Uppgift

Bestäm gränsvärdet limx 9x245x3x2+28x. \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x^2-45x}{3x^2+28x}.

Lösning

Det är alltid bra att börja med att bryta ut och förkorta bort xx om det går.

limx 9x245x3x2+28x\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x^2-45x}{3x^2+28x}
limx x9xx45x3x+x28\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{x \cdot 9x-x\cdot 45}{x \cdot 3x+x \cdot 28}
limx x(9x45)x(3x+28)\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{x \left(9x-45\right)}{x\left(3x+28\right)}
limx 9x453x+28\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x-45}{3x+28}

Här skulle vi kunna förkorta bort termen av högst grad, som i metoden "Bestämma gränsvärde när xx går mot oändligheten", men vi kan också resonera oss fram. Vi visar det senare alternativet. Att xx går mot oändligheten betyder att xx blir större och större. För exempelvis x=1000000000x=1\,000\,000\,000 blir funktionsvärdet för det rationella uttrycket 9x453x+28\frac{9x-45}{3x+28} 9000000000453000000000+28. \dfrac{9\,000\,000\,000-45}{3\,000\,000\,000+28}. Konstanterna 4545 och 2828 kommer att blir mycket små i jämförelse med xx-termernas värden. Man brukar säga att xx-termerna är dominerande i jämförelse med konstanttermerna som blir försumbara, dvs. vi kan bortse från dem då vi bestämmer gränsvärdet: limx 9x453x+28 = limx 9x3x. \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x-45}{3x+28} \ = \ \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x}{3x}. Gränsvärdet blir alltså detsamma ändå. Nu kan vi bestämma det genom att återigen förkorta bort x.x.

limx 9x3x\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x}{3x}
limx 93\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9}{3}
limx 3\lim \limits_{x \to \infty} \ 3
33

Gränsvärdet för 9x245x3x2+28x\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x}xx går mot oändligheten är 3,3, dvs. funktionen y=9x245x3x2+28xy=\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x} kommer att komma närmare och närmare 33 när xx blir större och större.

Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}