body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 1a /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Medelvärde
Median
Typvärde

Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, är ett av de vanligaste lägesmåtten för en numerisk datamängd. Det beräknas genom att man lägger ihop alla värden och sedan dividerar med hur många värden det finns.

$Medelv \ddot{a} rde = \frac{Summan av v a ¨ rden}{Antal v a ¨ rden}$

Följande program beräknar medelvärdet för en datamängd som visas på en tallinje. Du kan flytta punkterna för att ändra värdena i datamängden.

Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.

Medelvärdet av en uppsättning tal $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots,$ $x_{n}$ betecknas vanligtvis som $\overline{x} .$

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Teori

Median

Medianen är ett lägesmått som visar det mittersta värdet i en numerisk datamängd, när värdena är sorterade i storleksordning. Om datamängden har ett udda antal värden, är medianen det värde som står i mitten.

Men om datamängden har ett jämnt antal värden, är medianen medelvärdet av de två mittersta värdena.

Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad

Teori

Typvärde

Typvärdet är ett lägesmått som visar vilket eller vilka värden som är vanligast i en datamängd. Typvärde kan användas för både numerisk och kategorisk data.

En datamängd kan ha flera typvärden om två eller fler värden är lika vanliga. Men om alla värden bara förekommer en gång, så har datamängden inget typvärde.

Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

b Bestäm medianen för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

9, 5, 7, 2, 5, 4, 9, 8, 9, 1

Ledtråd

a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.

b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.

c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning

a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är

10 .

\overset{x}{ˉ} = \frac{9 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 + 9 + 8 + 9 + 1}{1 0}

AddTerms

Addera termer

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 9}{1 0}

CalcQuot

Beräkna kvot

\overset{x}{ˉ} = 5, 9

Medelvärdet är

5, 9 .

b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:

1, 2, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 .

Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs.

5

och

7 :

Median = \frac{5 + 7}{2} = 6 .

Medianen är

6 .

c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det

9,

som förekommer tre gånger.

Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?

b Hur långt har du till skolan?

c Hur gammal är du?

Svar

a Typvärdet

b Se lösning.

c Se lösning.

Ledtråd

a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning

a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.

b Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.

c Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.

Övning

Öva på att hitta lägesmått

Mått som medelvärde, median, och typvärde är väsentliga för att förstå den centrala tendensen i en datamängd. Hitta det angivna måttet för den givna datamängden. Om svaret inte är ett heltal, avrunda det till en decimal.

En applet som ber om ett centralmått för en given datamängd.

Teori

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

$Variationsbredd = St \ddot{o} rsta v \ddot{a} rde - Minsta v \ddot{a} rde$

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.

Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS

2016

fick följande resultat. Längderna är i meter.

6, 957, 157, 086, 796, 746, 81 .

Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Det längsta hoppet var

7, 15

meter och det kortaste var

6, 74

meter. Det ger variationsbredden

7, 15 - 6, 74 = 0, 41 meter .

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Svar

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning