7. Logaritmer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
7.
Logaritmer
Denna sida handlar om logaritmer och förklarar begreppet på ett lättförståeligt sätt. Den täcker olika aspekter av logaritmer, inklusive tiologaritmer, och hur man räknar med dem. Sidan innehåller också digitala verktyg för att beräkna logaritmer och förklarar regler och samband som är bra att känna till. Det finns exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man använder logaritmer i olika matematiska sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmer
Sida av 8
Koncept
Logaritm
En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal a skrivs som nedan, där b anger vilken bas som används. Detta utläses som b-logaritmen av a.
log_b(a)
Koncept
Tiologaritm
En tiologaritm är en logaritm som använder basen 10. T.ex. är log_(10)(1 000) lika med 3 då 10^3 är lika med 1 000.
Tiologaritmen kan skrivas log_(10)(), men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, lg(). Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på log. För ett positivt tal a skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.
Man kan även beräkna tiologaritmer på räknaren.
a=10^b ⇔ b=lg(a)
Talen 0,01; 0,1; 1; 10 och 100 kan skrivas som tiopotenser, dvs. 10^(- 2), 10^(- 1), 10^0, 10^1 och 10^2. Beräknar man tiologaritmen av dessa blir resultatet exponenten på tiopotensen.
| x | 0,01 | 0,1 | 1 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| lg(x) | lg(0,01) | lg(0,1) | lg(1) | lg(10) | lg(100) |
| = | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 |
Exempel
Bestäm tiologaritmernas värden
Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare:
lg(10 000) lg(100) lg(1) lg(0,001).
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"lg(10 000)"},{"id":1,"text":"lg(100)"},{"id":2,"text":"lg(1)"},{"id":3,"text":"lg(0,001)"}],[{"id":0,"text":"4"},{"id":1,"text":"2"},{"id":2,"text":"0 "},{"id":3,"text":"-3"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
Ledtråd
Skriv varje tal som en potens av 10.
Lösning
lg är tiologaritmen, så lg(10 000) är alltså det tal man ska höja upp 10 till för att få 10 000. Eftersom 10 000 är lika med 10^4 är lg(10 000)=lg(10^4)= 4. Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom 0 ) upphöjt till 0 är 1.
| lg(10 000) | = | lg(10^4) | = | 4 |
| lg(100) | = | lg(10^2) | = | 2 |
| lg(1) | = | lg(10^0) | = | 0 |
| lg(0,001) | = | lg(10^(- 3)) | = | - 3 |
Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet 10 000 har 4 nollor, 100 har 2 nollor, 1 har 0 nollor och 0,001 har 3 nollor och är ett tal mindre än 1, så då får vi komma ihåg att det ska bli - 3.
Exempel
Vilken logaritm hör ihop med vilket värde?
Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer.
| lg(900) lg(100) lg(0,01) lg(0,25) |
| -5 -3,57 -2 -0,60 0 0,30 2 2,95 3 |
Svar
lg(900) ≈ 2,95
lg(100) = 2
lg(0,01) = -2
lg(0,25) ≈ - 0,60
Ledtråd
Vilka tal med exakta logaritmer är nära 900 och 0,25?
Lösning
Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså lg(100) och lg(0,01). De kan skrivas som lg(10^2) respektive lg(10^(- 2)), vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger lg(100) = 2 och lg(0,01)=- 2. Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet 900 ligger mellan 100 och 1 000. Alltså måste lg(900) vara större än lg(100)=2 och mindre än lg(1 000)=3, så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är 2,95. lg(900) ≈ 2,95 På motsvarande sätt ligger lg(0,25) mellan lg(0,1)=lg(10^(-1))=-1 och lg(1)=0, vilket innebär att den måste passa ihop med värdet -0,60. lg(0,25) ≈ - 0,60
Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.
| lg(900) | lg(100) | lg(0,25) | lg(0,01) |
| ≈ 2,95 | 2 | ≈ -0,60 | - 2 |
Digitala verktyg
Logaritmer på räknare
Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.
Tiologaritmer
På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på LOG.
Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen ).
Regel
Grundläggande samband för tiologaritmer
Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att tiologaritmen av
och tio upphöjt till
tar ut varandra.
Regel
10^(lg(a))=aSitter en logaritm, lg(a), som exponent på 10 kan man direkt bestämma tiopotensens värde genom att läsa av logaritmens argument, dvs. a.
Regel
lg(10^a)=aLogaritmerar man en tiopotens blir resultatet exponenten i tiopotensen. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en tiologaritm.
Exempel
Skriv talet som en tiopotens och tiologaritm
Skriv talet 14 både som en potens med basen 10 och som en tiologaritm.
Svar
14 = 10^(lg(14)) = lg(10^(14))
Ledtråd
Använd de grundläggande relationerna för tiologaritmer.
Lösning
Vi ska skriva 14 på formen 10^a. Vad ska a vara? Det är det tal man ska höja upp 10 till för att få 14. Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, lg(14) så därför är
14=10^(lg(14)).
Nu ska vi skriva 14 som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen lg(a). Vad ska a vara? Om vi tar tiologaritmen av 10^(14) får vi den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 10^(14), dvs. vi får tillbaka exponenten 14: 14=lg(10^(14)).
Vi kan även i båda fallen tänka att lg
och 10 upphöjt till
tar ut varandra.
Logaritmer
Uppgift 3.1
Skriv lg(sqrt(10^y) ) som ett bråk.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{y}{x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Det man ska inse här är att denna typ av rotuttryck kan skrivas om som en potens:
sqrt(a^b)=a^(b/n).
Därefter använder vi definitionen av en tiologaritm som säger att logaritmen av ett tal är den exponent 10 ska upphöjas till för att få talet, eller att lg
och 10 upphöjt till
tar ut varandra.
Vi har alltså lyckats skriva det som yx.
security
report
code
Bestäm logaritmen utan räknare.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Nu har vi en tiologaritm av en tiologaritm. Vi börjar med att bestämma den innersta logaritmen, lg (10^(10)), och sedan beräknar vi tiologaritmen av svaret.
Även här börjar vi inifrån. Logaritmer med andra baser än 10 fungerar på samma sätt, men nu letar vi efter den exponent som ska sitta på basen 2 för att få talet 8, dvs. 3.
Nu ska vi beräkna trelogaritmen av 3. Vilken exponent ska vi sätta på basen 3 för att få talet 3? Jo 1 eftersom 3^1 är lika med 3.
För att beräkna den inre logaritmen behöver vi skriva om potensen 2^(50) på basen 4. Därefter resonerar vi på motsvarande sätt som i föregående uppgift.
security
report
code
Vi vet att log_3(12) ≈ 2,26. Använd denna identitet för att uppskatta värdet av log_3(16).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"log_3(16)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.52"]}}
security
report
code
security
report
code
Om vi ska kunna utnyttja att log_3(12) ≈ 2,26 måste vi på något sätt skriva om log_3(16) så att det består av log_3(12) och andra kända tal. Det gör vi med logaritmlagarna och vi börjar med att skriva om argumentet 16 som 4^2 för att sedan flytta ner exponenten framför logaritmen.
Nu är argumentet 4, men vi kan få det att bli 12 genom att skriva om det som 123 och sedan använda logaritmlagen för division för att dela upp logaritmen i en differens där ena termen är log_3(12) och den andra är log_3(3). Då känner vi till alla värden i uttrycket eftersom log_3(3)=1.
Observera att 2,52 är ett avrundat värde, vilket man kan visa genom att skriva ~ 2,52.
security
report
code
Graferna beskriver tre olika funktioner på formen y=log_b(x) med heltalsbaser b som ligger i intervallet 2 ≤ b ≤ 8.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"h(x)"},{"id":1,"text":"g(x)"},{"id":2,"text":"f(x)"}],[{"id":0,"text":"y=log_5(x)"},{"id":1,"text":"y=log_3(x)"},{"id":2,"text":"y=log_2(x)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket log_b(x) beräknar vilken exponent man ska höja upp basen b med för att få x: b^(log_b(x))= x. Eftersom graferna beskriver olika funktioner på formen y=log_b(x) så måste y-värdet ange den exponent som b ska upphöjas till för att få x-värdet. Om vi därför kan hitta punkter på grafen där både x- och y-koordinaten utgör heltalsvärden kan vi bestämma exponenten och resultatet, alltså y respektive x i ekvationen b^y= x.
h(x)
Den gröna grafen h(x) skär punkten (5,1). Höjer vi upp grafens bas med 1 ska vi få 5. Eftersom alla tal upphöjt till 1 blir sig självt är basen 5.
g(x)
Den röda grafen g(x) skär punkten (9,2). Dess bas upphöjt till 2 ska alltså vara lika med 9: b^2=9. Kvadratroten ur 9 är 3 eftersom 3* 3=9 så den röda grafen har basen 3. Detta kan vi också se från att grafen skär punkten (3,1), med samma motivering som för gröna grafen.
f(x)
Den blå grafen f(x) skär punkten (8,3). Detta innebär att basen upphöjt till 3 ska vara lika med 8: b^3=8. Drar vi tredje roten ur 8 får vi 2 så den blå grafen har basen 2. Även här kan vi se detta på grund av att linjen går igenom punkten (2,1). Vi sammanfattar: h(x)& ↔ y=log_5(x) g(x)& ↔ y=log_3(x) f(x)& ↔ y=log_2(x)
security
report
code
Logaritmer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll