7. Differentialekvationer
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Denna sida handlar om differentialekvationer, som är ekvationer som beskriver sambandet mellan en funktion och dess derivator. Ett exempel på en sådan situation kan vara mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Differentialekvationer kan vara av olika ordningar, beroende på vilken derivata som är den högsta i ekvationen. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner som uppfyller ekvationen. Dessa funktioner sägs ibland "satisfiera" differentialekvationen. Differentialekvationer används ofta för att beskriva verkliga händelseförlopp, som till exempel bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 5 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator. Ett exempel på en differentialekvation är y'' + 3y' + 2y = 0, som beror på funktionen y och dess första- och andraderivata. Förstaderivatan, som betecknas y' eller dy/dx, är derivatan av funktionen y och beskriver dess förändringshastighet. Andraderivatan, som betecknas y'' eller d^2y/dx^2, är i sin tur derivatan av förstaderivatan. Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner y som uppfyller likheten. I det givna exemplet är y = e^(- x) och y = 12e^(-2x)
två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med 0. Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att desatisfierardifferentialekvationen.
För att bekräfta att en funktion uppfyller en differentialekvation bestämmer man först den eller de derivator som ingår i ekvationen. Sedan sätter man in dem i ekvationen och visar att likheten gäller. Exempelvis kan man bekräfta att funktionen y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen y + 2y' + 4y'' = 2( x^2 + 2 ).
Derivera funktion
Derivera term för term
D(ax) = a, D(a) = 0
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
Man deriverar sedan igen för att få andraderivatan.
Derivera funktion
Derivera term för term
D(ax) = a, D(a) = 0
y= 2x^2 - 8x + 4
y'= 4x - 8
y''= 4
Multiplicera in 2
Multiplicera faktorer
Förenkla termerna
Eftersom likheten stämmer har man nu bekräftat att funktionen y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen. Om likheten istället inte skulle gälla innebär det att funktionen inte uppfyller differentialekvationen.
Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen y' = ky,
där derivatan y' anger befolkningstillväxten, y är antalet invånare och k är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.Vi vet att tillväxthastigheten för bakterierna är 35 % av det nuvarande antalet. Om det vid ett visst tillfälle exempelvis finns 20 000 bakterier ökar antalet i det ögonblicket med hastigheten 0.35 * 20 000 = 7000 bakterier per timme. Denna tillväxthastighet är derivatan av funktionen y och beräknas alltså som 0.35 * y = y'. Denna differentialekvation anger sambandet mellan funktionen y och dess derivata y'. Vi vill nu bekräfta att funktionen y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller differentialekvationen, vilket vi gör genom att jämföra vänster- och högerledet. För högerledet måste vi först bestämma derivatan y'.
Derivera funktion
D( ae^(kx)) = a* ke^(kx)
Detta är vårt högerled. För vänsterledet, 0.35 * y, behöver vi inte göra någon uträkning utan det räcker med att sätta in funktionen y=15 000 * e^(0.35x). Vi får då lVL = 0.35 * y = 0.35 * 15 000 * e^(0.35x) [-1em] HL = 15 000 * 0.35 * e^(0.35x). Vänster- och högerleden är lika, vilket innebär att y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller differentialekvationen.
Löser y = x sinx differentialekvationen y+y''/2 = xy' - y/x^2?
I ekvationen ser vi att y, y' och y'' ingår, alltså måste vi derivera y två gånger.
Nu deriverar vi en gång till för att få y''.
Vi kan nu sätta in funktionen och derivatorna i differentialekvationen och undersöka om vänsterled och högerled är lika.
Funktionen y = xsinx löser alltså differentialekvationen.
Ett företag har nyligen infört mikrotransaktioner i sitt onlinespel. Efter t veckor kan spelets användarantal y(t) beskrivas med differentialekvationen y'(t) =- 0,3y(t). Med hur många procent av användartalet ändras användarantalet i varje stund?
I ord säger differentialekvationen y'(t) =- 0,3y(t) att y'(t), den ögonblickliga förändringen av y(t), är lika stor som - 0,3 multiplicerat med det nuvarande värdet y(t). Om vi uttrycker - 0,3 som ett procenttal istället får vi att förändringshastigheten alltid är - 30 % av nuvarande värde. Översatt till spelets användarantal betyder det att ändringen i en viss tidpunkt, mätt i användare per vecka, alltid är minus 30 %av antalet användare just då. En negativ förändring betyder minskning, alltså minskar antalet spelare med denna hastighet.
Bestäm en differentialekvation av första ordningen som har funktionen y=x^2 e^x som lösning.
Vår differentialekvation av första ordningen ska innehålla förstaderivatan y' men inga andra derivator av högre ordning. Vi börjar med att derivera y.
Nu kan y och y' kombineras godtyckligt för att bilda en differentialekvation av första ordningen. Vi väljer att addera derivatan y' och funktionen y.
Differentialekvationen y'+y = 2x e^x +2x^2 e^x, löses alltså av funktionen y=x^2 e^x.
Vi vet att y = C * e^(kx) är en lösning till differentialekvationen y' = 0,05y och att y(0) = 8. Bestäm konstanterna C och k.
Vi bestämmer C och k separat med hjälp av de två givna villkoren.
Vi använder begynnelsevillkoret y(0) = 8 genom att sätta in x = 0 i y = C * e^(kx).
Vi deriverar y = C * e^(kx) och sätter in i differentialekvationen y' = 0,05y.
Vi sätter nu in y och y' i differentialekvationen.
Konstanterna är C = 8 och k = 0,05.
Bestäm det positiva talet k så att y = sin(kx) blir en lösning till differentialekvationen y'' + 16y = 0.
Vi deriverar y = sin(kx).
Eftersom ekvationen innehåller y'' behöver vi derivera en gång till.
Vi sätter nu in y och y'' i differentialekvationen och löser ut k.
Eftersom sin(kx) ≠ 0 i allmänhet behöver vi - k^2 + 16 = 0. Vi löser ut k.
Eftersom vi söker det positiva värdet på k drar vi slutsatsen att k = 4.
Den funktion som beskriver temperaturen på kaffet betecknar vi T(t). Temperaturförändringen får vi om vi deriverar denna funktion med avseende på tiden. Detta betecknar vi som dT/dt. Temperaturförändringens beror av två olika temperaturer. Dels kaffets egna och dels klassrummets temperatur. Klassrummet är 23 grader varmt och kaffet har temperaturen T grader. Differensen mellan dessa temperaturer blir då T-23. Temperaturförändringen, dT/dt, och differensen mellan kaffets och rummets temperatur, T-23, är direkt proportionella mot varandra. Vi kallar proportionalitetskonstant k och finner att differentialekvationen kan skrivas dT/dt=k(T-23).
Vi skall undersöka om funktionen T(t)=68e^(kt) +23 löser differentialekvationen. För att göra det behöver vi känna till funktionens derivata.
Vi sätter nu in funktionen och dess derivata i differentialekvationen dT/dt=k(T-23) och undersöker om funktionen löser differentialekvationen.
Eftersom 68* k e^(kt) är lika med k* 68e^(kt) har vi nu kommit fram till att funktionen T(t)=68e^(kt) +23 löser differentialekvationen.
De kända värdena är att tiden är 30 minuter, dvs. t=0,5 h, och temperaturen T(0,5)=45 ^(∘) C. När vi sätter in detta i funktionen T(t) får vi en ekvation med en okänd, nämligen k som vi söker.
Vi har nu bestämt värdet på konstanten, k=2ln( 11/34 ).