Komplexkonjugatet av en produkt

Komplexkonjugatet av en produkt kan skrivas som produkten av konjugaten.

$\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \cdot \overset{z}{ˉ}_{2}$

Det här kan visas genom att skriva talen på rektangulär form, t.ex.

z_{1} = a + b i och z_{2} = c + d i,

och utveckla båda led. Först utvecklas vänsterledet.

\overline{z_{1} z_{2}}

$z_{1} = a + b i$ , $z_{2} = c + d i$

\overline{(a + b i) (c + d i)}

Multiplicera parenteser

\overline{a c + a d i + b c i + b d i^{2}}

$i^{2} = - 1$

\overline{a c + a d i + b c i + b d (- 1)}

Multiplicera faktorer

\overline{a c + a d i + b c i - b d}

\OT

\overline{a c - b d + a d i + b c i}

Bryt ut $i$

\overline{a c - b d + i (a d + b c)}

$\overline{a + b i} = a - b i$

a c - b d - i (a d + b c)

Multiplicera in $i$

a c - b d - (a d i + b c i)

Ta bort parentes & byt tecken

a c - b d - a d i - b c i

Nu ska istället högerledet utvecklas, genom att sätta in konjugaten

\overset{z}{ˉ}_{1} = a - b i

och

\overset{z}{ˉ}_{2} = c - d i .

\overset{z}{ˉ}_{1} \cdot \overset{z}{ˉ}_{2}

$\overset{z}{ˉ}_{1} = a - b i$ , $\overset{z}{ˉ}_{2} = c - d i$

(a - b i) (c - d i)

Multiplicera parenteser

a c - a d i - b c i + b d i^{2}

$i^{2} = - 1$

a c - a d i - b c i + b d (- 1)

Multiplicera faktorer

a c - a d i - b c i - b d

\OT

a c - b d - a d i - b c i

Det här är exakt samma uttryck som hittades i vänsterledet. Därför är

\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \cdot \overset{z}{ˉ}_{2} .

Q.E.D.