Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Bestäm gränsvärde med dominerande termer

Uppgift

Bestäm gränsvärdet limx 9x245x3x2+28x. \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x^2-45x}{3x^2+28x}.

Lösning

Det är alltid bra att börja med att bryta ut och förkorta bort xx om det går.

limx 9x245x3x2+28x\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x^2-45x}{3x^2+28x}
limx x9xx45x3x+x28\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{x \cdot 9x-x\cdot 45}{x \cdot 3x+x \cdot 28}
limx x(9x45)x(3x+28)\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{x \left(9x-45\right)}{x\left(3x+28\right)}
limx 9x453x+28\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x-45}{3x+28}

Här skulle vi kunna förkorta bort termen av högst grad, som i metoden "Bestämma gränsvärde när xx går mot oändligheten", men vi kan också resonera oss fram. Vi visar det senare alternativet. Att xx går mot oändligheten betyder att xx blir större och större. För exempelvis x=1000000000x=1\,000\,000\,000 blir funktionsvärdet för det rationella uttrycket 9x453x+28\frac{9x-45}{3x+28} 9000000000453000000000+28. \dfrac{9\,000\,000\,000-45}{3\,000\,000\,000+28}. Konstanterna 4545 och 2828 kommer att blir mycket små i jämförelse med xx-termernas värden. Man brukar säga att xx-termerna är dominerande i jämförelse med konstanttermerna som blir försumbara, dvs. vi kan bortse från dem då vi bestämmer gränsvärdet: limx 9x453x+28 = limx 9x3x. \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x-45}{3x+28} \ = \ \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x}{3x}. Gränsvärdet blir alltså detsamma ändå. Nu kan vi bestämma det genom att återigen förkorta bort x.x.

limx 9x3x\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x}{3x}
limx 93\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9}{3}
limx 3\lim \limits_{x \to \infty} \ 3
33

Gränsvärdet för 9x245x3x2+28x\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x}xx går mot oändligheten är 3,3, dvs. funktionen y=9x245x3x2+28xy=\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x} kommer att komma närmare och närmare 33 när xx blir större och större.

info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward