När en
f(x)=q(x)p(x), där
p(x) och
q(x) är , ska deriveras använder man . Då får man
f′(x)=(q(x))2p′(x)⋅q(x)−p(x)⋅q′(x).
När minskar alla termers med
1, förutom konstanttermer som försvinner. Derivatorna
p′(x) och
q′(x) är alltså också polynom, eftersom
p(x) och
q(x) är det. Dessutom gäller det att när man . Därför är både täljaren,
p′(x)⋅q(x)−p(x)⋅q′(x),
och nämnaren
(q(x))2 polynom — derivatan
f′(x) är en rationell funktion. Den är definierad för alla
x utom då nämnaren blir
0. För både
f(x) och
f′(x) sker detta då
q(x)=0.
Derivatan
f′(x) är alltså definierad för samma
x som
f(x) — de har samma . Det här innebär att en rationell funktion är för hela sin definitionsmängd.