body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 1a /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Addition av sannolikheter
Träddiagram
Utfallsmatris
Komplementhändelse

Teori

Addition av sannolikheter

För två händelser, $A$ och $B,$ som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

$P (A eller B) = P (A) + P (B)$

Bevis

Informell motivering

Man kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en $1 : a$ är $\frac{1}{6}$ eftersom det finns $1$ gynnsamt utfall av $6$ möjliga. För händelsen att antingen slå en $1 : a$ eller en $2 : a$ ökar antalet gynnsamma utfall till $2$ så sannolikheten blir $\frac{2}{6} .$

Genom att dela upp sannolikheten för att slå en

1 : a

eller

2 : a

från

\frac{2}{6}

till

\frac{1}{6} + \frac{1}{6}

kan man se att sambandet gäller.

\frac{1}{6}

är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att

P (1 : a eller 2 : a) = P (1 : a) + P (2 : a) .

Teori

Träddiagram

Ett träddiagram visar alla möjliga utfall i ett slumpförsök som består av flera steg, till exempel att kasta en tärning två gånger. Diagrammet består av noder och grenar som visar varje val eller händelse.

Noder: Varje nod representerar ett specifikt utfall i försöket.
Grenar: En gren kopplar ihop två noder. Från varje nod kan det gå flera grenar som visar olika möjliga fortsättningar.

För att skapa ett träddiagram som visar alla möjliga utfall när man kastar en tärning två gånger, börjar man med en rotnod. Från denna nod ritar man en gren för varje möjligt utfall av det första kastet. I slutet av varje gren skapar man en ny nod som representerar resultatet av det kastet.

Sex grenar sträcker sig från en rotnod, där varje gren representerar ett tärningskast: 1, 2, 3, 4, 5 och 6.

Oavsett vilket resultat man får vid det första kastet, finns det sex möjliga utfall även vid det andra kastet. Därför ritas sex grenar från varje nod efter det första kastet, som leder till noder för de möjliga utfallen av det andra kastet.

Ett träddiagram som visar utfallen när man kastar en tärning två gånger: sex grenar utgår från rotnoden för det första kastet, och var och en av dessa grenar delar sig i ytterligare sex för det andra kastets utfall.

Slutnoderna i träddiagrammet visar alla möjliga utfall i detta experiment — totalt $36$ stycken. Sannolikheten att få två ettor när man kastar en tärning två gånger är då $\frac{1}{3 6},$ eftersom det bara finns ett gynnsamt utfall för den händelsen. Detta motsvaras av den allra första grenen i träddiagrammet.

P (1 och 1) = \frac{1}{3 6}

Denna sannolikhet kan också beräknas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra. Sannolikheten att slå en etta på kast $1$ är $\frac{1}{6} .$ Samma sannolikhet gäller för att få en etta på kast $2 .$

P (1 och 1) = P (1) \cdot P (1)

Substitute

$P (1) = \frac{1}{6}$

P (1 och 1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

MultFrac

Multiplicera bråk

P (1 och 1) = \frac{1}{3 6}

Denna regel gäller endast när den ena händelsen inte påverkar den andra. Om sannolikheten för händelse $A$ är $P (A)$ och sannolikheten för händelse $B$ är $P (B),$ då är sannolikheten att både $A$ och $B$ inträffar lika med produkten av deras individuella sannolikheter:

P (A och B) = P (A) \cdot P (B)

Träddiagram hjälper till att räkna ut sannolikheter i flerstegsexperiment. Genom att skriva sannolikheter på grenarna ser man hur de kombineras. Om man multiplicerar sannolikheterna längs en gren, kan man snabbt beräkna sannolikheten för ett visst utfall.

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna $1 - 8$ och i det andra finns bokstäverna $A - H .$

Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?

Ledtråd

Rita ett träddiagram som representerar situationen.

Lösning

Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är

4

av de

8

siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är

P (U) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .

På andra hjulet är

6

av de

8

bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är

P (K) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .

För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:

P (U, K) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .

Teori

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en

2 : a

och en

5 : a .

Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns

2

gynnsamma utfall.

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (

2

st.) med antal möjliga (

36

st.):

\frac{2}{3 6} \approx 0, 06 = 6 % .

Teori

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad $A,$ är att slå $4 : a$ med en tärning är händelsen att man inte slår en $4 : a$ den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet $c$ uppe till höger: $A^{c} .$ För $A$ är komplementhändelsen $A^{c}$ att tärningen visar $1,$ $2,$ $3,$ $5$ eller $6 .$

Antingen inträffar händelsen $A$ eller dess komplementhändelse, $A^{c} .$ Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med $1 .$

$P (A) + P (A^{c}) = 1$

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

Eloise köper

5

lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen,

A^{c},

A

är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Svar

Minst ett av de fem skraplotterna vinner.

Ledtråd

Överväg alla möjliga utfall.

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper

5

lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till

5

vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få

0, 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter .

Vi vet att händelse

A

är att alla är nitlotter, dvs. att hon får

0

vinstlotter. Komplementhändelsen,

A^{c},

består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får

1,

2,

3,

4

eller

5

vinstlotter. Enklare uttryckt är

A^{c}

alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Bevis

Ledtråd

Lösning

Svar

Ledtråd

Lösning