1. Sannolikhet
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
1.
Sannolikhet
Innehållet är ägnat åt studier av sannolikhet, ett matematiskt begrepp som mäter chansen för att en händelse inträffar. Det täcker olika aspekter av sannolikhet, inklusive grundläggande begrepp, slumpmässiga försök och specifika formler för att beräkna sannolikhet. Exempel inkluderar sannolikheten att dra ett specifikt kort från en kortlek eller sannolikheten att ett barn överlever till en viss ålder i Sverige. Lektionen erbjuder också övningar och lösningar, vilket gör den till en omfattande lektionen för att förstå sannolikhet inom matematik, särskilt för studenter som följer den svenska läroplanen.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sannolikhet
Sida av 9
Teori
Sannolikhet
Sannolikhet beskriver hur troligt det är att något ska hända. Sannolikheten kan anges som ett tal mellan 0 och 1, eller mellan 0% och 100%. Om något inte kan hända alls, är sannolikheten 0. Om något kommer att hända med säkerhet, är sannolikheten 1.
Teori
Slumpförsök
Ett slumpförsök är något som utförs utan att man vet vad resultatet, eller utfallet, kommer att bli, även om samma sak gjorts tidigare. Ett exempel är en tärning som kastas. Man kan få 6 utfall: något av talen 1–6, och samlingen av dessa möjliga resultat kallas utfallsrum. Ibland har man specifika mål
med att slå en tärning, t.ex. slå udda tal.
Sådana mål kallas händelser.
Teori
Likformig sannolikhetfördelning
En likformig sannolikhetsfördelning beskriver en slumpmässig situation där varje utfall i ett slumpförsök är lika sannolikt att inträffa. Med andra ord: om ett experiment har n olika utfall, så har varje utfall en sannolikhet på n1. Ett exempel på detta är när man kastar en sexsidig tärning — varje sida har lika stor chans att komma upp.
Teori
Formel för sannolikhet
Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.
P=Antal mo¨jliga utfallAntal gynnsamma utfall
slå ett udda tal med en tärningär de gynnsamma utfallen 3 stycken: etta, trea och femma.
P(udda)=63=21=0,5,
alltså 50%.Exempel
Dra ett kort slumpmässigt
Vad är sannolikheten att dra en bokstav från en standardkortlek? Skriv svaret i decimalform avrundat till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,31"]}}
Ledtråd
Hur många kort har en bokstav? Dividera detta tal med det totala antalet kort.
Lösning
I en standardkortlek har varje kort samma sannolikhet att bli draget. Eftersom det finns 52 olika kort, har varje kort en sannolikhet på 521. Av de 52 korten finns det 16 kort med bokstäver.
A♠A♣A♡A♢J♠J♣J♡J♢Q♠Q♣Q♡Q♢K♠K♣K♡K♢
Följaktligen finns det 16 gynnsamma utfall av 52 möjliga utfall. Med denna information kan sannolikheten att dra en bokstav beräknas.
P(bokstav)=5216≈0,31
Sannolikheten att dra en bokstav från en kortlek är ungefär 0,31, eller 31%.
Exempel
Hur sannolik är händelsen?
Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.13889em;\">P<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["29"]}}
Ledtråd
Dela de gynnsamma utfallen med alla möjliga utfall.
Lösning
Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.
Antalet gynnsamma utfall är 2 och det totala antalet 7. Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.
P=Antal mo¨jliga utfallAntal gynnsamma utfall
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
P(helg)=72
UseCalc
Slå in på räknare
P(helg)=0,285714…
RoundDec
Avrunda till 2 decimal(er)
P(helg)≈0,29
Sannolikheten att man är född en helg är ungefär 29%.
Teori
Relativ frekvens
Att undersöka hur stor andel av en datamängd som utgörs av ett visst värde eller en viss grupp kan ge värdefulla insikter. Detta kallas för relativ frekvens, och det visar hur vanligt ett värde är i jämförelse med hela datamängden.
Relativ frekvens =Antal observationerFrekvens
Till exempel — tänk dig att man gör en undersökning i ett klassrum om elevernas favoritfärg.
| Färg | Frekvens |
|---|---|
| Blå | 9 |
| Röd | 7 |
| Grön | 5 |
| Gul | 4 |
| Purpur | 3 |
| Andra | 2 |
Eftersom det finns 30 elever i klassrummet, kan den relativa frekvensen för varje kategori beräknas genom att dividera frekvensen för varje kategori med 30. Relativa frekvenser skrivs vanligtvis som procenttal.
