Medelvärde, Median och Typvärde: Lär dig räkna ut lägesmått i matte

Träningsdagar	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Frekvens	$5$	$19$	$27$	$22$	$15$	$4$	$4$	$1$

Träningsdagar

0

1

2

3

4

5

6

7

Frekvens

5

19

27

22

15

4

4

1

Värde	$\dots$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$\dots$
Nummer	$\dots$	$47$	$48$	$49$	$50$	$51$	$52$	$\dots$

Värde

\dots

2

2

2

2

2

3

\dots

Nummer

\dots

47

48

49

50

51

52

\dots

I klass $8$ F ska några av eleverna på utbyte till Tyskland. Deras längder mäts inför att de ska skaffa pass.

Namn	Längd (cm)
Anne	$153$
Benjamin	$144$
Claudia	$174$
Danielle	$156$
Eilert	$176$
Filip	$160$

Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att beskriva elevernas längder?

Beräkna medelvärdet. Kontrollera dina svar med räknaren.

Det finns inte flest av något värde, så typvärdet säger oss inget. Eftersom fördelningen av längderna inte är speciellt skev åt något håll är både medelvärde och median lämpliga.

Vi beräknar medelvärdet genom att summera längderna och dela på antalet elever, dvs. Medellängd = Summan av längderna/Antal elever. Längderna läser vi av i tabellen och antalet elever som mättes i undersökningen var sex stycken.

Medellängden är alltså 160,5cm.

Kontroll med räknare

Vi börjar med att trycka på knappen STAT och sedan Edit... Där skriver vi in samtliga värden i en av listorna, t.ex. lista L1. Det spelar ingen roll i vilken ordning.

När värdena är inmatade trycker vi på STAT igen och väljer CALC-menyn. Där markerar vi alternativet 1-Var Stats och tryck på ENTER två gånger.

Displayen visar nu en mängd olika symboler.

Den översta symbolen (x) är medelvärdet, vilket här är 160,5. Värdet som räknaren bestämt överensstämmer alltså med det vi själva räknade ut.

Tabellen visar resultatet från frågesport som en gymnasieklass var med i. Vad var klassens medelpoäng?

Poäng	Antal elever
$5$	$4$
$4$	$3$
$3$	$4$
$2$	$1$
$1$	$2$
$0$	$1$

Medelvärdet av elevernas resultat beräknar vi genom att först lägga ihop alla elevernas poäng på provet. Sedan delar vi den summan med antalet elever, dvs. Medelvärde = Summan av poängen/Antal elever I tabellen läser vi av att 4 elever fick 5 poäng, så summan av deras poäng är 5 * 4 =20. Vi gör på motsvarande sätt för varje rad i tabellen.

Poäng	Antal	Poäng * Antal
5	4	5 * 4=20
4	3	4 * 3=12
3	4	3 * 4=12
2	1	2 * 1=2
1	2	1 * 2=2
0	1	0 * 1=0

Summan av produkterna är 20+12+12+2+2=48. I tabellen läser vi också av antalet elever, vilket är summan av värdena i kolumnen med rubriken Antal: 4+3+4+1+2+1=15. Det ger Medelvärde = 48/15 = 3,2.

Dogge har tagit tid på sig själv när han sprungit genvägen över fotbollsplanen. Han har fått följande tider i sekunder:

20, 1; 19, 3; 19, 7; 19, 5; 18, 9 .

Beräkna Dogges medelvärde.

Beräkna Dogges median.

Nästa gång han springer har han jättemycket träningsvärk i benen, så han får tiden

31, 6 s .

Hur mycket ökar det medelvärdet?

För att beräkna medelvärdet summerar vi tiderna och delar på antal gånger Dogge sprang.

Medelvärdet var 19,5s.

För att bestämma medianen ordnar vi mätvärdena i storleksordning och avläser talet i mitten.

Medianen var 19,5s.

Vi beräknar nu det nya medelvärdet, och sedan jämför vi skillnaden mot de gamla. Det nya medelvärdet får vi genom att lägga till 31,6 och dividera med 6, eftersom det nu är en tid till.

Det gamla medelvärdet var 19,5 s, så skillnaden blir 21,6-19,5=2,1 s.

En skolas elever har i en utvärdering fått sätta betyg på skolmaten. Betygen sattes på en skala från $1$ till $5,$ där $1$ var sämst och $5$ var bäst.

Betyg	Antal elever
$5$	$43$
$4$	$55$
$3$	$56$
$2$	$27$
$1$	$34$

Vilket var typvärdet på elevernas skolmatsbetyg?

Typvärdet är det av värdena som förekommer flest gånger.

Betyg	Antal elever
5	43
4	55
3	56
2	27
1	34

Betyget 3 förekom 56 gånger, vilket är fler än något annat, så detta är typvärdet.

På en arbetsplats har de anställda följande månadslöner.

Antal	Månadslön
$1$	$40000$ kr
$3$	$24000$ kr
$5$	$22000$ kr
$3$	$20000$ kr

Beräkna medellönen för de anställda.

Beräkna medianlönen.

Ger medelvärdet eller medianen en mer rättvisande bild av löneläget på arbetsplatsen? Motivera ditt svar.

Vi summerar den totala lönen för alla anställda och delar sedan med antalet anställda. Eftersom 3 personer tjänade 24 000 blir det totalt 3 * 24 000=72 000. Vi gör på motsvarande sätt för övriga löner.

