Regel

Komplexkonjugatet av en produkt

Komplexkonjugatet av en produkt kan skrivas som produkten av konjugaten.

z1z2=zˉ1zˉ2\overline{z_1 z_2} =\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2

Det här kan visas genom att skriva talen på rektangulär form, t.ex. z1=a+biochz2=c+di,z_1 = a+bi\quad \text{och} \quad z_2 =c+di, och utveckla båda led. Först utvecklas vänsterledet.
z1z2\overline{z_1 z_2}
z1=a+biz_1={\color{#0000FF}{a+bi}}, z2=c+diz_2={\color{#009600}{c+di}}
(a+bi)(c+di)\overline{({\color{#0000FF}{a+bi}}) ({\color{#009600}{c+di}})}
ac+adi+bci+bdi2\overline{ac+adi+bci +bdi^2}
i2=-1i^2=\text{-} 1
ac+adi+bci+bd(-1)\overline{ac+adi+bci +bd(\text{-}1)}
ac+adi+bcibd\overline{ac+adi+bci -bd}
\OT
acbd+adi+bci\overline{ac-bd+adi+bci}
acbd+i(ad+bc)\overline{ac-bd+i(ad+bc)}
acbdi(ad+bc)ac-bd-i(ad+bc)
acbd(adi+bci)ac-bd-(adi+bci)
acbdadibciac-bd-adi-bci
Nu ska istället högerledet utvecklas, genom att sätta in konjugaten zˉ1=abi\bar{z}_1 = a-bi och zˉ2=cdi.\bar{z}_2 = c-di.
zˉ1zˉ2\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2
zˉ1=abi\bar{z}_1={\color{#0000FF}{a-bi}}, zˉ2=cdi\bar{z}_2={\color{#009600}{c-di}}
(abi)(cdi)({\color{#0000FF}{a-bi}}) ({\color{#009600}{c-di}})
acadibci+bdi2ac -adi -bci + bdi^2
i2=-1i^2=\text{-} 1
acadibci+bd(-1)ac -adi -bci + bd(\text{-}1)
acadibcibdac -adi -bci - bd
\OT
acbdadibciac- bd -adi -bci
Det här är exakt samma uttryck som hittades i vänsterledet. Därför är z1z2=zˉ1zˉ2. \overline{z_1 z_2} =\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}