Eftersom det finns 30 elever i klassrummet kan man räkna ut den relativa frekvensen för varje kategori genom att dela frekvensen med 30. Relativa frekvenser skrivs ofta som procenttal.
| Färg | Frekvens | Relativ frekvens | Procent |
|---|---|---|---|
| Blå | 9 | 309=0,3 | 30% |
| Röd | 7 | 307≈0,23 | 23% |
| Grön | 5 | 305≈0,17 | 17% |
| Gul | 4 | 304≈0,13 | 13% |
| Purpur | 3 | 303=0,1 | 10% |
| Andra | 2 | 302≈0,07 | 7% |
I tabellen kan man se att blå är den mest populära färgen, eftersom den har högst relativ frekvens.
Lägg märke till att de relativa frekvenserna tillsammans blir 100%.Exempel
Hitta den relativa frekvensen
Ett visst kafé säljer fem typer av kaffe. Igår hade de följande försäljning.
| Typ av kaffe ☕ | Antal sålda kaffe |
|---|---|
| Espresso | 40 |
| Latte | 48 |
| Mocha | 30 |
| Cappuccino | 58 |
| Irish Coffee | 24 |
a Vad är den relativa frekvensen för det mest populära kaffet? Skriv svaret i decimalform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,29"]}}
b Baserat på tabellen, om en person går in på kaféet, vad är sannolikheten att han eller hon beställer en mocha? Skriv ditt svar som en procentandel.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["15"]}}
Ledtråd
a Börja med att addera alla frekvenser. Dividera frekvensen för det mest populära kaffet med det totala antalet sålda kaffe.
b Hitta den relativa frekvensen för Mocha-kaffe.
Lösning
a Det första steget är att bestämma det totala antalet sålda kaffe. Detta kan hittas genom att addera frekvenserna för varje typ av kaffe.
Totalt=40+48+30+58+24⇓Totalt=200
Igår sålde kaféet 200 koppar kaffe. Det mest populära kaffet är det med högst frekvens. Detta är cappuccino, med totalt 58 förekomster. För att hitta den relativa frekvensen, dividera frekvensen för det mest populära kaffet med det totala antalet sålda kaffe.
Cappuccinos relativa frekvens20058=0,29
b Sannolikheten att en slumpmässig person beställer en Mocha ges av den relativa frekvensen för Mocha-kaffe.
P(Mocha)=Mochas relativa frekvens
Mochas relativa frekvens erhålls genom att dividera frekvensen för Mocha-kaffet med det totala antalet sålda kaffe. Från tabellen sålde kaféet 30 Mochas igår, och från föregående del sålde de totalt 200 kaffe.
Mochas relativa frekvens20030=0,15
Multiplicera den relativa frekvensen med 100% för att skriva den i procentform.
Mochas relativa frekvens0,15⋅100%=15%
Som slutsats, om en person går in på kaféet, är det 15% chans att han eller hon kommer att beställa en Mocha.
Sannolikhet
Övningar
I ett lotteri är vinstchansen 8%. Beräkna det minsta antalet nitlotter det kan finnas i lotteriet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["23"]}}
security
report
code
security
report
code
Det är 8 % chans att dra en vinstlott vilket kan skrivas P(vinst)= 8/100. Förkortar vi bråket till sin enklaste form kan vi bestämma det minsta antalet lotter och vinstlotter som lotteriet kan innehålla genom att läsa av talen i bråkets nämnare och täljare. Detta eftersom antalet lotter måste vara heltal.
Bråket kan nu inte förkortas mer och då kan det minsta antalet lotter läsas av i nämnaren: 25. I täljaren ser vi att 2 av dessa lotter ska ge vinst om vinstchansen är 8 %. Detta innebär att lotteriet måste innehålla minst 25-2=23 nitlotter.
security
report
code
Du får välja ett av lyckohjulets fält och om nålen hamnar på det valda fältet vinner du det som står på fältet. Låt oss anta att du enbart vill maximera din förväntade avkastning. Vilket fält bör du välja om bilen är värd 300000 kr, huset är värt 1 miljon kr och resan är värd 100000 kr?
