body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Ce

Cirkelns ekvation Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

1.

Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation är ett matematiskt sätt att beskriva en cirkel. Detta görs genom att använda en ekvation som representerar alla punkter som ligger på ett visst avstånd från cirkelns medelpunkt. Denna ekvation är särskilt användbar eftersom den kan användas för att bestämma cirkelns medelpunkt och radie. Genom att känna till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma dessa egenskaper. Detta är särskilt användbart inom geometri och trigonometri, där cirkelns egenskaper ofta behöver analyseras och förstås.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Cirkelns ekvation

Sida av 6

Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?

Eftersom nästan varje $x -$ värde på en cirkel kommer att ge två $y -$ värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.

Figur som visar hur punkter på samma avstånd från en medelpunkt bildar en cirkelrand till en cirkel

Genom att ställa upp en ekvation som endast gäller för dessa punkter får man ett samband som beskriver cirkeln.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Cirkelns ekvation

Förkunskaper

Koordinatsystem
Avståndsformeln
Cirkel

Utforska

Undersöker punkter på en cirkels omkrets

I diagrammet nedan har en cirkel med medelpunkt i origo och radie

5

ritats. Vissa punkter som ligger på cirkeln kan identifieras.

Identifiera punkter

Givet att

P

är en punkt som ligger på cirkeln och att

x -

koordinaten för

P

är

1,

kan du bestämma

y -

koordinaten för

P ?

Regel

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien $r$ och medelpunkten $(a, b) .$

Samtliga punkter $(x, y)$ på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4^{2}$ en cirkel med medelpunkt i $(3, 2)$ och radie $4 .$

Härledning

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien $r$ och medelpunkten $(a, b) .$ En godtycklig punkt, $(x, y),$ placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.

Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är

r .

Men

r

kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien

r

och de två punkterna

(x, y)

och

(a, b)

i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

$d = r$

r = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstitutePoints

Sätt in $(x, y)$ & $(a, b)$

r = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

$VL^{2} = HL^{2}$

r^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

Omarrangera ekvation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Sambandet

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

gäller alltså för alla punkter

(x, y)

på det konstanta avståndet

r

från medelpunkten

(a, b) .

Q.E.D.

Illustration

Cirkel och dess ekvation

Koordinaterna för cirkelns medelpunkt och radien påverkar cirkelns ekvation.

Exempel

Bestäm cirkelns medelpunkt och radie

En cirkel har ekvationen

(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 9 .

Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.

Ledtråd

Kom ihåg vad de olika delarna av cirkelns ekvation representerar.

Lösning

En generell cirkel har ekvationen

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2},

där

(a, b)

är cirkelns medelpunkt och

r

är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.

(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

Skriv som potens

(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 3^{2}

$a + b = a - (- b)$

(x - 4)^{2} + (y - (- 1))^{2} = 3^{2}

Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att

a = 4,

b = - 1

och att

r = 3 .

Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna

(4, - 1)

och radien är

3 .

Exempel

Bestäm cirkelns ekvation

Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.

Ledtråd

Identifiera koordinaterna för cirkelns medelpunkt och dess radie. Använd sedan dessa för att skriva cirkelns ekvation.

Lösning

En generell cirkel med medelpunkten

(a, b)

och radien

r

beskrivs av ekvationen

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .

Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna.

Vi ser att den ligger i $(- 2, 3),$ vilket ger att $a = - 2$ och $b = 3 .$ Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.

Radien är

4,

vilket ger

r = 4 .

Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

$a = - 2$ och $b = 3$

(x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}

$r = 4$

(x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}

$a - (- b) = a + b$

(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}

Beräkna potens

(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16

Cirkelns ekvation är alltså

(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16 .

Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.