MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
8. Läges- och spridningsmått
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 1a /
Kapitel 4
8. 

Läges- och spridningsmått

Få en omfattande guide om läges- och spridningsmått, vilket hjälper studenter att förstå dessa viktiga koncept inom sannolikhetslära och statistik. Innehållet förklarar hur lägesmått som medelvärde och median används för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. Dessutom förklaras hur spridningsmått, som variationsbredd, används för att beskriva hur mätvärden är spridda kring ett lägesmått. Genom att använda dessa verktyg kan studenter förbättra sin förståelse för hur man tolkar och använder statistiska data.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
9 sidor teori
16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Läges- och spridningsmått
Sida av 9
Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Medelvärde
  • Median
  • Typvärde

Förkunskaper
Teori

Medelvärde

Medelvärdet, eller genomsnittet, är ett av de vanligaste lägesmåtten för en numerisk datamängd. Det beräknas genom att man lägger ihop alla värden och sedan dividerar med hur många värden det finns.

Följande program beräknar medelvärdet för en datamängd som visas på en tallinje. Du kan flytta punkterna för att ändra värdena i datamängden.

Interaktiv graf som visar hur värdet på medelvärdet förändras när datapunkterna ändras.


Medelvärdet av en uppsättning tal betecknas vanligtvis som

Teori

Median

Medianen är ett lägesmått som visar det mittersta värdet i en numerisk datamängd, när värdena är sorterade i storleksordning. Om datamängden har ett udda antal värden, är medianen det värde som står i mitten.

Slumpmässig datamängd med 9 element, medianen är markerad

Men om datamängden har ett jämnt antal värden, är medianen medelvärdet av de två mittersta värdena.

Slumpmässig datamängd med 10 element, medianen är markerad
Teori

Typvärde

Typvärdet är ett lägesmått som visar vilket eller vilka värden som är vanligast i en datamängd. Typvärde kan användas för både numerisk och kategorisk data.

Slumpmässig datamängd med 11 element, typvärdet är markerat
En datamängd kan ha flera typvärden om två eller fler värden är lika vanliga. Men om alla värden bara förekommer en gång, så har datamängden inget typvärde.
Exempel

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

a Bestäm medelvärdet för följande datamängd.
b Bestäm medianen för följande datamängd.
c Bestäm typvärdet för följande datamängd.

Ledtråd
a Medelvärdet, det definieras som summan av alla datavärden i en mängd dividerat med antalet värden i mängden.
b Medianen är ett lägesmått som ligger i mitten av en numerisk datamängd när datamängden är skriven i numerisk ordning.
c Typvärdet är ett centralmått som visar det vanligaste värdet eller värdena i en datamängd.

Lösning
a För att beräkna medelvärdet adderar vi först alla värden och delar sedan med antalet värden, vilket i det här fallet är
AddTerms

Addera termer

CalcQuot

Beräkna kvot

Medelvärdet är
b För att bestämma medianen måste vi först skriva värdena i storleksordning:
Medianen är mittenvärdet av datamängden men eftersom det finns ett jämnt antal tal finns det inget enskilt mittental. Medianen blir istället medelvärdet av de två mittersta talen, dvs. och
Medianen är
c Typvärdet är det värde som är vanligast i datamängden. I det här fallet är det som förekommer tre gånger.
Exempel

Vilket lägesmått passar bäst?

En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?

a Vilken är din favoritfärg?
b Hur långt har du till skolan?
c Hur gammal är du?

Svar
a Typvärdet
b Se lösning.
c Se lösning.

Ledtråd
a Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.
b Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.
c Kom ihåg definitionen av medelvärde, median och typvärde.