Antal	Månadslön	Antal * Månadslön
1	40 000	1* 40 000 = 40 000
3	24 000	3* 40 000 = 72 000
5	22 000	5* 22 00 = 110 000
3	20 000	3* 20 000 = 60 000

Vi summerar delsummorna och dividerar med antal anställda.

Medellönen var alltså 23 500 kr.

Det är 12 st. löner, så om vi ställer dem på en rad kommer lön nr 6 och 7 vara de två i mitten. Det innebär att vi ska beräkna medelvärdet av lönen på plats 6 och 7 i storleksordning. Räknar vi nedifrån ser vi att lönen 22 000 är på plats 4 till och med 8.

Anal	Månadsön
1	40 000 kr
3	24 000 kr
5	22 000 kr
3	20 000 kr

Alltså är medianen medelvärdet av 22 000 och 22 000 vilket är 22 000kr.

Medelvärdet är 23 500kr och medianen är 22 000kr. Medelvärdet:& 23 500 Median:& 22 000 Om vi försöker sammanfatta löneläget på arbetsplatsen med enbart medelvärdet missar vi att åtta av de tolv anställda har löner under medelvärdet 23 500kr. Med medianen missar vi att en anställd har 40 000, men övriga 11 anställda ligger på eller endast 2000kr ifrån medianen. Medianen ger alltså en mer rättvis bild av löneläget.

I ett klassrum sitter

26

elever vars medelålder är

16, 5

år och lyssnar på sin lärare. Vad är den totala åldern i rummet om läraren är

34

år?

Vi kan använda formeln för medelvärde för att beräkna summan av elevernas åldrar: Medelvärde=Summa av värden/Antal värden. Nu sätter vi in medelvärdet 16,5 och antalet värden, 26.

Summan av elevernas åldrar är alltså 429 år. Den lägger vi ihop med lärarens: 429+34=463. Den totala sammanlagda åldern är alltså 463 år.

De fem talen $6,$ $1,$ $x,$ $9$ och $4$ är alla heltal.

Vilka värden får medianen för olika värden på $x ?$ Motivera.

Nationella provet VT10 MaA

För vilka värden på $x$ får de fem talen samma värde på median och medelvärde?

Nationella provet VT10 MaA

Medianen är mittenvärdet av en datamängd. Eftersom vi har fem tal, inklusive x, så kommer det tredje värdet i datamängden ligga i mitten. Medianen kan dock inte avgöras om inte talen står i storleksordning. Vi flyttar därför om talen men lämnar x utanför. 1, 4, 6, 9, x Om x är mittemellan 4 och 6, dvs. 5, kommer datamängdens median att vara 5 som vi markerar blått nedan. 1, 4, 5, 6, 9 När x är 4 eller mindre blir medianen 4. Vi visar fem exempel på detta och markerar medianen i blått. &x= 0: && 0, 1, 4, 6, 9 &x= 1: && 1, 1 , 4, 6, 9 &x= 2: &&1, 2 , 4, 6, 9 &x= 3: &&1, 3 , 4, 6, 9 &x= 4: &&1, 4 , 4, 6, 9 Det spelar ingen roll om x skulle vara ännu mindre än 0. Talet skulle ändå stå på samma plats, vilket gör att medianen ändå blir 4. När x istället är 6 eller större blir medianen 6. Vi visar detta på samma sätt som ovan. &x= 6: &&1, 4, 6, 6, 9 &x= 7: &&1, 4 , 6, 7, 9 &x= 8: &&1, 4 , 6, 8, 9 &x= 9: &&1, 4 , 6, 9, 9 &x= 10: &&1, 4 , 6, 9, 10 Nu ser vi att medianen kan vara 4, 5 eller 6. Kom ihåg att x även kan vara större än 10 men det kommer alltså fortfarande placeras i slutet av datamängden vilket betyder att 6 blir median.

Medelvärdet beräknas genom att addera talen i en datamängd och dividera med antalet tal. Vi får alltså ekvationen Medelvärde=1+4+6+9+x/5=20+x/5 Vi vet sedan tidigare att 4, 5 och 6 är de enda värdena som medianen kan anta. Genom att sätta medelvärdet lika med dessa tre värden och lösa ut x kan vi avgöra vilket värde x ska vara för att medelvärdet och medianen ska bli lika stora.

Median=Medelvärde=4

Vi sätter medelvärdet lika med 4 och löser ut x.

När x=0 är medelvärde och median lika med 4.

Median=Medelvärde=5

Vi sätter medelvärdet lika med 5 och löser ut x.

När x=5 är medelvärde och median lika med 5.

Median=Medelvärde=6

Vi sätter medelvärdet lika med 6 och löser ut x.

När x=10 är medelvärde och median lika med 6. Sammanfattningsvis så gör x=0, x=5 och x=10 att median och medelvärde blir lika stora.

Lägesmått

Mathleaks

Förkunskaper

Lägesmått

Medelvärde

Median

Bestäm lägesmått med räknare

Typvärde

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

Ledtråd

Lösning

Vilket lägesmått passar bäst?

Svar

Ledtråd

Lösning

Bestäm lägesmåtten från frekvenstabellen

Ledtråd

Lösning

Öva på att hitta lägesmått

Kontroll med räknare

Median=Medelvärde=4

Median=Medelvärde=5

Median=Medelvärde=6

Lägesmått

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.