Träddiagram och komplementhändelser

Ett träddiagram visar alla möjliga utfall i ett slumpförsök som består av flera steg, till exempel att kasta en tärning två gånger. Diagrammet består av noder och grenar som visar varje val eller händelse.

• Noder: Varje nod representerar ett specifikt utfall i försöket.
• Grenar: En gren kopplar ihop två noder. Från varje nod kan det gå flera grenar som visar olika möjliga fortsättningar.

För att skapa ett träddiagram som visar alla möjliga utfall när man kastar en tärning två gånger, börjar man med en rotnod. Från denna nod ritar man en gren för varje möjligt utfall av det första kastet. I slutet av varje gren skapar man en ny nod som representerar resultatet av det kastet.

Oavsett vilket resultat man får vid det första kastet, finns det sex möjliga utfall även vid det andra kastet. Därför ritas sex grenar från varje nod efter det första kastet, som leder till noder för de möjliga utfallen av det andra kastet.

Slutnoderna i träddiagrammet visar alla möjliga utfall i detta experiment — totalt 36 stycken. Sannolikheten att få två ettor när man kastar en tärning två gånger är då 1/36, eftersom det bara finns ett gynnsamt utfall för den händelsen. Detta motsvaras av den allra första grenen i träddiagrammet.

P(1och1)=1/36

Denna sannolikhet kan också beräknas genom att multiplicera sannolikheten för den första händelsen med sannolikheten för den andra. Sannolikheten att slå en etta på kast 1 är 1/6. Samma sannolikhet gäller för att få en etta på kast 2.

Denna regel gäller endast när den ena händelsen inte påverkar den andra. Om sannolikheten för händelse A är P(A) och sannolikheten för händelse B är P(B), då är sannolikheten att både A och B inträffar lika med produkten av deras individuella sannolikheter:

P(AochB) = P(A) * P(B)

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 2:a och en 5:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 2 gynnsamma utfall.

Om en händelse, kallad A, är att slå 4:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 4:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet c uppe till höger: A^c. För A är komplementhändelsen A^c att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6.

Antingen inträffar händelsen A eller dess komplementhändelse, A^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.