3. Delbarhet
Logga in
| | 8 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
| Ett tal är delbart med... | |
|---|---|
| 2 | om den sista siffran i talet är jämn (det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8). |
| 3 | om summan av talets siffror är delbart med 3. |
| 4 | om de två sista siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med 4. |
| 5 | om den sista siffran i talet antingen är 0 eller 5. |
| 6 | om talet är delbart med både 2 och 3. |
| 8 | om de tre sista siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med 8. |
| 9 | om summan av talets siffror är delbart med 9. |
| 10 | om den sista siffran i talet är 0. |
| Tal | Delbart med | Anledning |
|---|---|---|
| 74 | 2 | Den sista siffran är 4, som är ett jämnt tal. |
| 345 | 3 | Summan av siffrorna är 12, som är delbart med 3. |
| 716 | 4 | Talet som bildas av de två sista siffrorna, 16, är delbart med 4. |
| 365 | 5 | Den sista siffran är 5. |
| 24 | 6 | Den sista siffra är jämn, och summan av siffrorna är delbar med 3. |
| 2304 | 8 | Talet som bildas av de tre sista siffrorna, 304, är delbart med 8. |
| 729 | 9 | Summan av siffrorna är 18, som är delbart med 9. |
| 880 | 10 | Den sista siffran är 0. |
Ett tal är delbart med 3 om dess siffersumma är delbar med 3. Vi beräknar därför siffersumman.
| Tal | Siffersumma | = |
|---|---|---|
| 04236 | 4+2+3+6+0 | 15 |
| 00837 | 8+3+7+0+0 | 18 |
| 00328 | 3+2+8+0+0 | 13 |
| 81639 | 8+1+6+3+9 | 27 |
Talen 15, 18, och 27 delas jämnt med 3 vilket innebär att 4236, 837 och 81639 är delbara med 3. 13 kan däremot inte delas med 3, och då kan inte heller 328 delas med 3.
Skriv 24 som en produkt av dess primtalsfaktorer. Skriv sedan ner alla möjliga produkter som involverar dessa faktorer.
15 primtalsfaktoriseras till 3* 5 så talet måste kunna delas med både 3 och 5 för att vara delbart med 15. Vi benar ut dessa begrepp ett i taget.
Ett tal som är delbart med 3 ska ha en siffersumma som är delbar med 3. Om t.ex. talet abc (där a, b och c utgör siffror) är delbart med 3 vet vi automatiskt även att a+b+c är delbart med 3. De enda siffrorna vi fick använda var 0 och 8. Eftersom nollor inte ökar ett tals siffersumman kan vi enbart använda åttor för att bilda en siffersumma som är delbar med 3. Vi lägger därför ihop tillräckligt många åttor tills vi når en siffersumma som är delbar med 3.
| Tal | Delbart med 3? |
|---|---|
| 8 |
Nej |
| 8+8=16 |
Nej |
| 8+8+8=24 |
Ja |
När vi når tre åttor är talet delbart med 3 (eftersom övriga siffror i talet är noll). Eftersom vi ska hitta det minsta talet som uppfyller villkoren nöjer vi oss med tre åttor.
Alla tal som slutar på 0 (eller 5) är delbart med 5. Om vi lägger på en nolla i slutet av de tre åttorna får vi därför det minsta talet som är delbart med både 3 och 5 och alltså även med 15: 8 880.
Vi kan primtalsfaktorisera exempelvis med ett faktorträd.
Primtalsfaktorerna är 2, 5 och 7.
Talet 70 är delbart med sina primtalsfaktorer, men även med de sammansatta talen som kan bildas av primtalsfaktorerna, t.ex. 2 * 5 = 10. På hur många sätt kan vi kombinera 2, 5 och 7? Det går att pröva sig fram, men vi visar även ett systematiskt alternativ. Vi börjar med att "plocka bort" den minsta primtalsfaktorn, 2, och tittar på vilket tal vi kan bilda av 5 och 7.
2 * 5 * 7 35
Vi kan bilda 5 * 7 =35, så vi lägger det i listan. Nu plockar vi bort 5. Av 2 och 7 kan vi bilda 14, så vi lägger den i listan. 2 * 5 * 7 35, 14
Slutligen plockar vi bort 7 och lägger 10 till listan.
2 * 5 * 7 35, 14, 10
Om vi nu tittar i rutan har vi samlat alla tal som 70 är delbart med (utom sig självt och 1): 2, 5, 7, 10, 14, och 35. Den största delaren är alltså 35
Vi börjar med att primtalsfaktorisera 36, t.ex. med ett faktorträd.
Vi hittar då talets primtalsfaktorisering, 2 * 2 * 3 * 3. Vi kan nu pröva oss fram eller göra en systematisk lösning, där vi börjar med att "ta bort" den första tvåan för att se vilka tal vi kan bilda med 2, 3 och 3. Med dessa kan vi både bilda 2 * 3=6, och 3 * 3=9 samt 2 * 2 * 3=18.
2 * 2 * 3 * 3 2, 9, 18
Vi behöver inte "ta bort" den andra tvåan, eftersom det är samma scenario som ovan och därför inte kommer att tillföra någon ny delare. Vi tar istället bort den första 3:an och tittar på vilka ytterligare tal vi kan bilda av 2, 2 och 3. Talet 6 har vi redan, så det behöver inte läggas till.
2 * 2 * 3 * 3 2, 9, 18, 4, 12
Vi behöver inte heller ta bort den sista trean, så nu är vi klara. I rutan finns nu alla tal förutom 1 och 36 som 36 kan delas med: 2, 3, 4, 6, 9, 12 och 18. Den största delaren är alltså 18.
Hur kan du placera siffrorna 2, 7, och 0 i ett tal om det ska vara jämnt delbart med nedanstående delare? Du kan skapa tvåsiffriga tal genom att placera 0 i början av talet.
Alla tal som är delbara med 3 har en siffersumma som är delbar med 3. Vi adderar siffrorna: 2+7+0=9. Siffrorna summerar till 9 och detta är delbart med 3. Vi kan alltså placera talen i vilken ordning som helst och det kommer alltid vara delbart med 3. Kom ihåg att när nollan är i början av talet blir det tvåsiffrigt. Vi får följande kombinationer. 270 207 720 702 27 och 72.
Tal som är delbara med 2 slutar antingen på ett jämnt tal. Talen i förra deluppgiften var alla delbara med 3. De som även slutar på ett jämnt tal är också delbara med 2 dvs.
270 720 702 och 72.
Om det även ska vara delbart med 5 kan det endast sluta 0 eller 5. Vi utgår från talen i förra deluppgiften och plockar ut de som slutar på 5 eller 0 :
270 och 720.
Visa att talet 3n är delbart med 3, om vi vet att n är ett heltal.
Anta att heltalet y är delbart med 3. Visa att y+3 också är jämnt delbart med 3.
Att ett tal är delbart med 3 innebär att vi får ett heltal om vi utför divisionen. Exempelvis är 12 delbart med 3 men inte 13 eftersom
12/3=4 men 13/3=4,33333 ....
Om vi dividerar 3n med 3 får vi 3n/3=n. Men n visste vi ju var ett heltal! Alltså är talet 3n delbart med 3.
Här får vi veta att y förutom att vara ett heltal också är delbart med 3. Eftersom vi visade i förra deluppgiften att talet 3n är delbart med 3 kan vi ersätta y med detta och undersöka om divisionen 3n+ 33 blir ett heltal.
Vi får n+1. Eftersom n är ett heltal är även n+1 ett heltal. Därför är y+3 delbart med 3!
Resultatet är inte oväntat. Tal som är delbara med 3 ligger alltid med 3 stegs mellanrum.
Att talet är delbart med 3 innebär just att talet består av ett helt antal treor, så nästa tal som är delbart med 3 måste vara ytterligare en 3:a större. Därför måste det stämma att y+3 är delbart med 3 om y är det.
Vi kan börja med att beräkna uttryckets värde för de olika x-värdena.
| x | x^4+x^3 | Förenkla potens | = |
|---|---|---|---|
| 1 | 1^4+ 1^3 | 1+1 | 2 |
| 2 | 2^4+ 2^3 | 16+8 | 24 |
| 3 | 3^4+ 3^3 | 81+27 | 108 |
| 4 | 4^4+ 4^3 | 256+64 | 320 |
| 5 | 5^4+ 5^3 | 625+125 | 750 |
Om ett tal är delbart med 3 så är även siffersumman delbar med 3. Exempelvis är 114 delbart med 3 eftersom 1+1+4=6 och 6 är som bekant delbart med 3. Vi beräknar siffersumman för de olika talen och avgör om det är delbart med 3.
| Tal | Sifffersumma | Delbart med 3? |
|---|---|---|
| 2 | 2 | Nej |
| 24 | 2+4=6 | Ja |
| 108 | 1+0+8=9 | Ja |
| 320 | 3+2+0=5 | Nej |
| 750 | 7+5+0=12 | Ja |
Summan är delbar med 3 när x är 2, 3 och 5.
I både x^4 och x^3 finns faktorn x^3. Det betyder att man kan bryta ut den.
Om ett tal är delbart med 3, ska 3 vara en av primtalen som bygger upp det. Vilka unika faktorer har vi? Jo, x och (x+1). Vi undersöker vilka faktorer som innehåller 3 för de olika x-värdena.
| x | x+1 | Innehåller faktorn 3? |
|---|---|---|
| 1 | 2 | Nej |
| 2 | 3 | Ja |
| 3 | 4 | Ja |
| 4 | 5 | Nej |
| 5 | 6 | Ja |
I det sista fallet blir den största faktorn 6, men det byggs ju upp av 2 och 3.