är 37 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Träddiagram och komplementhändelser
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll