Tiologaritmen $\lg (a)$ och den generella logaritmen ${\log }_b(a)$ är bara definierade då talet $a$ är positivt. För att motivera detta kan man gå tillbaka till definitionen av logaritmer. Logaritmen av ett tal är den exponent som logaritmens bas måste upphöjas till för att få talet. Om man exempelvis vill bestämma $\lg (\text{-}3)$ är det ekvivalent med att ställa sig frågan "vilken exponent upphöjer man $10$ till för att få $\text{-}3$?" Man kan välja att undersöka den högra ekvationen genom att rita upp vänster- och högerledet i ett koordinatsystem.

Det ser ut som att funktionerna inte skär varandra, vilket i så fall skulle betyda att ekvationen $10^x=\text{-}3$ saknar lösning. Genom att undersöka positiva och negativa $x$ var för sig kan man motivera att ekvationen inte har några rötter.

$10$ upphöjt till $x$ är $10$ multiplicerat med sig själv $x$ gånger, t.ex. är $10^3=10\cdot 10\cdot 10$. Eftersom $10$ är ett positivt tal spelar det ingen roll hur många gånger man multiplicerar det — produkten kommer alltid bli positiv. Eventuella lösningar till $10^x=\text{-}3$ kan därför inte vara positiva. Kan $10^x$ bli negativt om $x$ är negativt? En potens med negativ exponent kan man skriva om till ett bråk.

$x$	$\text{-}1$	$\text{-}2$	$\text{-}3$	$\text{-}4$	$\text{-}5$
$10^x$	$10^{\text{-}1}$	$10^{\text{-}2}$	$10^{\text{-}3}$	$10^{\text{-}4}$	$10^{\text{-}5}$
Bråk	$\frac{1}{10^1}$	$\frac{1}{10^2}$	$\frac{1}{10^3}$	$\frac{1}{10^4}$	$\frac{1}{10^5}$
$=$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$0.00001$

Ju "mer negativt" $x$ blir desto mindre blir $10^x,$ men det blir aldrig negativt eller ens $0.$

Det finns alltså inga reella $x$ som löser ekvationen $10^x=\text{-}3,$ och därför är $x=\lg (\text{-}3)$ odefinierat.