2. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion fokuserar på att lösa geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Den förklarar hur man kan beräkna avståndet och mittpunkten mellan två punkter med hjälp av deras koordinater. Detta görs genom att använda avståndsformeln för att beräkna avståndet och mittpunktsformeln för att bestämma mittpunkten. Lektionenen inkluderar exempel och förklaringar som illustrerar hur dessa formler kan användas i praktiken, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 4
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Avståndsformeln
- Mittpunktsformeln
Förkunskaper
Regel
Dela
Rapportera fel
Avstånds- och mittpunktsformlerna
För två punkter (x_1, y_1) och (x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet
, d, mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
Mittpunkten, (x_m, y_m), mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.
x_m = x_1 + x_2/2 och y_m = y_1 + y_2/2
Exempel
Dela
Rapportera fel
Bestäm avståndet och mittpunkten mellan punkterna
Observera koordinatsystemet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"d=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["16,97"]}}
b Bestäm också mittpunktens koordinater.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
Ledtråd
a Läs av punkternas koordinater i rutnätet och använd sedan avståndsformeln.
b För att hitta mittpunkten, ta medelvärdet av punkternas x-koordinater och y-koordinater.
Lösning
a Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
SubstitutePoints
Sätt in ( -6,4) & ( 6,-8)
d = sqrt(( -6- 6)^2 + ( 4-( -8))^2)
SubTerm
Subtrahera term
d=sqrt((-12)^2+(4-(-8))^2)
SubNeg
a-(- b)=a+b
d=sqrt((-12)^2+12^2)
CalcPow
Beräkna potens
d=sqrt(144+144)
AddTerms
Addera termerna
d=sqrt(288)
UseCalc
Slå in på räknare
d=16,970562...
RoundDec
Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar
d≈16,97
b Nu använder vi mittpunktsformeln för x- och y-koordinaterna.
x_m=x_1+x_2/2
SubstituteII
x_1= -6 och x_2= 6
x_m=-6+ 6/2
AddTerms
Addera termerna
x_m=0/2
CalcQuot
Beräkna kvot
x_m=0
y_m=y_1+y_2/2
SubstituteII
y_1= 4 och y_2= -8
y_m=4+( -8)/2
AddNeg
a+(- b)=a-b
y_m=-4/2
CalcQuot
Beräkna kvot
y_m=-2
Övning
Dela
Rapportera fel
Öva på att hitta avstånd och mittpunkt mellan punkter
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Övningar
Vad är avståndet mellan punkterna?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["10"]}}
security
report
code
security
report
code
Punkterna ligger i koordinaterna (3,5) och (7,8). Vi sätter in dessa koordinater i avståndsformeln och förenklar.
Avståndet mellan punkterna är 5.
Punkterna ligger i koordinaterna (- 3,7) och (5,1). Återigen sätter vi in dessa koordinater i avståndsformeln.
Avståndet mellan punkterna är 10.
security
report
code
Bestäm de markerade avstånden mellan punkterna i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5,66"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["11,18"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["7,21"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att läsa av koordinaterna för sträckans ändpunkter. Den blå sträckan går mellan koordinaterna (- 7,- 8) och (- 3,- 4). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.
Vi kan nu slå in detta uttryck på miniräknaren direkt. Vi trycker då på sqrt() ( 2nd +x^2 ) för att skriva in ett roten ur-tecken och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Avsluta också med en högerparentes.
Den blå sträckan är alltså cirka 5,66 le.
Vi börjar med att läsa av koordinaterna för sträckans ändpunkter. Den röda sträckan har ändpunkterna (3, - 2) och (6, -6), och vi gör på samma sätt för att räkna ut längden.
Vi kan förenkla ytterligare ett steg, eller så skriver vi in uttrycket direkt på miniräknaren.
Avståndet är alltså 5 le.
Vi gör på samma sätt för den gröna sträckan, som går mellan punkterna (-3, 1) och (7,6).
Som tidigare räknar vi ut rotuttrycket med räknaren.
Sträckan är ~ 11,18 le.
Vi använder avståndsformeln en sista gång för den svarta sträckan som går mellan (- 8,2) och (- 2,6).
Använd räknaren igen.
Den sista sträckan är alltså ~ 7,21 le.
security
report
code
Vad är avståndet mellan punkterna? Svara med två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["7,21"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["16,55"]}}
security
report
code
security
report
code
Punkterna ligger i koordinaterna (12,6) och (6,2). Vi sätter in dessa värden i avståndsformeln och förenklar. Det spelar ingen roll vilken punkt som ses som den första, så vi väljer att (6,2) är (x_1, y_1). Det hade gått precis lika bra att välja tvärtom, men man slipper en del negativa tal så här.
Avståndet mellan punkterna är sqrt(52) le., eller ungefär 7,21 avrundat till två decimaler.
Punkterna ligger i koordinaterna (8,10) och (1,- 5). Återigen sätter vi in dessa värden i avståndsformeln, och vi väljer att sätta (1, -5) som (x_1,y_1).
Avståndet mellan punkterna är sqrt(274) le., eller ungefär 16,55 avrundat till två decimaler.
security
report
code
Bestäm mittpunkten mellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"4","text2":"5"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"8","text2":"12"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-2","text2":"6"}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer mittpunkten med mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaterna.
