Träddiagram och komplementhändelser

Vi markerar utfallen där vi får minst en 3:a i ett utfallsrum. Raderna representerar prickarna på den ena tärningen och kolumnerna antalet prickar på den andra.

Av de 36 möjliga utfallen innehåller 11 av dem minst en 3:a. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Vi markerar de utfall där tärningssumman är udda.

Det är 18 gynnsamma utfall och totala antalet utfall är fortfarande 36. Vi sätter in detta i sannolikhetsformeln.

Vi kallar händelsen att ta upp en bok från Henning Mankel för M och händelsen att ta upp en bok från Stieg Larsson för L. Totalt har Oskar 5+3=8 böcker han kan välja mellan. Eftersom fem av dessa är skrivna av Henning Mankel och tre av Steig Larsson blir sannolikheten P(M)=5/8 och P(L)=3/8 att den första boken är skriven av respektive författare. När Oskar tagit den första boken är antalet böcker av den författaren en mindre i bokhyllan och det totala antalet böcker är också en mindre vilket påverkar sannolikheten för vilken författare den andra boken är skriven av. Vi ritar ett träddiagram och markerar händelserna P(H,H) och P(L,L).

Sannolikheten att böckerna är av samma författare är summan av händelserna P(M, M) och P(L, L).

Sannolikheten att båda böcker Oskar tar är från samma författare är alltså ca 46 %.

Minst ett mål innebär att hon sätter en, två eller alla tre straffar. Men beräkningarna blir något lättare om vi istället bestämmer sannolikheten för komplementhändelsen till minst ett mål, nämligen att hon inte gör något mål alls. Om sannolikheten för mål är 40 % är sannolikheten för miss 60 %. Det betyder att P(tre missar)= 0,6 * 0,6 * 0,6=0,216. Om vi kallar händelsen att Petra gör minst ett mål för A, är komplementhändelsen A^c lika med 0,216. För att ta reda på sannolikheten för minst ett mål använder vi sambandet P(A)+P(A^c)=1. Vi sätter in P(A^c) och löser ut P(A).

Sannolikheten är cirka 78 % att Petra gör minst ett mål.

Vi kallar händelsen att slå minst en etta (dvs. mellan en och femton stycken) för A. Istället för att beräkna sannolikheten för alla kombinationer där man slår minst en etta beräknar vi sannolikheten för komplementhändelsen och subtraherar från 1: P(A)+P(A^c)=1. Då sannolikheten att slå en etta när man kastar en tärning är 16 måste sannolikheten för att slå något annat än en etta vara 56. Händelsen A^c är att man slår icke-ettor i alla kast. Sannolikheten att göra det beräknar vi genom att multiplicera P(inte etta) 15 gånger: (A^c)=(5/6)^(15) Nu kan vi beräkna P(A) genom att sätta in P(A^c) i formeln för komplementhändelse.

Sannolikheten är cirka 93,5 % att slå minst en etta så även om sannolikheten är hög att man får minst en etta kan Maximilian inte vara helt säker.

Vi illustrerar riddarens flykt med ett träddiagram. Vid första vägskälet kan riddaren välja mellan tre vägar: höger (H), rakt fram (R) eller till vänster (V). Sannolikheten att han väljer rätt väg (rakt fram) är 13.

Om han tar rätt väg ska han svänga höger (ur riddarens perspektiv) vid nästa vägskäl och eftersom han har två valmöjligheter blir sannolikheten 12 att han tar rätt väg. Vi kompletterar ovanstående träddiagram och markerar vägen till frihet i träddiagrammet.

Genom att multiplicera sannolikheterna längs den markerade grenen i träddiagrammet kan vi beräkna sannolikheten att riddaren blir fri.

Det är ca 17 % sannolikhet att riddaren blir fri.

På hur många sätt kan minst få tillbaka det man satsat? Ganska många. T.ex. kan man plocka 10 kr+5kr eller 0 kr + 15 kr. Det blir ganska knöligt att beräkna sannolikheterna för alla kombinationer. Vi undersöker istället komplementhändelsen dvs. att man går med förlust. Det kan man bara göra genom att plocka båda gula kulorna.

Det finns två gula bollar av fem. Sannolikheten för att dra en av dem i första dragningen blir då P(gul)=2/5. Andra gången man drar finns det fyra bollar kvar och en av dessa är röd, vilket ger sannolikheten 14. Den totala sannolikheten för att dra båda röda bollar beräknar vi genom att multiplicera sannolikheterna.

Sannolikheten att gå med förlust är alltså 0,1. Detta är komplementhändelsen till att minst få pengarna tillbaka. Summan av de båda sannolikheterna är 1, vilket betyder att P(minst pengarna tillbaka)=1-0,1=0,9.

Det finns bara en lila kula, så det är inte möjligt att båda plockar en sådan. Det enda sättet för dem att ta kulor som har samma färg är om de båda är svarta eller vita. Vi markerar de vägarna i diagrammet.

Sannolikheten för att båda plockar en vit beräknar vi genom att multiplicera sannolikheterna längs den vägen.

Sannolikheten för att båda plockar en svart beräknar vi på samma sätt: P(svart,svart)=5/9*4/8=5/18. För att beräkna sannolikheten att någon av dessa händelser inträffar lägger vi ihop deras sannolikheter.

Sannolikheten att de plockar kulor av samma färg är alltså 1336.

Om Josefin ska plocka en lila kula, får inte Wilhelm plocka den först. Det finns alltså två vägar i träddiagrammet som ger Josefin en lila kula. Antingen om Wilhelm först plockar en svart eller en vit.

Vi beräknar sannolikheten för båda vägar genom att multiplicera sannolikheterna längs med dem: P(vit,lila)=3/9*1/8 och P(svart,lila)=5/9*1/8. Nu summerar vi dessa sannolikheter.

Sannolikheten att Josefin plockar en lila kula är alltså 19.