{"type":"choice","form":{"alts":["Bilen","Huset","Resan"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna den förväntade avkastningen behöver vi veta hur sannolikt det är att nålen hamnat på de olika fälten. Vi ser att det gröna fältet täcker en fjärdedel av hjulet så sannolikheten är 14 att nålen stannar här. Det röda fältet spänner upp en cirkelsektor med vinkeln 30^(∘) och eftersom hela hjulet är 360^(∘) blir sannolikheten P(hus)=30^(∘)/360^(∘)=1/12 att nålen stannar på det röda fältet. Det röda och gröna fältet utgör tillsammans 14+ 112 av hela cirkeln. Vi beräknar hur stor del det blå fältet utgör genom att subtrahera detta från 1.
Sannolikheten är 23 att nålen stannar på det blå fältet. Den förväntade avkastningen kan nu beräknas genom att multiplicera värdet av vinsterna med sannolikheterna.
| Vinst | Värde | P | Förväntad avkastning | = |
|---|---|---|---|---|
| Bil | 300 000 | 1/4 | 300 000 * 1/4 | 75 000 |
| Hus | 1 000 000 | 1/12 | 1 000 000 * 1/12 | ≈ 83 000 |
| Resa | 100 000 | 2/3 | 100 000 * 2/3 | ≈ 67 000 |
Från tabellen ser vi att huset ger högst förväntad avkastning. Man bör alltså välja huset trots att det är väldigt osannolikt att nålen stannar här.
security
report
code
En 20-sidig tärning har mellan 1 och 6 prickar på sina sidor. Den kastas ett stort antal gånger, med resultatet som visas i nedanstående frekvenstabell.
| Prickar | Frekvens |
|---|---|
| 1 | 99 |
| 2 | 258 |
| 3 | 343 |
| 4 | 105 |
| 5 | 49 |
| 6 | 146 |
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"sidor","answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi uppskattar sannolikheten för varje sida. Vi börjar med att beräkna hur många gånger tärningen kastats genom att summera frekvenserna: 99+258+343+105+49+146=1 000. Nu kan vi uppskatta sannolikheten för varje sida genom att dividera varje frekvens med antalet kast.
| Prickar | Frekvens | Antal lyckade kast/Antal kast | Sannolikhet |
|---|---|---|---|
| 1 | 99 | 99/1000 | 0,099 |
| 2 | 258 | 258/1000 | 0,258 |
| 3 | 343 | 343/1000 | 0,343 |
| 4 | 105 | 105/1000 | 0,105 |
| 5 | 49 | 49/1000 | 0,049 |
| 6 | 146 | 146/1000 | 0,146 |
Ingen av sannolikheterna är i närheten av 0,5 eller mer så vi kan utesluta att ett visst antal prickar finns på mer än 0,5* 20=10 av tärningens sidor. Nu beräknar vi sannolikheten att tärningen skulle visa ett visst antal prickar givet att de finns representerade på 1-9 sidor.
| Gynnsamma utfall | Möjliga utfall | P | = |
|---|---|---|---|
| 1 | 20 | 1/20 | 0,05 |
| 2 | 20 | 2/20 | 0,10 |
| 3 | 20 | 3/20 | 0,15 |
| 4 | 20 | 4/20 | 0,20 |
| 5 | 20 | 5/20 | 0,25 |
| 6 | 20 | 6/20 | 0,30 |
| 7 | 20 | 7/20 | 0,35 |
| 8 | 20 | 8/20 | 0,40 |
| 9 | 20 | 9/20 | 0,45 |
Jämför vi de experimentella sannolikheterna med beräkningarna i tabellen kan vi konstatera att
- 1 prick finns på två sidor då 0,099 ≈ 0,10.
- 2 prickar finns på fem sidor då 0,258 ≈ 0,25.
- 3 prickar finns på sju sidor då 0,343 ≈ 0,35.
- 4 prickar finns på två sidor då 0,105 ≈ 0,10.
- 5 prickar finns på en sida då 0,049 ≈ 0,05.
- 6 prickar finns på tre sidor då 0,146 ≈ 0,15.
security
report
code
Sannolikhet
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll