Träddiagram och komplementhändelser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Vid slumpförsök i flera steg kan det vara praktiskt att strukturera upp de försök man gör samt möjliga utfall. Två användbara verktyg för det är träddiagram och utfallsmatriser.
Regel

Addition av sannolikheter

För två händelser, AA och BB, som inte kan inträffa samtidigt, är sannolikheten att någon av dem inträffar summan av deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)
Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Traddiagram KrKl one.svg

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Traddiagram KrKl two 4a.svg

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Traddiagram 3.svg
Uppgift

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna 181-8 och i det andra finns bokstäverna A–H.

Skills Sannoliket beroende handelser II.svg
Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en 22:a och en 55:a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns 22 gynnsamma utfall.

Utfallsmatris Wordlist 3d.svg

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall (22 st.) med antal möjliga (3636 st.):

2360.06=6%. \frac{2}{36}\approx0.06=6\,\%.
Regel

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad A,A, är att slå 44:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 44:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet cc uppe till höger: Ac.A^c. För AA är komplementhändelsen AcA^c att tärningen visar 1,1, 2,2, 3,3, 55 eller 6.6.

Komplementhandelse rules 1.svg

Antingen inträffar händelsen AA eller dess komplementhändelse, AcA^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.1.

P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1

Uppgift

Eloise köper 55 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, Ac,A^c, om AA är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Björn skjuter med sin pilbåge är sannolikheten att han träffar målet 0.8. Han skjuter två pilar mot en måltavla.


a

I träddiagrammet är sannolikheterna för Björns första skott, träff (T) och miss (M), utskrivna. Fyll i sannolikheten för det andra skottet.

Exercise844 1 1.svg
b

Vad är sannolikheten att båda skotten träffar.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två vanliga tärningar kastas.

Exercise217 6.svg


a

Vad är sannolikheten att poängsumman blir 4 eller 9 när du kastar tärningarna?

b

Vilken händelse är mest sannolik, att poängsumman blir 3 eller att poängsumman blir 8?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Stannis plockar kulor ur en burk med 40 % blå och 60 % gröna kulor. Efter varje dragning lägger han tillbaka kulan som dragits. Utfallen visas i träddiagrammet.

Exercise847 1 1.svg


a

Vad är sannolikheten att Stannis plockar upp två gröna kulor på raken?

b

Vad är sannolikheten att Stannis har fått två olika färger efter två dragningar?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett lotteri finns tre typer av lotter: NIT, VINST 10 KR och VINST 20 KR. Vi låter händelsen AA vara att man vinner 10 kr. Vad är komplementhändelsen?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange komplementet till följande händelser.

Händelse Påstående
A Ett tärningskast ger 4, 5 eller 6
B Ett tärningskast ger minst 2
C I poker får du högst ett ess vid en giv
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har fyra vanliga tärningar.

Exercise216 5.svg


a

Ange antalet möjliga utfall om du kastar två, tre respektive fyra av tärningarna.

b

Hur många utfall har poängsumman 4 när du kastar två av tärningarna?

c

Beräkna sannolikheten att du slår poängsumman 4 när du kastar två tärningar? Svara i procent.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du kastar två vanliga tärningar.

Exercise221 6.svg

Beräkna sannolikheten för följande händelser.


a

Du slår minst en 3:a.

b

Du slår en udda poängsumma.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Med en specialtillverkad tärning är sannolikheten för de olika utfallen inte samma. Bland annat är sannolikheten för att få en trea 30 %. Vad är sannolikheten för att få nåt annat än en trea? Svara i decimalform.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sommardag står det i tidningen att sannolikheten för temperaturen 25^\circC eller mer är 38 %.


a

Ange komplementhändelsen till att det blir 25 ^\circC eller varmare.

b

Vad är sannolikheten för komplementhändelsen?

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sannolikheten att vinna mer än tusen kr i lotteriet "VINSTCHANSEN" är 0.002.


a

Skriv komplementhändelsen till detta.

b

Vad är sannolikheten för komplementhändelsen?