Lösning
a Eftersom svaren inte är tal går det inte att beräkna något medelvärde eller median. Det enda lägesmått man kan ange är typvärdet.
b Det är inte säkert att typvärdet kommer att säga något, eftersom alla sannolikt kommer ange lite olika svar. Medelvärdet är förmodligen lämpligast, om inte någon har en ovanligt lång eller kort resa till skolan. I så fall kan median vara ett bättre lägesmått.
c Förmodligen kommer de flesta vara födda samma år, så två åldrar kommer vara vanligast. Ett medelvärde kan då vara lämpligt eftersom det hamnar någonstans mellan dessa. Om läraren, som är mycket äldre än eleverna, skulle ingå som observation förskjuter det dock medelvärdet uppåt, och då passar median eller typvärde bättre.
Övning

Öva på att hitta lägesmått

Mått som medelvärde, median, och typvärde är väsentliga för att förstå den centrala tendensen i en datamängd. Hitta det angivna måttet för den givna datamängden. Om svaret inte är ett heltal, avrunda det till en decimal.

En applet som ber om ett centralmått för en given datamängd.
Teori

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.
Exempel

Vad är variationsbredden?

Damernas längdhoppsfinal i OS fick följande resultat. Längderna är i meter.
Vad är variationsbredden?

Ledtråd

Tänk på skillnaden mellan det största och det minsta värdet i en datamängd.

Lösning

Variationsbredden är skillnaden mellan största och minsta värdet. Vi börjar med att identifiera dessa i datamängden.

Värdemängd med det största och minsta värdet markerade
Det längsta hoppet var meter och det kortaste var meter. Det ger variationsbredden
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Läges- och spridningsmått
Övningar

Katthemmet Glada Tassen har ett antal rum med katter i varje. I ett rum gäller att:

  • katternas medianålder är år,
  • variationsbredden för deras åldrar är år.
När man undersöker åldrarna i ett annat rum på hemmet kommer man fram till att exakt samma sak gäller även där. Hur stor kan variationsbredden för alla fjorton katters åldrar vara som mest?

Variationsbredden för båda rummen är skillnaden mellan den äldsta och den yngsta kattens åldrar för alla fjorton katter. För att maximera skillnaden vill vi att katterna i det ena rummet ska vara så gamla som möjligt och katterna i det andra rummet så unga som möjligt.

Äldsta möjliga rum

Medianen måste vara 5, och om vi vill att katternas ska vara så gamla som möjligt får ingen vara yngre än så. Därför låter vi fyra av katterna, alltså de som hamnar under medianen, vara 5 år gamla. Eftersom variationsbredden i rummet ska vara 6 år måste då den äldsta katten bli 5+6=11 år.

Det spelar ingen roll vad de två sista åldrarna är, så länge de ligger mellan 5 och 11.

Yngsta möjliga rum

Mediankatten är fortfarande 5 år i det här rummet. För att minimera åldrarna skulle vi vilja att de fyra äldsta katterna är 5 år gamla. Men då kan variationsbredden inte bli 6 år eftersom minst en katt då skulle behöva vara -1 år. Därför låter vi den yngsta katten vara 0 år och den äldsta 6.

Det spelar ingen roll hur gamla de övriga katterna är.

Total variationsbredd

Den äldsta möjliga katten kan alltså vara 11 år och yngsta möjliga 0 år. För katterna i båda rummen blir då den totala variationsbredden 11-0=11 år.

Nadim har fem sköldpaddor hemma. De två yngsta är lika gamla, sedan skiljer det år till varje nästkommande sköldpaddas ålder. Sköldpaddornas medelålder är år. Vad är deras medianålder?

Kalla de två yngsta sköldpaddornas ålder för x. Det är då 3 sköldpaddor kvar. Den näst yngsta blir då x+5, nästa blir x+5+5=x+10 år och den äldsta är x+5+5+5=x+15 år. Medelåldern är 14, vilket gör att vi kan sätta in det vi vet i formeln för medelvärde ur vilken vi kan lösa ut x.

Sköldpaddornas åldrar är alltså 8, 8, 13, 18 och 23 år. Ställer vi dessa på en rad och avläser mittenvärdet ser vi att medianåldern är 13 år.

