Regel

Derivatan av exe^x

Exponentialfunktionen f(x)=exf(x)=e^x är sin egen derivata.

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x
För att visa varför derivatan till exe^x är exe^x kan man använda derivatans definition.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) =\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x+h)=ex+hf(x+h)={\color{#0000FF}{e^{x+h}}}, f(x)=exf(x)={\color{#009600}{e^x}}
f(x)=limh0ex+hexhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{e^{x+h}}} - {\color{#009600}{e^x}}}{h}
ab+c=abac a^{b+c}=a^{b}\cdot{a}^{c}
f(x)=limh0exehexhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}
Dela upp i faktorer
f(x)=limh0exehex1hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h- e^x\cdot 1}{h}
f(x)=limh0ex(eh1)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x\left(e^h - 1\right)}{h}
f(x)=limh0(exeh1h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(e^x \cdot \dfrac{e^h - 1}{h}\right)
Eftersom exe^x inte påverkas av att hh går mot 00 kan man placera exe^x utanför gränsvärdet: f(x)=exlimh0eh1h. f'(x) = e^x \cdot \, \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h}. Man kan visa att gränsvärdet limh0eh1h\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} är lika med 11 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f(x)=ex1=ex. f'(x)=e^x\cdot 1=e^x.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}