Träddiagram och komplementhändelser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.
Regel

Addition av sannolikheter

För två händelser, AA och BB, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)

Man kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en 11:a är 16\frac{1}{6} eftersom det finns 11 gynnsamt utfall av 66 möjliga. För händelsen att antingen slå en 11:a eller en 22:a ökar antalet gynnsamma utfall till 22 så sannolikheten blir 26.\frac{2}{6}.

Addition av sannolikheter8326.svg

Genom att dela upp sannolikheten för att slå en 11:a eller 22:a från 26\frac{2}{6} till 16+16\frac{1}{6}+\frac{1}{6} kan man se att sambandet gäller. 16\frac{1}{6} är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att P(1:a eller 2:a)=P(1:a)+P(2:a). P(\text{1:a eller 2:a}) = P(\text{1:a}) + P(\text{2:a}).

Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Traddiagram KrKl one.svg

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Traddiagram KrKl two 4a.svg

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Traddiagram 3.svg
Uppgift

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 181-8 och i det andra finns bokstäverna A–H.

Skills Sannoliket beroende handelser II.svg
Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?
Lösning

Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är 44 av de 88 siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är P(U)=48=12. P(\text{U})=\frac 4 8 = \frac{1}{2}. På andra hjulet är 66 av de 88 bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är P(K)=68=34.P(\text{K})=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Skills oberoende twoII.svg

För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet: P(U, K)=1234=38. P(\text{U, K})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 22:a och en 55:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 22 gynnsamma utfall.

Utfallsmatris Wordlist 3d.svg

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (22 st.) med antal möjliga (3636 st.):

2360.06=6%. \frac{2}{36}\approx0.06=6\,\%.
Regel

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad A,A, är att slå 44:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 44:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet cc uppe till höger: Ac.A^c. För AA är komplementhändelsen AcA^c att tärningen visar 1,1, 2,2, 3,3, 55 eller 6.6.

Komplementhandelse rules 1.svg

Antingen inträffar händelsen AA eller dess komplementhändelse, AcA^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.1.

P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1

Uppgift

Eloise köper 55 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, Ac,A^c, om AA är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper 55 lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till 55 vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få 0,1,2,3,4 eller 5 vinstlotter. 0, 1, 2, 3, 4\text{ eller }5\text{ vinstlotter.} Vi vet att händelse AA är att alla är nitlotter, dvs. att hon får 00 vinstlotter. Komplementhändelsen, Ac,A^c, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får 1,1, 2,2, 3,3, 44 eller 55 vinstlotter. Enklare uttryckt är AcA^c alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}