7. Differentialekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
7.
Differentialekvationer
Denna sida handlar om differentialekvationer, som är ekvationer som beskriver sambandet mellan en funktion och dess derivator. Ett exempel på en sådan situation kan vara mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Differentialekvationer kan vara av olika ordningar, beroende på vilken derivata som är den högsta i ekvationen. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner som uppfyller ekvationen. Dessa funktioner sägs ibland "satisfiera" differentialekvationen. Differentialekvationer används ofta för att beskriva verkliga händelseförlopp, som till exempel bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Differentialekvationer
Sida av 5
Det finns många situationer där förändringen av ett antal eller en mängd beror på dess nuvarande värde. Ett exempel är mängden pengar på ett bankkonto, där den intjänade räntan beror på hur mycket pengar som finns på kontot. Sådana situationer kan beskrivas matematiskt med hjälp av så kallade differentialekvationer.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Differentialekvation
En differentialekvation anger ett samband mellan en funktion och en eller flera av dess derivator. Ett exempel på en differentialekvation är y'' + 3y' + 2y = 0, som beror på funktionen y och dess första- och andraderivata. Denna differentialekvation är av andra ordningen eftersom andraderivatan är den högsta förekommande derivatan. Lösningarna till differentialekvationen är de funktioner y som uppfyller likheten. I det givna exemplet är y = e^(- x) och y = 12e^(-2x)
två möjliga lösningar eftersom de gör att vänsterledet blir lika med 0. Oftast finns det ett oändligt antal sådana funktioner, och man säger ibland att de satisfierar differentialekvationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bekräfta lösningar till differentialekvationer
För att bekräfta att en funktion uppfyller en differentialekvation bestämmer man först den eller de derivator som ingår i ekvationen. Sedan sätter man in dem i ekvationen och visar att likheten gäller. Exempelvis kan man bekräfta att funktionen y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen
y + 2y' + 4y'' = 2( x^2 + 2 ).
1
Bestäm derivatorna som ingår
expand_more Först identifierar och bestämmer man de derivator som ingår i differentialekvationen. För exemplet ingår första- och andraderivatan i ekvationen. Man börjar då med att bestämma förstaderivatan.
Man deriverar sedan igen för att få andraderivatan.
y = 2x^2 - 8x + 4
Derive
Derivera funktion
y' = D ( 2x^2 ) - D(8x) + D(4)
DeriveXCo
D(ax) = a, D(a) = 0
y' = D ( 2x^2 ) - 8
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
y' = 4x - 8
2
Sätt in funktionen och derivatorna i ekvationen
expand_more När derivatorna är bestämda sätter man in dem och funktionen i differentialekvationen.
y + 2y' + 4y'' ? = 2( x^2 + 2 )
Substitute
y= 2x^2 - 8x + 4
2x^2 - 8x + 4 + 2y' + 4y'' ? = 2( x^2 + 2 )
Substitute
y'= 4x - 8
2x^2 - 8x + 4 + 2( 4x - 8) + 4y'' ? = 2( x^2 + 2 )
Substitute
y''= 4
2x^2 - 8x + 4 + 2(4x - 8) + 4 * 4 ? = 2( x^2 + 2 )
3
Bekräfta att VL = HL
expand_more Till sist bekräftar man att likheten gäller genom att förenkla båda leden.
Eftersom likheten stämmer har man nu bekräftat att funktionen y = 2x^2 - 8x + 4 uppfyller differentialekvationen. Om likheten istället inte skulle gälla innebär det att funktionen inte uppfyller differentialekvationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Differentialekvationer som modeller
Många verkliga händelseförlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, t.ex. bakterietillväxter, temperaturförändringar och vattenflöden. Om befolkningstillväxten i en stad beror på hur många invånare staden har kan man t.ex. ställa upp ekvationen y' = ky,
där derivatan y' anger befolkningstillväxten, y är antalet invånare och k är en proportionalitetskonstant. I det här fallet är det ett linjärt samband mellan förändringen av värdet och själva värdet. Beroende på situationen kan dock sambandet se ut på många olika sätt.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Ställ upp differentialekvationen
I en bakterieodling är tillväxthastigheten per timme i varje ögonblick proportionerlig mot antalet bakterier. Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta samband om tillväxthastigheten är 35 % av det nuvarande antalet. Låt funktionen y ange antalet bakterier efter x timmar. Visa sedan att funktionen y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller denna differentialekvation.
Visa Lösning expand_more
Vi vet att tillväxthastigheten för bakterierna är 35 % av det nuvarande antalet. Om det vid ett visst tillfälle exempelvis finns 20 000 bakterier ökar antalet i det ögonblicket med hastigheten 0.35 * 20 000 = 7000
bakterier per timme. Denna tillväxthastighet är derivatan av funktionen y och beräknas alltså som
0.35 * y = y'.
