Läges- och spridningsmått

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om man har gjort en undersökning och fått en samling mätvärden kan det vara svårt att säga något om det man har undersökt bara genom att titta på alla dessa värden. Då kan det vara bra att använda läges- och spridningsmått. Ett lägesmått sammanfattar alla mätvärden med ett enda representativt värde medan spridningsmått anger hur mätvärdena är spridda kring detta värde.
Regel

Medelvärde

Ett medelvärde är ett lägesmått som anger genomsnittet för ett antal värden. Det beräknas genom att addera alla värden och sedan dela summan med antalet värden.

Medelvrdea¨=Summa av vrdena¨Antal vrdena¨\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}

Detta kan liknas vid att man samlar alla värdena och sedan delar upp dem i lika stora högar. I figuren nedan illustreras detta genom att blocken från de högre tornen flyttas runt så att alla torn får samma höjd.

Illustrera medelvärde

Återställ

Efter omfördelningen har alla torn höjden 44 vilket är medelvärdet för tornens höjder. Om höjderna betecknas x,x, brukar man ibland beteckna medelvärdet som xˉ.\bar{x}. Tornens medelhöjd kan alltså skrivas som xˉ=4.\bar{x}=4.
Begrepp

Median

Median är ett lägesmått som anger det värde som står i mitten av en datamängd skriven i storleksordning. Om antalet värden är udda är medianen helt enkelt det värde som står i mitten, och om det finns ett jämnt antal värden beräknar man medianen som medelvärdet av de två talen i mitten.

Illustration av median
Under vissa förutsättningar är det bättre att använda median jämfört med andra lägesmått, t.ex. medelvärde. Om ett värde avviker väldigt mycket från resten av datamängden kan det påverka medelvärdet så mycket att det inte längre ger en rättvis bild av värdena. Då kan det vara bättre att använda median, som bara tar mittenvärdena i beaktning.
Begrepp

Typvärde

Typvärdet är det vanligaste värdet i en datamängd. Bland talen 4,3,1,2,4,4,5,4 4,\, 3,\, 1,\, 2,\,4,\,4,\,5,\,4

är typvärdet 44 eftersom det förekommer flest gånger. Det är ett lämpligt lägesmått om materialet är något annat än siffror, t.ex. färger eller betyg, eller om man bara är intresserad av det vanligaste alternativet, t.ex. vid en omröstning. Om det finns två eller flera observationer som är lika vanliga finns det mer än ett typvärde. Om det däremot finns lika många av alla värden saknar typvärdet mening.
Uppgift

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet för följande datamängd. 9,5,7,2,5,4,9,8,9,1 9,\; 5,\; 7,\; 2,\; 5,\; 4,\; 9,\; 8,\; 9,\; 1

Visa lösning Visa lösning
Uppgift


En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?
A. Vilken är din favoritfärg?
B. Hur långt har du till skolan?
C. Hur gammal är du?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Variationsbredd

Lägesmått som medelvärde och median fungerar bra för att hitta ett värde som är representativt för en hel samling mätvärden. De säger dock inget om hur mätvärden är spridda kring detta värde. Alla ligger kanske nära medelvärdet eller så kan de vara väldigt utspridda. För att beskriva spridningen använder man spridningsmått, t.ex. variationsbredd.

Variationsbredd=Strsta vrdeo¨a¨Minsta vrdea¨\text{Variationsbredd}=\text{Största värde}-\text{Minsta värde}

Variationsbredden är alltså den största skillnaden mellan olika mätvärden, och man får det genom att subtrahera det minsta värdet man fick i undersökningen från det största värdet. Det ger en idé om hur stort spann värdena sträcker sig över. Får man t.ex. en stor variationsbredd vet man att det finns värden som skiljer sig mycket från medelvärdet.
Uppgift

Damernas längdhoppsfinal i OS 2016 fick följande resultat. Längderna är i meter.6.95   7.15   7.08   6.79   6.74   6.81.\begin{aligned} 6.95 \ \ \ 7.15 \ \ \ 7.08 \ \ \ 6.79 \ \ \ 6.74 \ \ \ 6.81. \end{aligned} Vad är variationsbredden?

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En skolas elever har i en utvärdering fått sätta betyg på skolmaten. Betygen sattes på en skala från 11 till 55, där 11 var sämst och 55 var bäst.

