Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien $1$ kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt $P$ röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel $v$ mellan den positiva $x$ -axeln och den radie som går ut till $P .$ Om punkten rör sig medurs från positiva $x$ -axeln låter man $v$ vara negativ.

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln $v$ kan man bestämma koordinaterna, $(x, y),$ för punkten $P$ med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från $P$ till $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med $x$ -axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas,

x,

är lika med punktens

x

-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln

v

och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid

1,

vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens

x

-koordinat:

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa} = \frac{x}{1} = x .

På motsvarande sätt kan punktens

y

-koordinat uttryckas med definitionen för sinus:

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa} = \frac{y}{1} = y .

Generellt gäller för alla punkter

(x, y)

på enhetscirkelns rand att

x

-koordinaten är lika med

cos (v)

och att

y

-koordinaten är

sin (v) .

$x = cos (v) och y = sin (v)$

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

fullscreen

Bestäm koordinaterna för punkten $A .$ Avrunda till två decimaler.

Visa Lösning

Eftersom cirkeln i uppgiften har radien

1

och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för

A,

kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln

v

som bildas mellan positiva

x

-axeln och radien:

x = cos (v) och y = sin (v) .

I det här fallet är

v = 12 8^{\circ}

vilket ger oss koordinaterna

A = (cos (12 8^{\circ}), sin (12 8^{\circ})) .

Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det

cos (12 8^{\circ}) = - 0.61566 \dots

och

sin (12 8^{\circ}) = 0.78801 \dots

Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna

A \approx (- 0.62, 0.79) .

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan

0^{\circ}

och

18 0^{\circ} .

$v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

fullscreen

Bestäm exakta värden för de tre trigonometriska uttrycken.

2 cos (12 0^{\circ}) sin (- 4 5^{\circ}) \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 1 5 0 ^{\circ} )}

Visa Lösning

För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden.

$2 cos (12 0^{\circ})$

Vinkeln

12 0^{\circ}

är en standardvinkel som ger cosinusvärdet

- \frac{1}{2} .

Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar.

2 cos (12 0^{\circ}) = 2 (- \frac{1}{2}) = - 1

$sin (- 4 5^{\circ})$

Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet

sin (- v) = - sin (v)

är

sin (- 4 5^{\circ}) = - sin (4 5^{\circ}) .

Vinkeln

4 5^{\circ}

är en standardvinkel som ger sinusvärdet

\frac{1}{2}

vilket vi sätter in i uttrycket:

sin (- 4 5^{\circ}) = - sin (4 5^{\circ}) = - \frac{1}{2} .

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$

I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om

sin (15 0^{\circ})

som

\frac{1}{2}

och

cos (3 0^{\circ}

) som

\frac{3}{2}

och förenkla.

\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

Sin

\frac{1 / 2}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

Cos

\frac{1 / 2}{3 / 2}

DivFracByFracSameDenom

$\frac{a / 2}{b / 2} = \frac{a}{b}$

\frac{1}{3}

Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså

\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{1}{3} .

@@ Rad 6: / Rad 6: @@
 </wbox>
 <bblock page="Skills:Bestäm_punktens_koordinater_på_enhetscirkeln"/>
-<bblock page="Trigonometriska samband *Rules*"/>
+<bblock page="Trigonometriska samband *Rules*" exltags='t3,t5,t6,t7,t8,t9'/>
 <wbox>
 <hbox type="h1" iconcolor="memo">Trigonometriska värden för standardvinklar – grader</hbox>

{{ article.displayTitle }}

Versionen från 11 september 2018 kl. 10.10

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

$2 cos (12 0^{\circ})$

$sin (- 4 5^{\circ})$

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Versionen från 11 september 2018 kl. 10.10

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

2cos(120∘)

sin(-45∘)

cos(30∘)sin(150∘)​

$2 cos (12 0^{\circ})$

$sin (- 4 5^{\circ})$

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$