{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Addition av sannolikheter
  • Träddiagram
  • Utfallsmatris
  • Komplementhändelse

Förkunskaper

Teori

Addition av sannolikheter

För två händelser, och som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.


Bevis

Man kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en är eftersom det finns gynnsamt utfall av möjliga. För händelsen att antingen slå en eller en ökar antalet gynnsamma utfall till så sannolikheten blir

Genom att dela upp sannolikheten för att slå en eller från till kan man se att sambandet gäller. är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att
Teori

Träddiagram

Ett träddiagram illustrerar alla möjliga utfall av ett experiment som involverar flera steg, som att kasta en tärning två gånger. Det består huvudsakligen av noder och grenar.

  • Noder: Varje nod representerar ett visst utfall.
  • Grenar: En gren kopplar samman två noder. Flera grenar kan sträcka sig från varje nod och visa olika möjligheter.
För att skapa ett träddiagram som visar alla möjliga utfall när man kastar en tärning två gånger, börja med en rotnod. Från denna rot, rita grenar för varje möjligt utfall av det första kastet. I slutet av varje gren, skapa en ny nod för att representera varje utfall.
Sex grenar sträcker sig från en rotnod, där varje gren representerar ett tärningskast: 1, 2, 3, 4, 5 och 6.
Oavsett vad resultatet av det första kastet är, finns det också sex olika utfall vid det andra kastet. Således sträcker sig sex grenar från varje möjligt utfall av det första kastet för att koppla det till noderna som representerar utfallen av det andra kastet.
Ett träddiagram som visar utfallen när man kastar en tärning två gånger: sex grenar utgår från rotnoden för det första kastet, och var och en av dessa grenar delar sig i ytterligare sex för det andra kastets utfall.
Slutnoderna visar alla möjliga utfall av detta experiment, vilka är Av detta är sannolikheten att få två ettor när man kastar en tärning två gånger eftersom det endast finns ett gynnsamt utfall för denna händelse. Detta representeras av den vänstra grenen i träddiagrammet.
Denna sannolikhet kan också hittas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra händelsen. Sannolikheten att slå en på Kast är Detta är samma sannolikhet som att få en på Kast
Denna regel gäller endast när en händelse inte påverkar den andra — om sannolikheten för händelse är och sannolikheten för händelse är då är sannolikheten för att både och inträffar tillsammans produkten av deras individuella sannolikheter.
Träddiagram hjälper till att hitta sannolikheter i flerstegade experiment. Att skriva sannolikheter på grenarna visar hur de kombineras. Genom att multiplicera sannolikheter längs grenarna kan sannolikheten för specifika utfall snabbt beräknas.
Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna och i det andra finns bokstäverna

Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?

Ledtråd

Rita ett träddiagram som representerar situationen.

Lösning

Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är av de siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är
På andra hjulet är av de bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är
För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:
Teori

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en och en Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns gynnsamma utfall.
Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall ( st.) med antal möjliga ( st.):
Teori

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad är att slå med en tärning är händelsen att man inte slår en den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet uppe till höger: För är komplementhändelsen att tärningen visar eller

Antingen inträffar händelsen eller dess komplementhändelse, Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

Eloise köper lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, om är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Svar

Minst ett av de fem skraplotterna vinner.

Ledtråd

Överväg alla möjliga utfall.

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få
Vi vet att händelse är att alla är nitlotter, dvs. att hon får vinstlotter. Komplementhändelsen, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får eller vinstlotter. Enklare uttryckt är alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.
Avslut

Sammanfattning

Inom sannolikhet är ett träddiagram en visuell representation som visar både sannolikheterna och utfallen av en händelse. På samma sätt är en utfallsmatris ett rutnät som används för att organisera alla möjliga utfall av ett sannolikhetsexperiment, särskilt när man hanterar två oberoende händelser. Till exempel, när en myntkastas två gånger, kan alla möjliga utfall visas i följande diagram.
Båda diagrammen gör det enkelt att lista alla möjliga utfall och beräkna sannolikheter. För att tillämpa additionsregeln i ett träddiagram, identifiera först alla möjliga vägar som leder till den önskade händelsen. Beräkna sedan sannolikheten för varje väg genom att multiplicera längs grenarna. Slutligen, använd additionsregeln genom att summera sannolikheterna för alla relevanta vägar för att bestämma sannolikheten för händelsen.
Notera att de händelser som visas i diagrammet är komplementära: att få två klave och att få åtminstone en krona. Sannolikheten för en händelse och dess komplement adderar alltid upp till Detta koncept är användbart när det är enklare att hitta sannolikheten för komplementet snarare än själva händelsen.
Laddar innehåll