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Yasmins favoritgodis är sura nappar. I en godisskål ligger 5 st geléhallon, 42 sura nappar och 33 colaflaskor. Hon tar slumpmässigt en godis ur skålen.


a

Vad är sannolikheten att hon får en sur napp?

b

Skriv komplementhändelsen till att dra en sur napp.

c

Beräkna sannolikheten för komplementhändelsen.

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sannolikheten att ett trafikljus visar rött eller gult ljus är 0.550.55 respektive 0.08.0.08. Vad är sannolikheten att trafikljuset visar grönt? Svara i procent.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oskar har köpt fem böcker av Henning Mankell och tre böcker av Stieg Larsson. På semestern vill han pösa vid poolen med ett par av böckerna. Han slänger ner två böcker på måfå i resväskan. Bestäm sannolikheten att båda böcker är skrivna av samma författare.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Petra Forsberg lägger straffar i ishockey är sannolikheten 40 % att hon gör mål. Vad är sannolikheten att Petra gör minst ett mål när hon lägger tre straffar?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Maximilian påstår att det är "helt säkert" att slå minst en etta om man kastar en tärning femton gånger. Stämmer det verkligen? Motivera med beräkningar.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En riddare har lyckats fly från sin fängelsehåla och har vakterna hack i häl. Han springer för sitt liv genom fängelset och kan inte vända om och springa tillbaka eftersom han då möter vakterna. Hur stor sannolikhet är det att riddaren blir fri?

Exercise849 1.svg
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det kostar 55 kr att delta i ett lotteri. Man plockar då två kulor från urnan och vinner summan av beloppen som står på kulorna. Vad är sannolikheten att man minst får tillbaka det man satsat?

Exercise 570 1.svg
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en skål finns 9 kulor: 3 av dem är vita, en är lila och resten är svarta. Wilhelm tar först en kula och sedan tar Josefin en. Besvara följande frågor och ange alla sannolikheter som bråk.


a

Gör ett träddiagram som visar alla utfall och sätt ut sannolikheter.

b

Vad är sannolikheten att de plockar kulor som har samma färg?

c

Vad är sannolikheten att Josefin plockar en lila kula?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du drar två kort slumpvis från en kortlek. Vad är sannolikheten att du inte drar par? Svara exakt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oddset för en händelse A beräknas med formeln P(A intrffara¨)P(A intrffar eja¨). \dfrac{P(\text{A inträffar})}{P(\text{A inträffar ej})}.

a

Beräkna oddset för att slå ett jämnt tal när man kastar en vanlig sexsidig tärning.

b

Maria och Henrik tävlar i bakning, en så kallad "bake-off". Oddset för att Maria vinner har beräknats till 2.5.2.5. Hur sannolikhet är det att Maria vinner?

c

Vad är oddset för att Henrik vinner? Det kan inte bli oavgjort.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Genen för sjukdomen Rucola finns hos 1%1\,\% av befolkningen. Det finns ett test man kan göra för att ta reda på om man bär på den här genen. Men testet är inte 100 % tillförlitligt. Om man bär på genen är sannolikheten att testet visar rätt 98%98\,\% och om man inte bär på den är sannolikheten att det visar rätt 95 %.

a

Vad är sannolikheten att man får ett positivt resultat om man gör testet?

b

Nisse får positivt på sitt testresultat. Vad är sannolikheten att han bär på genen? Bör han vara orolig?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett kreditkort har en fyrsiffrig kod. En dag när du använder ditt kort kommer du bara ihåg de två första siffrorna. Du bestämmer dig för att gissa de två sista siffrorna men efter tre försök spärras kortet. Hur stor är sannolikheten att kortet inte spärras? Vi förutsätter att du inte provar samma kod två gånger.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är sannolikheten att minst två kollegor på en arbetsplats med 18 anställda fyller år samma dag på året?

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En skål innehåller gröna och blå kulor. I träddiagrammet har man markerat händelsen att dra två blå kulor.

Exercise840 2.svg


a

Vad är sannolikheten att den andra kulan som dras är blå? Svara med ett bråk på enklaste form.

b

Hur många kulor fanns det från början i skålen?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}