Betyg Antal elever
55 4343
44 5555
33 5656
22 2727
11 3434

Vilket var typvärdet på elevernas skolmatsbetyg?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På Kanelbullens dag förde två olika cafékedjor i en stad statistik över antal sålda kanelbullar. Kaffehusets olika caféer fick följande statistik för antal sålda bullar: 45,67,20,55,39,66,28. 45, \, 67, \, 20, \, 55, \, 39, \, 66, \, 28. Latterian fick följande statistik: 111,114,102,99,108,105,97. 111, \, 114, \, 102, \, 99, \, 108, \, 105, \, 97. Vilken kedja hade minst variationsbredd?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tabellen visar resultatet från frågesport som en gymnasieklass var med i. Vad var klassens medelpoäng?

Poäng Antal elever
55 44
44 33
33 44
22 11
11 22
00 11
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Dogge har tagit tid på sig själv när han sprungit genvägen över fotbollsplanen. Han har fått följande tider i sekunder: 20.1, 19.3, 19.7, 19.5, 18.9. 20.1,\ 19.3,\ 19.7,\ 19.5,\ 18.9.

a

Beräkna Dogges medelvärde och median.

b

Nästa gång han springer har han jättemycket träningsvärk i benen, så han får tiden 31.631.6 s. Hur mycket ökar det medelvärdet respektive medianen?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en arbetsplats har de anställda följande månadslöner.

Antal Månadslön
1 4000040\,000 kr
3 2400024\,000 kr
5 2200022\,000 kr
3 2000020\,000 kr


a

Beräkna medellönen för de anställda.

b

Beräkna medianlönen.

c

Ger medelvärdet eller medianen en mer rättvisande bild av löneläget på arbetsplatsen? Motivera ditt svar.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett klassrum sitter 2626 elever vars medelålder är 16.516.5 år och lyssnar på sin lärare. Vad är den totala åldern i rummet om läraren är 3434 år?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En föreläsare i kursen "Så blir du bättre på att komma i tid" tröttnade på att många av hans deltagare kom för sent. Nästa kurstillfälle fördes statistik över de sena ankomsterna. Förseningarna räknades i hela minuter och förseningar under en minut räknades inte. Han fick följande resultat.

Försening (min) Antal
1141-14 9
152915-29 17
304430-44 28
456045-60 1


a

Hur stor kan variationsbredden som mest ha varit?

b

Hur stor kan variationsbredden som minst ha varit?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett katthem har ett antal rum med 77 katter i varje. I ett rum gäller att:

  • katternas medianålder är 55 år,
  • variationsbredden för deras åldrar är 66 år.

När man undersöker åldrarna i ett annat rum på hemmet kommer man fram till att exakt samma sak gäller även där. Hur stor kan variationsbredden för alla fjorton katters åldrar vara som mest?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nadim har fem sköldpaddor hemma. De två yngsta är lika gamla, sedan skiljer det 55 år till varje nästkommande sköldpaddas ålder. Sköldpaddornas medelålder är 1414 år. Vad är deras medianålder?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har under en veckas tid antecknat vilken temperatur din kökstermometer visade kl. 77 på morgonen. Tyvärr spillde du kaffe över måndagen och tisdagen.

temperaturanteckningar med kaffefläck

Vilka temperaturer var det veckans två första dagar?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en origamikurs är medelåldern 4747 år bland de 1616 deltagarna. Ett tillfälle skolkar Julio, 21,21, för att plugga till en tenta. Vad blir den nya medelåldern?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm medelvärde och median för talen

45,46,47,48,49.\begin{aligned} 45,\, 46,\, 47,\, 48,\, 49. \end{aligned}

b

Visa att medelvärdet av fem på varandra följande heltal alltid är lika med medianen.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var 2424 år. En kvinna på 3636 år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären?

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett år delade Tomten ut 256 julklappar till barnen i en by i Norrbotten. Till nästa år anställdes fler tomtenissar, och då tillverkades 340 klappar. Det gjorde att medelantalet klappar/barn ökade med 25%, trots att antalet barn i byn ökat med 4. Hur många barn fanns det i byn det andra året och hur många klappar fick de i genomsnitt?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Fyra tal har medelvärde 6,6, median 77 och typvärde 8.8. Vilka är de fyra talen?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sträcka ABAB är 1515 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt. Längden på varje delsträcka måste vara större än noll.

15 cm långt snöre
a

Gör en indelning av sträckan ABAB så att variationsbredden för delsträckornas längder blir 12.5 cm.12.5 \text{ cm.}

b

Beroende på hur man delar in sträckan ABAB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar de fem delsträckornas längder.

Nationella provet VT11 MaB
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}