Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
Du måste välja en bok innan du kan söka på sidnummer
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Geometrisk summa


Bevis

Bevis för formeln för geometrisk summa

Formeln för att bestämma en geometrisk summa kan skrivas som nedan, där k1.k \neq 1.

a+ak+ak2++akn1=a(kn1)k1a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}

Vi kallar summan i vänsterledet för sns_n så att vi får ekvationen: sn=a+ak+ak2++akn1, s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}, För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn k.k. Man får då följande två ekvationer:  sn=  a+ak+ak2++akn1(I)snk=ak+ak2+ak3++akn(II) \begin{array}{lc}\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} & \text{(I)}\\ s_n \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n} & \text{(II)}\end{array} Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma förutom aa och aknak^{n} som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:  sn=a+ak+ak2++akn1snk=   ak+ak2+ak3++akn. \begin{array}{l}\ \quad s_n=a+{\color{#009600}{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}} \\ s_n \cdot k=\quad \ \ \ {\color{#009600}{ak+ak^2+ak^3+ \ldots }} \quad +ak^{n}. \end{array} Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.

sn=a+ak+ak2++akn1(I)snk=ak+ak2+ak3++akn(II)\begin{array}{lc}s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} & \text{(I)}\\ s_n \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n} & \text{(II)}\end{array}
sn=a+ak+ak2++akn1snksn=ak+ak2+ak3+akn(a+ak+ak2++akn1)\begin{array}{l}s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} \\ s_n \cdot k-{\color{#0000FF}{s_n}}=ak+ak^2+ak^3 \ldots +ak^{n}-{\color{#0000FF}{(a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1})}} \end{array}
sn=a+ak+ak2++akn1snksn=akna\begin{array}{l}s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} \\ s_n \cdot k-s_n=ak^n-a \end{array}

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut sn.s_n.

snksn=aknas_n \cdot k-s_n=ak^n-a
sn(k1)=aknas_n(k-1)=ak^n-a
sn=aknak1s_n=\dfrac{ak^n-a}{k-1}
sn=a(kn1)k1s_n=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}

Men sns_n var ju från början definierad som a+ak+ak2++akn1a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1} vilket ger likheten a+ak+ak2++akn1=a(kn1)k1. a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}.

Q.E.D.