Potensekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. x4=9.x^4=9. Exponenten anger ekvationens grad, så x4=9x^4 = 9 är en fjärdegradsekvation.

Potensekvation 35475.svg
Metod

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man använda rotuttryck. Vilken typ av rot man behöver avgörs av potensens grad. Exempelvis löser man andragradsekvationer genom att dra kvadratroten ur båda led och tredjegradsekvationer genom att dra kubikroten ur båda led. Detta eftersom x33=x. \sqrt[3]{x^3}=x. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt.

Men rotuttryck kan också skrivas som potenser enligt an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}. Det ger ett alternativt sätt att bestämma lösningarna till potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck
Det brukar finnas funktioner på räknaren för att skriva in både rotuttryck och potenser på bråkform.
Uppgift

Lös potensekvationen x31=7.x^3 - 1 = 7.

Lösning

För att lösa ut xx måste vi först addera 11 till båda led så att x3x^3 står ensamt i vänsterledet.

x31=7x^3 - 1=7
x3=8x^3=8

Eftersom xx är upphöjt till 33 drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut x.x.

x3=8x^3=8
x33=83\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}
x=2x=2

Ekvationen har alltså lösningen x=2.x=2.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös potensekvationen 9x5=63.9x^5 = 63. Svara exakt och med två decimaler.

Lösning
För att lösa ut xx måste vi först dividera med 99 i båda led så att x5x^5 står ensamt i vänsterledet.
9x5=639x^5 = 63
x5=7x^5=7
Eftersom exponenten är 55 upphöjer vi båda led till 15\frac{1}{5} för att lösa ut x.x.
x5=7x^5=7
(x5)1/5=71/5\left(x^5\right)^{1/5}=7^{1/5}
x5/5=71/5x^{5/5}= 7^{1/5}
x=71/5x= 7^{1/5}

Det exakta svaret är x=71/5.x= 7^{1/5}. Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså x1.48.x\approx1.48.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna med räknare. Avrunda till två decimaler om det behövs.


a

x3=64x^3=64

b

x4=6561x^4=6561

c

x5=127x^5=127

d

x6=3333x^6=3333

e

x7=1.5x^7=1.5

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Avrunda till två decimaler om det behövs.

a

x2=16x^2 = 16

b

x3=125x^3 = 125

c

x4=16x^4 = 16

d

x5=250x^5 = 250

d

x6=200x^6 = 200

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande andragradsekvationer.


a

x2=64x^2=64

b

4x2=304x^2=30

c

x29=0x^2-9=0

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationerna. Svara både exakt och med två decimaler.

a

x2=7x^2=7

b

12x2=2412x^2=24

c

10x23090=010x^2-3090=0

d

4=9x234=9-\dfrac{x^2}{3}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna med räknare. Avrunda till två decimaler om det behövs.


a

5x7=455x^7=45

b

x513=6001x^5-13=6001

c

321x9=415321-x^9=415

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna med räknare. Avrunda till två decimaler om det behövs.


a

x45=100\dfrac{x^4}{5}=100

b

7y5+21=6y5+95327y^5+21=6y^5+9532

c

-2z6=46\text{-}2 z^6=46

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

8y31=08y^3-1=0

b

z5+1024=0z^5+1024=0

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Avrunda till 2 decimaler.


a

w7=3456w^7=3456

b

t9321=15t^9-321=15

c

3q34=83q^{34}=8

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under år 19981998 skickades 4444 miljoner sms i Sverige. Under år 20122012 skickades 1651416\,514 miljoner sms. Anta att den årliga procentuella ökningen av antal sms per år har varit lika stor under hela tidsperioden. Beteckna den årliga förändringsfaktorn med a.a. Teckna en ekvation med vars hjälp aa kan beräknas.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hjördis är rörmokare och driver ett eget företag. Hon har fler jobb än hon hinner med och behöver anställa en ny person. I sin budget för nästa år tänker hon avsätta 350000350\,000 kronor som ska räcka till både lön och arbetsgivaravgift för den nya personen.