Vi gör samma sak för y_m.
Mittpunkten är alltså (4,5).
Vi använder mittpunktsformeln igen för punkterna (11, 9) och (5, 15) och börjar med x_m.
Sedan gör vi samma sak för y_m.
Mittpunkten är (8,12).
Vi gör samma sak igen för (2, 2) och (- 6, 10).
Slutligen räknar vi ut y_m.
Den sista mittpunkten är alltså (- 2, 6).
security
report
code
Bestäm mittpunkten mellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0,5","text2":"3,5"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-6","text2":"2,5"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"0"}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder mittpunktsformeln för att hitta mittpunkten (x_m, y_m) mellan de två punkterna (- 3, 4) och (4, 3). Vi börjar med x_m.
Nu räknar vi ut y_m.
Mittpunkten finns alltså i koordinaterna (0,5; 3,5).
Vi gör på samma sätt igen för de två punkterna (- 6, 3) och (- 6, - 8). Först räknar vi ut x_m.
Nu räknar vi ut y_m.
Punkterna ligger på en lodrät linje, vilket ger mittpunkten (- 6; - 2,5).
Slutligen räknar vi ut mittpunkten mellan (- 10, 8) och (10, - 8). Först x_m.
Samma sak för y_m.
Mittpunkten hamnar alltså i origo, (0,0).
security
report
code
Bestäm avståndet mellan punkterna.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"AB=","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["8"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"CD=","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln. Men tittar vi på koordinaterna, eller ritar punkterna i ett koordinatsystem, inser vi att avståndet kan bestämmas direkt genom att ta reda på skillnaden i y-led.
Avståndet mellan punkterna A och B är alltså skillnaden mellan y-koordinaterna: AB=10-2=8 le.
Vi kan också använda avståndsformeln.
Sträckan är alltså 8 le.
Eftersom punkterna ligger vågrätt i förhållande till varandra kan vi på motsvarande sätt som i förra deluppgiften direkt bestämma det vågräta avståndet mellan C och D.
Avståndet mellan punkterna är alltså CD=9-5=4 le. Även här skulle vi kunnat använda avståndsformeln på motsvarande sätt som i förra deluppgiften.
security
report
code
Vad är triangelns omkrets? Koordinaterna anges i cm. Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["18,8"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att markera koordinaterna som triangelns hörn ligger i.
Omkretsen är summan av triangelns sidlängder och för att räkna ut dessa sätter vi in hörnens koordinater i avståndsformeln och förenklar.
Sida AB
Vi sätter in koordinaterna (2,4) och (6,9).
Sidan AB har längden sqrt(41)cm.
Sida BC
Vi sätter sedan in koordinaterna (6,9) och (8,3) i avståndsformeln.
Sidan BC är sqrt(40)cm.
Sida AC
Vi räknar ut den sista sidan mellan koordinaterna (2,4) och (8,3).
Sidan AC är sqrt(37)cm.
Triangelns omkrets
Till sist räknar vi ut omkretsen genom att summera de tre sidorna.
Triangelns omkrets är ungefär 18,8cm.
security
report
code
Bestäm avståndet från punkten (3, - 1) till mittpunkten mellan (3,3) och (- 5,3). Svara med två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5.66"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma avståndet mellan punkten (3, - 1) och mittpunkten mellan (3,3) och (- 5,3) måste vi först räkna ut mittpunkten. Det gör vi med mittpunktsformeln, och vi börjar med att bestämma x_m.
Vi bestämmer sedan y_m på samma sätt.
Mittpunkten ligger i koordinaterna (- 2, 3).
Nu bestämmer vi avståndet mellan mittpunkten (- 1, 3) och punkten (3, - 1) med hjälp av avståndsformeln.
Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker på sqrt() ( 2nd+x^2 ) för att skriva in ett rottecken och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Avsluta med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när roten ur-tecknet skrivs in.
Avståndet är alltså cirka 5,66 le.
security
report
code
I dataspelet Guldjakten står Dogge och Dagge i röda punkten och ska så fort som möjligt fånga guldklimpen på andra sidan det rektangulära huset. De springer lika snabbt så det gäller att välja den kortaste vägen. Dogge väljer att springa genom huset medan Dagge springer runt huset.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["2,9"]}}
security
report
code
security
report
code
Dogges sträcka är avståndet mellan koordinaterna (0;1,1), och (6,6;5,1) Sätter vi in dessa i avståndsformeln kan vi beräkna hur långt han springer.
Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker då på sqrt() ( 2nd + x^2 ) och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Vi avslutar också med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när ett rottecken skrivs in.
Vi avrundar till en decimal och konstaterar att Dogge springer ca 7,7 längdenheter. För att bestämma hur långt Dagge springer behöver vi veta längden på husets lång- och kortsida. Långsidan är skillnaden i x-led mellan koordinaterna och kortsidan är skillnaden i y-led: x-led:& 6,6-0=6,6 le. y-led:& 5,1-1,1=4 le. Dagge springer därför 6,6+4=10,6 längdenheter totalt vilket är 10,6-7,7=2,9 le. längre än Dogge.
security
report
code
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll