Differentialekvationer: Lär dig lösa och förstå dem

Löser

y = x sin (x)

differentialekvationen

\frac{y + y ^{''}}{2} = \frac{x y ^{'} - y}{x ^{2}} ?

I ekvationen ser vi att y, y' och y'' ingår, alltså måste vi derivera y två gånger.

Nu deriverar vi en gång till för att få y''.

Vi kan nu sätta in funktionen och derivatorna i differentialekvationen och undersöka om vänsterled och högerled är lika.

Funktionen y = xsin(x) löser alltså differentialekvationen.

Ett företag har nyligen infört mikrotransaktioner i sitt onlinespel. Efter

t

veckor kan spelets användarantal

y (t)

beskrivas med differentialekvationen

y^{'} (t) = - 0.3 y (t) .

Med hur många procent av användartalet ändras användarantalet i varje stund?

I ord säger differentialekvationen y'(t) =- 0.3y(t) att y'(t), den ögonblickliga förändringen av y(t), är lika stor som - 0.3 multiplicerat med det nuvarande värdet y(t). Om vi uttrycker - 0.3 som ett procenttal istället får vi att förändringshastigheten alltid är - 30 % av nuvarande värde. Översatt till spelets användarantal betyder det att ändringen i en viss tidpunkt, mätt i användare per vecka, alltid är minus 30 %av antalet användare just då. En negativ förändring betyder minskning, alltså minskar antalet spelare med denna hastighet.

Bestäm en differentialekvation av första ordningen som har funktionen $y = x^{2} e^{x}$ som lösning.

Vår differentialekvation av första ordningen ska innehålla förstaderivatan y' men inga andra derivator av högre ordning. Vi börjar med att derivera y.

Nu kan y och y' kombineras godtyckligt för att bilda en differentialekvation av första ordningen. Vi väljer att addera derivatan y' och funktionen y.

Differentialekvationen y'+y = 2x e^x +2x^2 e^x, löses alltså av funktionen y=x^2 e^x.

En lärare ställer en kopp varmt kaffe i ett $23$ grader varmt klassrum och startar lektionen. Newtons avsvalningslag säger att temperaturen $T^{\circ} C$ hos kaffet minskar med tiden $t h$ så att temperaturförändringens hastighet är direkt proportionell mot skillnaden mellan kaffets och rummets temperatur. Låt $k$ vara proportionalitetskonstanten.

Ställ upp en differentialekvation som beskriver kaffets temperatur.

Är

T (t) = 68 e^{k t} + 23

en lösning till differentialekvationen?

Efter en

30

minuter lång föreläsning kan läraren äntligen ta en klunk från sitt kaffe. Kaffet har då temperaturen

4 5^{\circ} C .

Bestäm värdet på konstanten

k .

Den funktion som beskriver temperaturen på kaffet betecknar vi T(t). Temperaturförändringen får vi om vi deriverar denna funktion med avseende på tiden. Detta betecknar vi som dT/dt. Temperaturförändringens beror av två olika temperaturer. Dels kaffets egna och dels klassrummets temperatur. Klassrummet är 23 grader varmt och kaffet har temperaturen T grader. Differensen mellan dessa temperaturer blir då T-23. Temperaturförändringen, dTdt, och differensen mellan kaffets och rummets temperatur, T-23, är direkt proportionella mot varandra. Vi kallar proportionalitetskonstant k och finner att differentialekvationen kan skrivas dT/dt=k(T-23).

Vi skall undersöka om funktionen T(t)=68e^(kt) +23 löser differentialekvationen. För att göra det behöver vi känna till funktionens derivata.

Vi sätter nu in funktionen och dess derivata i differentialekvationen dT/dt=k(T-23) och undersöker om funktionen löser differentialekvationen.

Eftersom 68* k e^(kt) är lika med k* 68e^(kt) har vi nu kommit fram till att funktionen T(t)=68e^(kt) +23 löser differentialekvationen.

De kända värdena är att tiden är 30 minuter, dvs. t=0.5 h, och temperaturen T(0.5)=45 ^(∘) C. När vi sätter in detta i funktionen T(t) får vi en ekvation med en okänd, nämligen k som vi söker.

Vi har nu bestämt värdet på konstanten, k=2ln( 11/34 ).

Differentialekvationer

Differentialekvation

Bekräfta lösningar till differentialekvationer

Differentialekvationer som modeller

Exempel

Ställ upp differentialekvationen

Differentialekvationer

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.