Denna differentialekvation anger sambandet mellan funktionen y och dess derivata y'. Vi vill nu bekräfta att funktionen y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller differentialekvationen, vilket vi gör genom att jämföra vänster- och högerledet. För högerledet måste vi först bestämma derivatan y'.
Detta är vårt högerled. För vänsterledet, 0.35 * y, behöver vi inte göra någon uträkning utan det räcker med att sätta in funktionen y=15 000 * e^(0.35x). Vi får då
lVL = 0.35 * y = 0.35 * 15 000 * e^(0.35x) [-1em] HL = 15 000 * 0.35 * e^(0.35x).
Vänster- och högerleden är lika, vilket innebär att y = 15 000 * e^(0.35x) uppfyller differentialekvationen.
y = 15 000 * e^(0.35x)
Derive
Derivera funktion
y' = D( 15 000 * e^(0.35x) )
DeriveEInitialCo
D( ae^(kx)) = a* ke^(kx)
y' = 15 000 * 0.35 * e^(0.35x)
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Differentialekvationer
Uppgift 2.1
Löser y = x sin(x) differentialekvationen
y+y''/2 = xy' - y/x^2?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
I ekvationen ser vi att y, y' och y'' ingår, alltså måste vi derivera y två gånger.
Nu deriverar vi en gång till för att få y''.
Vi kan nu sätta in funktionen och derivatorna i differentialekvationen och undersöka om vänsterled och högerled är lika.
Funktionen y = xsin(x) löser alltså differentialekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Ett företag har nyligen infört mikrotransaktioner i sitt onlinespel. Efter t veckor kan spelets användarantal y(t) beskrivas med differentialekvationen
y'(t) =- 0.3y(t).
Med hur många procent av användartalet ändras användarantalet i varje stund?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["30"]}}
security
report
code
security
report
code
I ord säger differentialekvationen y'(t) =- 0.3y(t) att y'(t), den ögonblickliga förändringen av y(t), är lika stor som - 0.3 multiplicerat med det nuvarande värdet y(t). Om vi uttrycker - 0.3 som ett procenttal istället får vi att förändringshastigheten alltid är - 30 % av nuvarande värde. Översatt till spelets användarantal betyder det att ändringen i en viss tidpunkt, mätt i användare per vecka, alltid är minus 30 %av antalet användare just då. En negativ förändring betyder minskning, alltså minskar antalet spelare med denna hastighet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm en differentialekvation av första ordningen som har funktionen y=x^2 e^x som lösning.
security
report
code
security
report
code
Vår differentialekvation av första ordningen ska innehålla förstaderivatan y' men inga andra derivator av högre ordning. Vi börjar med att derivera y.
Nu kan y och y' kombineras godtyckligt för att bilda en differentialekvation av första ordningen. Vi väljer att addera derivatan y' och funktionen y.
Differentialekvationen y'+y = 2x e^x +2x^2 e^x, löses alltså av funktionen y=x^2 e^x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En lärare ställer en kopp varmt kaffe i ett 23 grader varmt klassrum och startar lektionen. Newtons avsvalningslag säger att temperaturen T ^(∘) C hos kaffet minskar med tiden t h så att temperaturförändringens hastighet är direkt proportionell mot skillnaden mellan kaffets och rummets temperatur. Låt k vara proportionalitetskonstanten.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["T"],"constants":["k"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"T'=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["k(T-23)"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"k=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\ln(\\dfrac{11}{34})"]}}
security
report
code
security
report
code
Den funktion som beskriver temperaturen på kaffet betecknar vi T(t). Temperaturförändringen får vi om vi deriverar denna funktion med avseende på tiden. Detta betecknar vi som dT/dt. Temperaturförändringens beror av två olika temperaturer. Dels kaffets egna och dels klassrummets temperatur. Klassrummet är 23 grader varmt och kaffet har temperaturen T grader. Differensen mellan dessa temperaturer blir då T-23. Temperaturförändringen, dTdt, och differensen mellan kaffets och rummets temperatur, T-23, är direkt proportionella mot varandra. Vi kallar proportionalitetskonstant k och finner att differentialekvationen kan skrivas dT/dt=k(T-23).
Vi skall undersöka om funktionen T(t)=68e^(kt) +23 löser differentialekvationen. För att göra det behöver vi känna till funktionens derivata.
Vi sätter nu in funktionen och dess derivata i differentialekvationen dT/dt=k(T-23) och undersöker om funktionen löser differentialekvationen.
Eftersom 68* k e^(kt) är lika med k* 68e^(kt) har vi nu kommit fram till att funktionen T(t)=68e^(kt) +23 löser differentialekvationen.
De kända värdena är att tiden är 30 minuter, dvs. t=0.5 h, och temperaturen T(0.5)=45 ^(∘) C. När vi sätter in detta i funktionen T(t) får vi en ekvation med en okänd, nämligen k som vi söker.
Vi har nu bestämt värdet på konstanten, k=2ln( 11/34 ).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Differentialekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll