Logaritmer: Lär dig mer om de olika logaritmerna

$x$	$0, 01$	$0, 1$	$1$	$10$	$100$
$l g (x)$	$l g (0, 01)$	$l g (0, 1)$	$l g (1)$	$l g (10)$	$l g (100)$
$=$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Beräkna uttrycket utan räknare.

\frac{1 0 ^{l g (9)}}{1 0 ^{l g (3)}}

1 0^{l g (4) + l g (3)}

1 0^{- l g (2)}

Vi beräknar först nämnare och täljare för sig och dividerar sedan.

Nu har vi en summa i exponenten. Det betyder att vi kan skriva om uttrycket till en produkt med en av potenslagarna.

Här har vi en tiopotens med en negativ exponent. Vi kan skriva om den som ett bråk, och använder sedan definitionen av en tiologaritm för att beräkna värdet.

Är

l g (9)

större eller mindre än

1 ?

Motivera ditt svar utan att använda räknare.

I ord kan lg(x) tolkas som det tal tio ska upphöjas till för att få x. Till exempel är 10^3 = 1000, så lg(1000) = 3. För att uppskatta lg(9) jämför vi med tiologaritmer i närheten. Nio ligger mellan ett och tio, så lg(9) måste vara större än lg(1) men mindre än lg(10). Då vi vet att 10^0=1 och 10^1=10 är lg(1)=0 och lg(10) = 1. Eftersom lg(9) är mindre än lg(10) är det också mindre än 1.

Erik slår in

l g (- 2)

på sin räknare. Kommer beräkningen att gå igenom? Motivera ditt svar.

lg(-2) är det tal man ska upphöja 10 till för att få -2. Exponenten på tian anger hur många gånger 10 multipliceras med sig själv. T.ex. är 10^3=10*10*10. Hur många gånger ska vi multiplicera 10 för att produkten ska bli -2? 10 är ett positivt tal och oavsett hur många gånger det multipliceras med sig själv blir produkten alltid positiv, och därmed aldrig -2. Därför är lg(-2) odefinierad. Beräkningen går därför inte igenom.

Beräkna logaritmen utan att använda räknare.

lo g_{4} (4)

lo g_{3} (9)

lo g_{2} (16)

log_4(4) är det tal man ska sätta som exponent på 4 för att potensens värde ska bli 4. Eftersom 4^1 är lika med 4 betyder det att log_4(4)=1.

log_3(9) är trelogaritmen av 9 dvs. det tal som man ska sätta på 3 för att få 9. 3^2 är lika med 9, vilket betyder att log_3(9)=2.

Vad ska man höja upp 2 till för att få 16? Jo, 4. Det betyder att log_2(16)=4.

Bestäm logaritmen utan att använda räknare.

lo g_{2} (8)

lo g_{6} (36)

lo g_{9} (9)

lo g_{4} (64)

Tvålogaritmen av 8, dvs. log_2(8), innebär att vi söker den exponent som basen 2 ska upphöjas till för att få resultatet 8: 2^(□)=8. Exponenten vi söker är 3, eftersom 2^3=8. Alltså är log_2(8)=3.

log_6(36) utläses sexlogaritmen av 36, och innebär att vi söker den exponent som basen 6 ska upphöjas till för att få resultatet 36: 6^(□)=36. Exponenten vi söker är 2, eftersom 6^2=36. Alltså är log_6(36)=2.

Här ska vi ta reda på log_9(9). Vilken exponent ska stå i rutan? 9^(□)=9. Eftersom alla tal upphöjt till 1 är lika med sig självt så är det 1 som ska stå i rutan. Niologaritmen av 9 är lika med 1.

Vi söker nu den exponent som 4 ska upphöjas till för att få 64, dvs. log_4(64). 4^(□)=64. Om man inte ser svaret på en gång kan man testa sig fram. 4^2=16, så det är inte 2. Däremot 4^3=4 * 4 * 4 vilket är 16 gånger 4 som är 64. Exponenten vi söker är alltså 3, så log_4(64)=3.