Du har under en veckas tid antecknat vilken temperatur din kökstermometer visade kl. på morgonen. Tyvärr spillde du kaffe över måndagen och tisdagen.

temperaturanteckningar med kaffefläck
Vilka temperaturer var det veckans två första dagar?

Vi kallar de okända temperaturerna för x och y och ställer upp ett uttryck för medelvärdet, som du antecknat var 3.

Summan av temperaturerna är alltså 9^(∘)C. Vi vet också att typvärdet är 7^(∘)C så minst en av temperaturerna är 7^(∘)C. Men det kan inte vara båda eftersom summan då hade blivit 14^(∘)C. Vi låter y vara 7 och beräknar x: x+7=9 ⇔ x=2. De okända temperaturerna var alltså 2^(∘)C och 7^(∘)C.

På en origamikurs är medelåldern år bland de deltagarna. Ett tillfälle skolkar Julio, för att plugga till en tenta. Vad blir den nya medelåldern? Avrunda till närmaste heltal.

Vi börjar med att beräkna den totala åldern, som vi kan kalla s, på de 16 deltagarna. Det gör vi genom att använda formeln för medelvärde.

Den totala åldern på deltagarna är alltså 752 år. Om Julio är sjuk blir den nya totalåldern 752-21=731. Medelåldern för de som är kvar i gruppen får vi genom att dividera detta med antal deltagare, som nu alltså har sjunkit till 15: 731/15≈49. Den nya medelåldern blir ungefär 49 år.

Betrakta följande fem tal.
Bestäm medianen för talen.
Bestäm medelvärdet för talen.
Vilken eller vilka av utsagorna är sanna för fem på varandra följande heltal?

Eftersom talen redan står i storleksordning kan vi direkt läsa av medianen som är mittenvärdet, 47. 45, 46, 47, 48, 49


Medelvärdet blir summan av värdena delat med 5.

Medelvärdet är alltså 47.


Eftersom fem på varandra följande heltal kan vara fem negativa kan vi konstatera att både medianen och medelvärdet kan vara negativa tal. Det betyder att de första två utsagorna är felaktiga. A:& Medianen är alltid större än0. B:& Medelvärdet är alltid större än0. C:& Medianen är större än medelvärdet. D:& Medelvärdet är större än medianen. E:& Medelvärde och median är lika. Från föregående deluppgifter har vi sett att för fem på varandra följande heltal kan medelvärde och median vara lika. Därmed har vi visat att även de följande två utsagorna inte stämmer. A:& Medianen är alltid större än0. B:& Medelvärdet är alltid större än0. C:& Medianen är större än medelvärdet. D:& Medelvärdet är större än medianen. E:& Medelvärde och median är lika. Det som återstår nu är att undersöka om medelvärdet av fem på varandra följande heltal alltid är lika med medianen oavsett vilka talen är. Om vi kallar det minsta talet x blir nästa heltal x+1 och efter det kommer x+2 osv. Talen kan alltså skrivas x, x+1, x+2, x+3, x+4. Det mittersta av dem är x+2 så detta är medianen. Om vi kan visa att medelvärdet också blir x+2 är vi klara. Vi beräknar det genom att summera talen och dividera med 5.

Både median och medelvärde är x+2, dvs. samma. Därför är alternativ E korrekt.

Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var år. En kvinna på år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären?

Nationella provet VT05 MaA

Medelåldern, dvs. medelvärdet av de anställdas åldrar, beräknas genom att beräkna summan av de 5 anställdas ålder och dela med antalet anställda. Från uppgiften vet vi att medelåldern är 24 så vi kan ställa upp 24=Summa av åldrar/5. Nu kan vi bestämma summan av åldrarna genom att multiplicera med 5 i båda led. Summa av åldrar=120 När den nya butiksföreståndaren anställs ökar antalet anställda med 1 och summan av åldrarna ökar med 36 till 156. Nu kan vi beräkna den nya genomsnittsåldern.

Den nya medelåldern är 26 år.

Läges- och spridningsmått

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll