Varför är rationella funktioner deriverbara i hela sin definitionsmängd?

När en rationell funktion f(x) = p(x)q(x), där p(x) och q(x) är polynom, ska deriveras använder man kvotregeln. Då får man f'(x) = p'(x) * q(x) - p(x) * q'(x)/(q(x))^2. När polynom deriveras minskar alla termers gradtal med 1, förutom konstanttermer som försvinner. Derivatorna p'(x) och q'(x) är alltså också polynom, eftersom p(x) och q(x) är det. Dessutom gäller det att när man multiplicerar och subtraherar polynom får man polynom. Därför är både täljaren, p'(x) * q(x) - p(x) * q'(x), och nämnaren (q(x))^2 polynom — derivatan f'(x) är en rationell funktion. Den är definierad för alla x utom då nämnaren blir 0. För både f(x) och f'(x) sker detta då q(x) = 0. Derivatan f'(x) är alltså definierad för samma x som f(x) — de har samma definitionsmängd. Det här innebär att en rationell funktion är deriverbar för hela sin definitionsmängd.