{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Sannolikhetslära och statistik

Träddiagram och komplementhändelser


Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.

Regel

Addition av sannolikheter

För två händelser, A och B, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A eller B)=P(A)+P(B)

Man kan motivera detta samband med ett exempel med en tärning. Sannolikheten att slå en 1:a är eftersom det finns 1 gynnsamt utfall av 6 möjliga. För händelsen att antingen slå en 1:a eller en 2:a ökar antalet gynnsamma utfall till 2 så sannolikheten blir

Addition av sannolikheter8326.svg
Genom att dela upp sannolikheten för att slå en 1:a eller 2:a från till kan man se att sambandet gäller. är ju sannolikheten för att bara slå en etta eller tvåa på egen hand. Det gäller alltså att
P(1:a eller 2:a)=P(1:a)+P(2:a).

Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Traddiagram KrKl one.svg

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Traddiagram KrKl two 4a.svg

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Traddiagram 3.svg

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

fullscreen

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 18 och i det andra finns bokstäverna A–H.

Skills Sannoliket beroende handelser II.svg
Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?
Visa Lösning expand_more
Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är 4 av de 8 siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är
På andra hjulet är 6 av de 8 bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är
Skills oberoende twoII.svg
För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:

Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 2:a och en 5:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 2 gynnsamma utfall.

Utfallsmatris Wordlist 3d.svg

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (2 st.) med antal möjliga (36 st.):

Regel

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad A, är att slå 4:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 4:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet c uppe till höger: För A är komplementhändelsen att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6.

Komplementhandelse rules 1.svg

Antingen inträffar händelsen A eller dess komplementhändelse, . Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

fullscreen

Eloise köper 5 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, om A är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Visa Lösning expand_more
För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper 5 lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till 5 vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få
0,1,2,3,4 eller 5 vinstlotter.
Vi vet att händelse A är att alla är nitlotter, dvs. att hon får 0 vinstlotter. Komplementhändelsen, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter. Enklare uttryckt är alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.


arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community