3. Träddiagram och komplementhändelser
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
3.
Träddiagram och komplementhändelser
Lektionen fokuserar på att förklara koncepten träddiagram och komplementhändelser inom matematik, särskilt i samband med sannolikhet. Träddiagram används för att visualisera olika möjliga utfall i en sannolikhetsmodell, medan komplementhändelser hjälper till att beräkna sannolikheten för att en viss händelse inte inträffar. Dessa verktyg är viktiga inom statistik och sannolikhetsteori och används ofta i olika vetenskapliga och affärssammanhang. Sidan erbjuder en djupgående förståelse av dessa begrepp och visar hur de kan tillämpas i praktiken, vilket gör den till en värdefull lektionen för studenter och lärare.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Träddiagram och komplementhändelser
Sida av 7
Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Addition av sannolikheter
- Träddiagram
- Utfallsmatris
- Komplementhändelse
Förkunskaper
Teori
Addition av sannolikheter
För två händelser, A och B, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.
P(A eller B)=P(A)+P(B)
Bevis
Informell motiveringMan kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en 1:a är 61 eftersom det finns 1 gynnsamt utfall av 6 möjliga. För händelsen att antingen slå en 1:a eller en 2:a ökar antalet gynnsamma utfall till 2 så sannolikheten blir 62.
P(1:a eller 2:a)=P(1:a)+P(2:a).
Teori
Träddiagram
Ett träddiagram visar alla möjliga utfall i ett slumpförsök som består av flera steg, till exempel att kasta en tärning två gånger. Diagrammet består av noder och grenar som visar varje val eller händelse.
- Noder: Varje nod representerar ett specifikt utfall i försöket.
- Grenar: En gren kopplar ihop två noder. Från varje nod kan det gå flera grenar som visar olika möjliga fortsättningar.
För att skapa ett träddiagram som visar alla möjliga utfall när man kastar en tärning två gånger, börjar man med en rotnod. Från denna nod ritar man en gren för varje möjligt utfall av det första kastet. I slutet av varje gren skapar man en ny nod som representerar resultatet av det kastet.
Oavsett vilket resultat man får vid det första kastet, finns det sex möjliga utfall även vid det andra kastet. Därför ritas sex grenar från varje nod efter det första kastet, som leder till noder för de möjliga utfallen av det andra kastet.
Slutnoderna i träddiagrammet visar alla möjliga utfall i detta experiment — totalt 36 stycken. Sannolikheten att få två ettor när man kastar en tärning två gånger är då 361, eftersom det bara finns ett gynnsamt utfall för den händelsen. Detta motsvaras av den allra första grenen i träddiagrammet.
P(1 och 1)=361
Denna sannolikhet kan också beräknas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra. Sannolikheten att slå en etta på kast 1 är 61. Samma sannolikhet gäller för att få en etta på kast 2.
Denna regel gäller endast när den ena händelsen inte påverkar den andra. Om sannolikheten för händelse A är P(A) och sannolikheten för händelse B är P(B), då är sannolikheten att både A och B inträffar lika med produkten av deras individuella sannolikheter:
P(A och B)=P(A)⋅P(B)
Träddiagram hjälper till att räkna ut sannolikheter i flerstegsexperiment. Genom att skriva sannolikheter på grenarna ser man hur de kombineras. Om man multiplicerar sannolikheterna längs en gren, kan man snabbt beräkna sannolikheten för ett visst utfall.Exempel
Beräkna sannolikhet med träddiagram
Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 1–8 och i det andra finns bokstäverna A–H.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3}{8}"]}}
Ledtråd
Rita ett träddiagram som representerar situationen.
Lösning
Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är 4 av de 8 siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är
För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:
P(U)=84=21.
På andra hjulet är 6 av de 8 bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är P(K)=86=43. P(U, K)=21⋅43=83.
Teori
Utfallsmatris
Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 2:a och en 5:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 2 gynnsamma utfall.
Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (2 st.) med antal möjliga (36 st.):
362≈0,06=6%.
Teori
Komplementhändelse
Om en händelse, kallad A, är att slå 4:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 4:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet c uppe till höger: Ac. För A är komplementhändelsen Ac att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6.
Antingen inträffar händelsen A eller dess komplementhändelse, Ac. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.
P(A)+P(Ac)=1
Exempel
Vad är komplementhändelsen?
Eloise köper 5 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, Ac, om A är händelsen att alla lotter är nitlotter?
Svar
Minst ett av de fem skraplotterna vinner.
Ledtråd
Överväg alla möjliga utfall.
Lösning
För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper 5 lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till 5 vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få
0, 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter.
Vi vet att händelse A är att alla är nitlotter, dvs. att hon får 0 vinstlotter. Komplementhändelsen, Ac, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter. Enklare uttryckt är Ac alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.
Träddiagram och komplementhändelser
Övningar
En skål innehåller gröna och blå kulor. I träddiagrammet har man markerat händelsen att dra två blå kulor.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{11}{13}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["40"]}}
security
report
code
security
report
code
Sannolikheten att dra två kulor, dvs. händelsen P(B, B), kan vi beräkna genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen i trädet. Produkten av 1720 och x ska alltså bli 187260: 17/20 * x =187/260. Vi löser ut x i ekvationen.
Vi kallar det totala antalet kulor för T och antalet blå kulor för B. Om vi delar antalet blå kulor med det totala antalet kulor ska vi få 1720: B/T=17/20. Vi vet även att om vi tar en blå kula från skålen blir sannolikheten att ta ytterligare en blå kula 1113. Antalet blå kulor är då B-1 och totala antalet kulor är T-1: B-1/T-1=11/13. Vi skriver om denna ekvation något.
Vi vill lösa ut T men ekvationen innehåller både B och T, dvs. två variabler. Om vi löser ut B i den första ekvationen kan vi ersätta denna variabel i den omskrivna ekvationen och därefter lösa ut T. B/T=17/20 ⇔ B=17 T/20. Nu kan vi ersätta B i ekvationen med 17 T20 och lösa ut T.
Det totala antalet kulor i skålen var 40.
security
report
code
Träddiagram och komplementhändelser
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll