7. Differentialekvationer
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Denna sida handlar om differentialekvationer, som är ekvationer som beskriver sambandet mellan en funktion och dess derivator. Ett exempel på en sådan situation kan vara mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Differentialekvationer kan vara av olika ordningar, beroende på vilken derivata som är den högsta i ekvationen. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner som uppfyller ekvationen. Dessa funktioner sägs ibland "satisfiera" differentialekvationen. Differentialekvationer används ofta för att beskriva verkliga händelseförlopp, som till exempel bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 5 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator.
Ett exempel på en differentialekvation är
y'' + 3y' + 2y = 0,
som beror på funktionen y och dess första- och andraderivata.
Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan.
Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner y som uppfyller likheten. I det givna exemplet är
y = e^(- x) och y = 12e^(-2x)
två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med 0. Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att de satisfierar
differentialekvationen.
För att bekräfta att en funktion uppfyller en differentialekvation bestämmer man först den eller de derivator som ingår i ekvationen. Sedan sätter man in dem i ekvationen och visar att likheten gäller.
Exempelvis kan man bekräfta att funktionen y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen
y + 2y' + 4y'' = 2( x^2 + 2 ).
Derivera funktion
Derivera term för term
D(ax) = a, D(a) = 0
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
Man deriverar sedan igen för att få andraderivatan.
Derivera funktion
Derivera term för term
D(ax) = a, D(a) = 0
y= 2x^2 - 8x + 4
y'= 4x - 8
y''= 4
Multiplicera in 2
Multiplicera faktorer
Förenkla termerna
Eftersom likheten stämmer har man nu bekräftat att funktionen y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen. Om likheten istället inte skulle gälla innebär det att funktionen inte uppfyller differentialekvationen.
Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen y' = ky,
där derivatan y' anger befolkningstillväxten, y är antalet invånare och k är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.Vi vet att tillväxthastigheten för bakterierna är 35 % av det nuvarande antalet. Om det vid ett visst tillfälle exempelvis finns 20 000 bakterier ökar antalet i det ögonblicket med hastigheten 0.35 * 20 000 = 7000 bakterier per timme. Denna tillväxthastighet är derivatan av funktionen y och beräknas alltså som 0.35 * y = y'. Denna differentialekvation anger sambandet mellan funktionen y och dess derivata y'. Vi vill nu bekräfta att funktionen y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller differentialekvationen, vilket vi gör genom att jämföra vänster- och högerledet. För högerledet måste vi först bestämma derivatan y'.
Derivera funktion
D( ae^(kx)) = a* ke^(kx)
Detta är vårt högerled. För vänsterledet, 0.35 * y, behöver vi inte göra någon uträkning utan det räcker med att sätta in funktionen y=15 000 * e^(0.35x). Vi får då lVL = 0.35 * y = 0.35 * 15 000 * e^(0.35x) [-1em] HL = 15 000 * 0.35 * e^(0.35x). Vänster- och högerleden är lika, vilket innebär att y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller differentialekvationen.
Stämmer det att summan av två godtyckliga lösningar till differentialekvationen ay'' = y, a > 0 också är lösningar? Motivera!
Vi låter y_1 och y_2 vara två lösningar till differentialekvationen ay'' = y, där a är ett positivt tal. Eftersom de är lösningar innebär det att följande samband gäller: ay_1'' & = y_1 ⇔ ay_1'' -y_1=0 ay_2'' & = y_2 ⇔ ay_2'' -y_2 = 0. Om y_1+y_2 är en lösning ska motsvarande likhet gälla för summan. Om vi låter (y_1+y_2)'' beteckna andraderivatan av y_1+y_2 betyder får det att vi ska visa a(y_1+y_2)''-(y_1+y_2)=0. Eftersom det är denna likhet vi ska visa så kan vi inte anta att den gäller. Istället börjar vi med vänsterledet och försöker skriva om det så att det blir 0. Vi tar fram andraderivatan för y_1+y_2 och använder då att man kan derivera varje term för sig. Det betyder att (y_1+y_2)'=y_1'+y_2'. Genom att derivera en gång till får vi andraderivatan. Med samma regel får vi (y_1+y_2)''=(y_1'+y_2')'=y_1''+y_2''. Vi sätter in detta i vänsterledet och visar att det blir 0.
Nu kan vi använda att y_1 och y_2 är lösningar till differentialekvationen, dvs. ay_1''=y_1 och ay_2''=y_2.
Uttrycket blir 0 vilket betyder att y_1+y_2 är en lösning till differentialekvationen om y_1 och y_2 är lösningar.
Använd algebraiska metoder för att bestämma minst en lösning till differentialekvationen yy' - 2y' + y = 2.
När man löser en differentialekvation är man ut efter en funktion y som gör att likheten i ekvationen stämmer. Vi har inte lärt oss några metoder för att göra det än, men eftersom vi är ute efter y känns det naturligt att försöka lösa ut det.
Om vi bryter ut 2 i högerledet ser vi att faktorn y' + 1 finns även där. y * (y' + 1) = 2 * (y' + 1) Om vi nu dividerar med y' + 1 försvinner alla y' och det enda som finns kvar är y = 2. Detta är alltså en lösning till differentialekvationen, och vi kan bekräfta det genom att sätta in y = 2 och y' = 0 i den.
Detta är en lösning, men det finns faktiskt flera. Vi går tillbaka och tar en till titt på differentialekvationen skriven på formen y * (y' + 1) = 2 * (y' + 1). En annan möjlighet som gör att likheten stämmer är om y' + 1 = 0. Då kommer både vänster- och högerledet att vara 0 och likheten kommer att gälla oavsett vad de andra faktorerna är. Subtraherar vi 1 från båda sidor av y' + 1 = 0 får vi y' = -1. Derivatan till funktionen ska alltså vara -1. Om vi bestämmer alla primitiva funktioner till konstanten -1 får vi y = - x + C, där C är en godtycklig konstant. Genom att välja olika värden på C kan vi hitta lösningar till differentialekvationen. T.ex. är y = - x och y = - x + 7 lösningar. Vi testar att sätta in y = - x + 7 och y' = -1 i ekvationen för att bekräfta detta.
Det stämmer! Vilken som helst av funktionerna y = 2 och y = - x + C, där C är en konstant, löser alltså differentialekvationen.
Visa att y = 3/1 + e^(- x) är en lösning till differentialekvationen y' = y(1 - y/3).
Vi skriver om y = 3/1 + e^(- x) = 3(1 + e^(- x))^(- 1) och deriverar med kedjeregeln.
Vi beräknar nu högerledet y(1 - y/3) genom att sätta in y = 3/1 + e^(- x).
Eftersom y' = 3e^(- x)/(1+e^(- x))^2 = y(1-y/3) är funktionen y = 3/1 + e^(- x) en lösning till differentialekvationen.
Vi skriver om ekvationen för att få ett tydligare uttryck för andraderivatan. y'' -4 y = 0 ⇔ y'' = 4y Vi ser att andraderivatan ges av funktionen själv gånger faktorn 4. Detta innebär att y bör vara av typen e^(kx), eftersom $D( ae^(kx)) = a* ke^(kx)$ Derivatan av denna ges alltså av en koefficient gånger funktionen själv. Vi kan då utgå från funktionen y = e^(kx), derivera denna två gånger och sedan helt enkelt avläsa vad k måste vara.
Vi jämför denna med differentialekvationen och ser att k^2 = 4 vilket ger k = ±sqrt(4) = ± 2. Detta ger de två lösningarna y_1 = e^(2x) och y_2 = e^(- 2x) Det är värt att notera att dessa inte är de enda lösningarna. Formen y = e^(kx) kan generaliseras ytterligare till y = ae^(kx). För varje a-värde man väljer finns det då två möjliga k-värden, ett positivt och ett negativt, som ger varsin giltig lösning. y = ae^(2x) och y = ae^(- 2x)
Vi ska nu visa att summan av våra lösningar också utgör en lösning. Summerar vi lösningarna får vi alltså den nya funktionen
y = e^(2x) + e^(- 2x)
För att kolla om detta utgör en lösning behöver vi andraderivatan.
Nu har vi funktionen och dess andraderivata. Genom att sätta in dessa i differentialekvationen undersöker vi om y utgör en lösning.
Likheten ovan gäller för alla värden på x eftersom leden tar ut varandra, och därmed är summan av lösningarna också en lösning.