Arbetsgivaravgiftens storlek är beroende av den anställdas ålder och månadslön. Se tabell.

Tabell uppg18 NPht13.svg

Efter anställningsintervjuer har Hjördis bestämt sig för att anställa Anton eller Niklas.

Anton som är 2424 år har begärt en månadslön på 2500025\,000 kronor.
Niklas som är 2828 år har begärt en månadslön på 2400024\,000 kronor.

Uppg18 2aNPht13.svg
a

Beräkna den totala kostnaden som Hjördis får betala för lön och arbetsgivaravgift för Anton respektive Niklas. Kan Hjördis anställa vem som helst av dem och andå klara budgeten på 350000350\,000 kronor för nästa år?

b

Hjördis företag omsätter 20000002\,000\,000 kronor per år. Med en nyanställd i företaget är hennes mål att omsättningen ska fördubblas på tre år. Med hur många procent måste då omsättningen i genomsnitt öka varje år?

Nationella provet HT13 2a
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm längden av de okända sidorna i triangeln.

Exercise 1108 1.svg
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tina löser ekvationen x3=27x^3=27 och får lösningarna x=±9. x=\pm 9. Hon presenterar lösningen för Henrik som direkt börjar kritisera och säga att Tina gjort fel. Lösningen är ju endast x=9x=9 säger Henrik. Men då säger Maria att Henrik faktiskt också har gjort fel. Hur borde Maria förklara för Henrik och Tina?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna


a

x1/3=-3x^{1/3}=\text{-}3

b

x1/3=3x^{1/3}=3

c

x7=2\sqrt[7]{x}=2

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna utan räknare.

a

7x2=747^{x^2}=7^{4}

b

8x3=8278^{x^3}=8^{27}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna utan räknare. Svara exakt.

a

3x6+18x5=36+3x63x^6+18x^5=36+3x^6

b

2(4x4+3x3)31=6x3+12\left(4x^4+3x^3\right)-31=6x^3+1

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ut xx i ekvationerna. Svara exakt.


a

ax2=a10a0 och a1a^{x^2}=a^{10} \quad \quad \quad a\neq 0 \text{ och } a \neq 1

b

5(4x6+x8)=40+20x65\left(4x^6+x^8\right)=40+20x^6

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande potensekvationer.


a

100=z10100=z^{10}

b

x-513=15x^{\text{-}5}-13=15

c

3x2.1=3273x^{2.1}=327

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och avrunda till 3 värdesiffror.


a

x53=56x^{\frac{5}{3}}=56

b

y5=0.25\sqrt{y^5}=0.25

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett rätblock har volymen 216 ve.


a

Hur långa är sidorna om rätblocket är en kub? Svara exakt.

b

Hur långa är sidorna om bredden är dubbelt så lång som höjden och längden är tre gånger så lång som bredden? Svara exakt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kubs sidlängd fördubblas och volymen ökar då med 2401 cm3^3. Vad är den ursprungliga kubens sida?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av 18001800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

Tabell uppg19 NP2aVT15.svg

Sambandet mellan vindhastighet vv m/s och Beauforttalet BB ges av formeln v=0.8365B32. v=0.8365\cdot B^{\frac{3}{2}}.

a

Vid beräkning av BB avrundas värdet till heltal. Beräkna Beauforttalet BB för vindhastigheten 2929 m/s.

För extrema vindstyrkor finns det andra skalor. En sådan är TORRO-skalan som används för vindstyrkor upp mot 130130 m/s. Sambandet mellan vindhastighet vv m/s och talet TT enligt TORRO-skalan ges av formeln v=0.83658(T+4)32. v=0.8365\cdot \sqrt{8}(T+4)^{\frac{3}{2}}.

b

Ange en formel för BB uttryckt i T.T. Förenkla så långt som möjligt.

Nationella provet VT 2a/2b
3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken genomsnittlig årlig procentuell förändring ger:

a

En ökning med 80 % efter två år?

b

En minskning med 20 % efter fyra år?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}