Logaritmer: Lär dig mer om de olika logaritmerna

$x$	$0, 01$	$0, 1$	$1$	$10$	$100$
$l g (x)$	$l g (0, 01)$	$l g (0, 1)$	$l g (1)$	$l g (10)$	$l g (100)$
$=$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Skriv

l g (x 1 0^{y})

som ett bråk.

Det man ska inse här är att denna typ av rotuttryck kan skrivas om som en potens: sqrt(a^b)=a^(b/n). Därefter använder vi definitionen av en tiologaritm som säger att logaritmen av ett tal är den exponent 10 ska upphöjas till för att få talet, eller att lg och 10 upphöjt till tar ut varandra.

Vi har alltså lyckats skriva det som yx.

Bestäm logaritmen utan räknare.

l g (l g (1 0^{10}))

lo g_{3} (lo g_{2} (8))

lo g_{5} (lo g_{4} (2^{50}))

Nu har vi en tiologaritm av en tiologaritm. Vi börjar med att bestämma den innersta logaritmen, lg (10^(10)), och sedan beräknar vi tiologaritmen av svaret.

Även här börjar vi inifrån. Logaritmer med andra baser än 10 fungerar på samma sätt, men nu letar vi efter den exponent som ska sitta på basen 2 för att få talet 8, dvs. 3.

Nu ska vi beräkna trelogaritmen av 3. Vilken exponent ska vi sätta på basen 3 för att få talet 3? Jo 1 eftersom 3^1 är lika med 3.

För att beräkna den inre logaritmen behöver vi skriva om potensen 2^(50) på basen 4. Därefter resonerar vi på motsvarande sätt som i föregående uppgift.

Vi vet att

lo g_{3} (12) \approx 2, 26 .

Använd denna identitet för att uppskatta värdet av

lo g_{3} (16) .

Om vi ska kunna utnyttja att log_3(12) ≈ 2,26 måste vi på något sätt skriva om log_3(16) så att det består av log_3(12) och andra kända tal. Det gör vi med logaritmlagarna och vi börjar med att skriva om argumentet 16 som 4^2 för att sedan flytta ner exponenten framför logaritmen.

Nu är argumentet 4, men vi kan få det att bli 12 genom att skriva om det som 123 och sedan använda logaritmlagen för division för att dela upp logaritmen i en differens där ena termen är log_3(12) och den andra är log_3(3). Då känner vi till alla värden i uttrycket eftersom log_3(3)=1.

Observera att 2,52 är ett avrundat värde, vilket man kan visa genom att skriva ~ 2,52.

Graferna beskriver tre olika funktioner på formen $y = lo g_{b} (x)$ med heltalsbaser $b$ som ligger i intervallet $2 \leq b \leq 8 .$

En blå, en röd och en grön logaritmgraf.

Para ihop graferna med följande funktioner.

y = lo g_{3} (x) y = lo g_{2} (x) y = lo g_{5} (x)

Uttrycket log_b(x) beräknar vilken exponent man ska höja upp basen b med för att få x: b^(log_b(x))= x. Eftersom graferna beskriver olika funktioner på formen y=log_b(x) så måste y-värdet ange den exponent som b ska upphöjas till för att få x-värdet. Om vi därför kan hitta punkter på grafen där både x- och y-koordinaten utgör heltalsvärden kan vi bestämma exponenten och resultatet, alltså y respektive x i ekvationen b^y= x.

h(x)

Den gröna grafen h(x) skär punkten (5,1). Höjer vi upp grafens bas med 1 ska vi få 5. Eftersom alla tal upphöjt till 1 blir sig självt är basen 5.

g(x)

Den röda grafen g(x) skär punkten (9,2). Dess bas upphöjt till 2 ska alltså vara lika med 9: b^2=9. Kvadratroten ur 9 är 3 eftersom 3* 3=9 så den röda grafen har basen 3. Detta kan vi också se från att grafen skär punkten (3,1), med samma motivering som för gröna grafen.

f(x)

Den blå grafen f(x) skär punkten (8,3). Detta innebär att basen upphöjt till 3 ska vara lika med 8: b^3=8. Drar vi tredje roten ur 8 får vi 2 så den blå grafen har basen 2. Även här kan vi se detta på grund av att linjen går igenom punkten (2,1). Vi sammanfattar: h(x)& ↔ y=log_5(x) g(x)& ↔ y=log_3(x) f(x)& ↔ y=log_2(x)

Förenkla uttrycket

lo g_{3} (9) \cdot lo g_{4} (16) \cdot lo g_{5} (25) .

Om vi tittar på argumenten kan vi se att de kan alla skrivas som potenser med 2 som exponent: 9=3^2, 16=4^2 och 25=5^2. När vi gör denna omskrivning ser vi att potensernas bas är samma som logaritmernas bas, dvs. 3, 4 och 5. Detta innebär att vi kan använda regeln log_b(b^a)=a för att förenkla uttrycket.

Uttrycket förenklades till 8.

Logaritmer

Förkunskaper

Logaritm

Tiologaritm

Bestäm tiologaritmernas värden

Ledtråd

Lösning

Vilken logaritm hör ihop med vilket värde?

Svar

Ledtråd

Lösning

Logaritmer på räknare

Tiologaritmer

Grundläggande samband för tiologaritmer

Regel

Regel

Skriv talet som en tiopotens och tiologaritm

Svar

Ledtråd

Lösning

h(x)

g(x)

f(x)

Logaritmer

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

$l g (10000)$	$=$	$l g (1 0^{4})$	$=$	$4$
$l g (100)$	$=$	$l g (1 0^{2})$	$=$	$2$
$l g (1)$	$=$	$l g (1 0^{0})$	$=$	$0$
$l g (0, 001)$	$=$	$l g (1 0^{- 3})$	$=$	$- 3$

$l g (900)$	$l g (100)$	$l g (0, 25)$	$l g (0, 01)$
$\approx 2, 95$	$2$	$\approx - 0, 60$	$- 2$