Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

abac=ab+ca^b\cdot a^c=a^{b+c}
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. 23222^3\cdot 2^2 lika med 23+2=25.2^{3+2}=2^5. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
23222^3 \cdot 2^2
Dela upp i faktorer
(222)(22)(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)
222222 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
252^5
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel

abac=abc\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 363^6 och 343^4 lika med 364=323^{6-4}=3^2. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

3634\dfrac{3^6}{3^4}
Dela upp i faktorer
3333333333\dfrac{3\cdot 3\cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3}
3333333333\dfrac{3\cdot 3\cdot \cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}{\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}
333\cdot3
323^2
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och cc, men inte om a=0.a=0. Då blir uttrycket odefinierat.
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(ab)c=abc\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. (52)3\left(5^2\right)^3 lika med 523=56.5^{2\cdot3}=5^6. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(52)3\left(5^2\right)^3
5252525^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2
5555555\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5
565^{6}
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel

(ab)c=acbc(ab)^c=a^c b^c

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (25)3\left(2\cdot 5\right)^3 samma sak som 2353.2^3\cdot 5^3. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(25)3\left(2\cdot 5\right)^3
(25)(25)(25)(2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5)
2525252\cdot 5 \cdot 2\cdot 5 \cdot 2\cdot 5
2225552\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 5
23532^3\cdot 5^3
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel

(ab)c=acbc\left(\dfrac{a}{b}\right)^c=\dfrac{a^c}{b^c}

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (65)4\left(\frac{6}{5}\right)^4 samma sak som 6454.\frac{6^4}{5^4}. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

(65)4\left(\dfrac{6}{5}\right)^4
Dela upp i faktorer
65656565\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}
66665555\dfrac{6\cdot 6\cdot6\cdot6}{5\cdot 5\cdot5\cdot5}
6454\dfrac{6^4}{5^4}
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och c,c, men inte om b=0.b=0.
Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5-3,5^{\text{-}3}, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 153.\frac{1}{5^3}. Denna motiveras genom att skriva -3\text{-}3 som t.ex. 474-7 och använda en av potenslagarna.

5-35^{\text{-}3}
5475^{4-7}
abc=abac a^{b-c}= \dfrac{a^b}{a^c}
5457\dfrac{5^{4}}{5^{7}}
Dela upp i faktorer
55555555555\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}
55555555555\dfrac{\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}}{5\cdot5\cdot5\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}}
1555\dfrac{1}{5\cdot5\cdot5}
153\dfrac{1}{5^3}
En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}