Vilket heltal approximerar

lo g_{3} (79)

bäst? Svara utan att använda räknare.

Resulatet av log_3(79) anger det tal som basen 3 ska upphöjas till för att potensens värde ska bli 79, dvs. det är lösningen på ekvationen 3^n=79. Vi testar oss fram genom att sätta in olika heltal i potensen 3^n.

n	3^n	=
1	3^1	3
2	3^2	9
3	3^3	27
4	3^4	81

Vi ser att 3^4 redan är lite större än 79, så 3^5 kommer att bli för stort. Eftersom 3^4 ligger betydligt närmare 79 än vad 3^3 gör så är heltalet 4 det bästa närmevärdet till log_3(79).

Betrakta följande logaritmsummor:

lo g (500) + lo g (2) lo g (250) + lo g (4) lo g (200) + lo g (5) .

Alla tre summor kan skrivas som en och samma tiologaritm. Vilken?

Skriv om

lo g (a) + lo g (b)

som en logaritm.

Vi slår in uträkningarna på räknaren.

Finns det någon tiologaritm som ger svaret 3? Eftersom 10^3=1000, inser vi att lg(1000) är den tiologaritm som ger oss svaret 3.

Vi har tre givna beräkningar på formen lg(a)+lg(b) som alla kan skrivas om som en tiologaritm, lg(1000). Kan vi hitta något samband mellan dessa? &log(500)+log(2)=log(1000) &log(250)+log(4)=log(1000) &log(200)+log(5)=log(1000) Det verkar som att alla följer mönstret att produkten av argumenten i de två första tiologaritmerna återfinns i argumentet i den ensamma logaritmen: &500 * 2=1000 &250 * 4=1000 &200 * 5=1000. Baserat på detta verkar det alltså som att logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Algebraiskt kan detta skrivas som följande regel: log(a)+log(b)=log(ab). Detta är en av de logaritmlagar som alltid gäller.

I människans magsäck produceras magsyra, som bl.a. hjälper till att bryta ner maten. Magsyran innehåller främst vätejoner (H

^{+}

) och kloridjoner (Cl

^{-}

). Aktiviteten av vätejoner i en lösning beskrivs av det logaritmiska måttet pH. Enkelt sagt berättar pH-värdet hur sur en lösning är, och ju lägre värde desto surare lösning. pH-värdet beräknas med formeln

pH = - l g (\frac{[ H ^{+} ]}{mol / dm ^{3}}),

där [H

^{+}

] är aktiviteten av vätejoner i lösningen och mol/dm

^{3}

är koncentrationens enhet. Denna enhet divideras bort i formeln för att pH-värdet bara anges som ett tal. Beräkna pH-värdet i magsyra om aktiviteten av vätejoner är

0, 02

mol/dm

^{3}

. Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Eftersom vi vet att vätejonsaktiviteten är 0,02 mol/dm^3 kan vi byta ut [H^+] mot detta värde i formeln.

pH-värdet är alltså ca 1,7 i magsyra om vätejonsaktiviteten är 0,02 mol/dm^3.

Logaritmer

Förkunskaper

Logaritm

Tiologaritm

Bestäm tiologaritmernas värden

Ledtråd

Lösning

Vilken logaritm hör ihop med vilket värde?

Svar

Ledtråd

Lösning

Logaritmer på räknare

Tiologaritmer

Grundläggande samband för tiologaritmer

Regel

Regel

Skriv talet som en tiopotens och tiologaritm

Svar

Ledtråd

Lösning

Logaritmer

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

$l g (10000)$	$=$	$l g (1 0^{4})$	$=$	$4$
$l g (100)$	$=$	$l g (1 0^{2})$	$=$	$2$
$l g (1)$	$=$	$l g (1 0^{0})$	$=$	$0$
$l g (0, 001)$	$=$	$l g (1 0^{- 3})$	$=$	$- 3$

$l g (900)$	$l g (100)$	$l g (0, 25)$	$l g (0, 01)$
$\approx 2, 95$	$2$	$\approx - 0, 60$	$- 2$