Läges- och spridningsmått

Vi kallar antalet barn i byn första året för x, och medelantalet klappar första året för y. Sedan gör vi en sammanställning av informationen i uppgiften. Eftersom medelantalet ökade med 25 % skriver vi det med förändringsfaktorn 1,25 framför.

Vi använder oss av formeln för medelvärde, Medelvärde=Summa av värden/Antal värden, för att ställa upp två ekvationer. För år 1 får vi följande ekvation: y=256/x, och för andra året får vi 1,25y=340/x+4. Vi kan nu bilda ett ekvationssystem, som vi kan lösa med t.ex. substitutionsmetoden.

Då vet vi att x=64, dvs. antal barn i byn det första året var 64. Nu kan vi sätta in detta i statistiken för år 2.

Totalt bodde alltså 68 barn i byn andra året.

I lösningen till föregående deluppgift fann vi att och y=4. Det betyder att år 1 var medelantalet klappar/barn 4. Även detta kan vi föra in i statistiken för år 2.

År 2 fick alltså barnen i byn i snitt 5 julklappar var.

Vi söker fyra tal, som vi i storleksordning kan skriva x, y, z, w. Typvärdet för dessa ska vara 8, vilket innebär att det vanligaste värdet är 8. Det måste därför förekomma minst två gånger. Det skulle kunna finnas fler än två 8:or, vilket ger möjligheterna 8, 8, 8, w x, 8, 8, 8 8, 8, 8, 8. I alla dessa fall är de två talen i mitten 8:or, vilket ger medianen 8 i alla tre fall. Inget av dem kan då vara det fall vi söker eftersom medianen ska vara 7. Det måste alltså finnas två 8:or, vilket ger tre alternativ: 8, 8, z, w x, 8, 8, w x, y, 8, 8. Mittenalternativet kan vi avfärda direkt eftersom det ger medianen 8. I första alternativet är medianen medelvärdet av 8 och z. Eftersom z är större än 8 kan medelvärdet av dem inte bli 7. Då finns det bara ett alternativ kvar, som måste vara det korrekta: x, y, 8, 8. Medianen, alltså medelvärdet av de två mittenvärdena y och 8, ska vara lika med 7. Vi ställer upp det.

Vi känner nu till tre av fyra värden och saknar bara x: x, 6, 8, 8. Medelvärdet av värdena är 6. Vi ställer upp det och löser ut x.

Nu när vi vet att x är 2 har vi all de fyra talen. x=2 y=6 z=8 w=8

Variationsbredden av en mängd värden är det största värdet minus det minsta, vilket innebär att skillnaden mellan den längsta och kortaste delsträckan ska vara 12,5 cm. Vi får välja längden på delsträckorna så vi kan exempelvis låta den kortaste vara 0,2 cm. Det medför att den längsta delsträckan måste vara 0,2 + 12,5 = 12,7cm. Valet är dock inte helt fritt eftersom vi vet att summan av sträckorna måste vara 15 cm. Det måste även finnas tillräckligt mycket längd över till de tre andra sträckorna så att de kan vara längre än den kortaste. Om man väljer 0,2 cm och 12,7 cm till två av sträckorna blir det 15 - 0,2 - 12,7 = 2,1 cm över till de tre andra. Vi kan fördela denna längd hur vi vill på dessa tre sträckor, så länge ingen av dem blir kortare än 0,2 cm. Vi kan t.ex. fördela dem jämt och låta alla tre vara 0,7 cm, eller låta en vara 0,6, den andra 0,7 cm och den tredje 0,8 cm. Ett exempel på en lösning är alltså 0,2cm 0,6cm 0,7cm 0,8cm 12,7cm. Skulle man rita ut detta på sträckan AB får man följande indelning. Ordningen på sträckorna spelar ingen roll, bara deras längder.

Vi vill nu undersöka vad den största och minsta variationsbredden för indelningen kan vara. Om alla sträckor är lika långa blir variationsbredden 0 eftersom det inte är någon skillnad på det största och minsta värdet. Variationsbredden kan inte vara mindre än noll, så det måste vara den undre gränsen. Det sker när sträckorna har längden 155 = 3 cm.

Den största variationsbredden skulle vi få om en sträcka är 15 cm och de övriga är 0 cm. Men alla sträckor måste vara större än noll, så den längsta sträckan måste vara mindre än 15 och de övriga bitarna kan vara mycket korta men inte 0.

Därför måste även variationsbredden vara mindre än 15 cm. Variationsbredden kommer alltså ligga i intervallet 0cm≤ variationsbredd<15cm. Det vill säga, den är minst 0 cm och mindre än 15 cm.