Träddiagram och komplementhändelser

Vi kallar händelsen att slå ett jämnt tal för A. Om vi ska beräkna oddset för att slå ett jämnt tal behöver vi veta P(A). När man kastar tärning finns det sex utfall och tre av dessa är gynnsamma (2, 4 och 6). Vi sätter in detta i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten att slå jämnt är 0,5 vilket innebär att sannolikheten att slå udda också är 0,5. Vi sätter in dessa sannolikheter i formeln för att bestämma odds.

Oddset för att slå jämnt är alltså 1.

Vi kallar händelsen att Maria vinner baktävlingen för A. Händelsen att Maria inte vinner blir då 1-P(A). Vi sätter in händelserna i formeln för att beräkna oddset, likställer med 2,5 och löser ut P(A).

Sannolikheten att Maria vinner är cirka 0,71 eller 71 %.

Om sannolikheten att Maria vinner är 71 % måste sannolikheten att Henrik vinner vara 29 %. Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna odds och förenklar.

Oddset för att Henrik vinner är cirka 0,41.

Den här uppgiften blir lättare att lösa om man gör ett träddiagram. Vi vet att 1 % av befolkningen bär på genen. Om man väljer en person slumpmässigt är därför sannolikheten att den personen är bärare (S) 1 %, eller 0,01. Sannolikheten för att man inte är bärare (F) är 99 %, eller 0,99.

Om man inte är bärare är sannolikheten att man får ett negativt resultat 95 %, eller 0,95. Sannolikheten att det blir positivt blir 0,05. Vi ritar in det i träddiagrammet.

Om man bär på genen är sannolikheten 98 % att man får ett positivt resultat. Därför är sannolikheten 2 % att det blir negativt. Vi skriver dessa sannolikheter som 0,98 och 0,02.

Hur kan man få ett positivt resultat på testet? Antingen har man genen och får ett korrekt positivt resultat eller har man den inte, men får ett falskt positivt svar. Det finns alltså två vägar i träddiagrammet.

Man kan alltså få ett positivt resultat på två sätt. Vi multiplicerar sannolikheterna längs med en väg och lägger sedan ihop sannolikheterna för varje väg. Det ger oss P(+)=0,99*0,05+0,01*0,98=0,0593. Sannolikheten att man får ett positivt resultat är alltså 0,0593 eller 5,93 %.

Nisse har fått ett positivt svar. Det betyder att vi endast är intresserade av de vägar i träddiagrammet som kan ge detta.

Eftersom vi vet att resultatet är positivt utgör dessa två vägar alla möjliga utfall. Vad är sannolikheten att man är bärare av genen och att testet ger ett positivt resultat?

Det kan ju bara ske på ett sätt (den rödmarkerade vägen) och vi multiplicerar sannolikheterna längs med den vägen: P(S och+)=0,01*0,98=0,0098. Detta är då det gynnsamma utfallet. Nu kan vi använda oss av sannolikhetsformeln, men istället för antal sätter vi in motsvarande sannolikheter istället. Sannolikheten för alla utfall (dvs. positivt resultat) beräknade vi i förra uppgiften.

Sannolikheten att Nisse bär på genen är alltså cirka 16,5 %.

Vi beräknar först antalet sifferkombinationer man kan prova. Det finns 10 möjliga siffror (0-9) att trycka in på tredje och 10 möjliga siffror på fjärde plats i koden. Detta ger totalt 10* 10 = 100 utfall. Vi kallar händelsen att man gissar båda siffror rätt på något försök för A. Då måste komplementhändelsen till detta A^c vara att man gissar fel alla tre gånger.

P(A^c)

Det finns 100 utfall. Av dessa är 1 rätt och 99 fel. Sannolikheten att du gissar fel första gången är därför P=99/100. Andra gången finns det 99 kombinationer kvar att testa. En av dem är rätt så sannolikheten att du gissar fel andra gången blir 9899. Tredje gången finns det 98 kombinationer kvar så sannolikheten att man gissar fel en tredje gång är 9798. Sannolikheten för tre fel är produkten av dessa sannolikheter.

Sannolikheten för A^c är alltså 0,97.

P(A)

Om man lägger ihop sannolikheterna för A och A^c blir summan 1. Eftersom vi precis bestämt P(A^c) kan vi nu beräkna P(A).

Sannolikheten att du gissar rätt kod på något försök är 3 %.

Vi kallar händelsen att minst två kollegor fyller år samma dag för A. Komplementhändelsen A^c blir att ingen av kollegorna delar födelsedag. Men hur beräknas komplementhändelsens sannolikhet?

Resonemang

Vi säger att kollega 1 fyller år en godtycklig dag av årets 365 dagar. Då kan kollega nummer två fylla år på någon av årets resterande 364 dagar. Sannolikheten att de inte fyller år på samma dag är alltså P(olika dagar)=365/365* 364/365. Men arbetsplatsen består av 18 kollegor så sannolikheten att alla fyller år på en egen dag, dvs. komplementhändelsen till A, blir P(A^c)=365/365*364/365*363/365*...* 348/365. Vi beräknar komplementhändelsens sannolikhet.

Till sist använder vi att summan av sannolikheterna för händelserna A och A^c är lika med 1.

Sannolikheten är ca 35 %.

Det finns totalt 5+42+3=50 godisar i skålen. Av dessa är 42 stycken sura nappar. Sannolikheten för att godisen är en sur napp är antal gynnsamma utfall (42 st.) dividerat med antalet möjliga utfall dvs. 50 stycken.

Sannolikheten att hon drar en sur napp är 84 %.

Komplementhändelsen är det som händer om hon inte drar en sur napp, eller annorlunda formulerat, att hon drar ett geléhallon eller en colaflaska. Summan av en händelse och dess komplementhändelse är alltid 1: P(A)+P(A^c)=1 I vårt fall är P(A) händelsen att hon får en napp, dvs. 0,84 som vi redan räknat ut. Vi sätter in detta i formeln och löser ut kompementhändelsen.

Det är 16 % sannolikhet att hon inte får en sur napp.

I det här fallet är det egentligen lika enkelt att beräkna komplementhändelsens sannolikhet genom att dividera antalet gynnsamma med antalet möjliga utfall. Antal gynnsamma utfall för komplementhändelsen A^c (inte sur napp) är 5+3=8 och antal möjliga är fortfarande 50.