Derivatan av e^x

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{x + h}$ , $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att

h

går mot

0

kan man placera

e^{x}

f^{'} (x) = e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med

1

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .

{{ article.displayTitle }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}