{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Aritmetik

Välj kurs
( Matte 1c , Matte 1b )
Aritmetik
Delbarhet

Delbarhet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Man säger att ett heltal, aa, är delbart med heltalet bb om kvoten ab\frac{a}{b} också är ett heltal. Exempelvis är 15 delbart med 3 eftersom 153=5. \frac{15}{3}=5.

15 kan skrivas som 3⋅53\cdot 5, och då kan trean i täljaren strykas mot trean nämnaren. Talet aa är alltså delbart med bb om bb ingår som faktor i a.a. Ibland är divisionerna svåra att utföra utan räknare. Då är det bra att kunna delbarhetsregler som låter en undersöka delbarhet utan att behöva dividera talen.
Regel

Tal delbara med 2

Alla jämna tal är delbara med 2.2. Om ett tal slutar på en jämn siffra (0,0, 2,2, 4,4, 66 eller 88) är talet jämnt och därmed delbart med 2.2. Exempelvis är 19761976 delbart med 22 eftersom det slutar på en sexa.
Regel

Tal delbara med 3

För ett tal som är delbart med 3 gäller att summan av siffrorna som bygger upp talet är delbart med 3. Undersök till exempel talet 123. Om vi adderar 1, 2 och 3 blir summan 1+2+3=61+2+3=6. Eftersom 6 är delbart med 3 så är också 123 delbart med 3.
Regel

Tal delbara med 5

Tal som är delbara med 55 slutar alltid på en femma eller nolla.
Uppgift

Vilka av följande tal är delbara med 2? 383,384,95638,96741 383, \quad 384, \quad 95\,638, \quad 96\,741

Lösning

Ett tal kan delas med 22 om det är jämnt, dvs. om talets sista siffra är 00, 22, 44, 66 eller 88. Därför kan 384 och 95 638 delas med 22, men 383383 och 9674196\,741 kan inte det.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vilka av följande tal är delbara med 3? 4236,837,328,81639. 4\,236, \quad 837, \quad 328, \quad 81\,639 .

Lösning

Ett tal är delbart med 33 om dess siffersumma är delbar med 33. Vi beräknar därför siffersumman.

Tal Siffersumma ==
04236 \phantom{0}4\,236 4+2+3+6+04+2+3+6\phantom{+0} 1515
00837 \phantom{00}\,837 8+3+7+0+08+3+7\phantom{+0+0} 1818
00328 \phantom{00}\,328 3+2+8+0+03+2+8\phantom{+0+0} 1313
81639 81\,639 8+1+6+3+98+1+6+3+9 2727

Talen 1515, 1818 och 2727 delas jämnt med 33 vilket innebär att 4236, 837 och 81 639 är delbara med 33. 1313 kan däremot inte delas med 33, och då kan inte heller 328328 delas med 33.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vilka av följande tal kan delas med 5? 16,75,132,160 16, \quad 75, \quad 132, \quad 160

Lösning

Ett tal kan delas med 5 om talets sista siffra är antingen 5 eller 0. Alltså kan 75 och 160 delas med 5, men 132 och 16 kan inte det.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Tal delbara med sammansatta tal

Sammansatta tal är alltid delbara med sina primtalsfaktorer. Men de är också delbara med produkten av dessa. Ta till exempel 30, vars primtalsfaktorisering är 2⋅3⋅5.2\cdot3\cdot5. Därför är det också delbart med 2⋅3=62\cdot3=6 eftersom 306=2⋅3⋅52⋅3=5. \dfrac{30}{6}=\dfrac{\cancel{2\cdot3}\cdot5}{\cancel{2\cdot3}}=5.

6 ingår alltså som faktor i 30 och därför blir kvoten ett heltal. 30 är också delbart med 2⋅5=102\cdot5=10 och 3⋅5=15.3\cdot5=15.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd din räknare för att lösa följande uppgifter.

a

Är 441441 delbart med 7?7?

b

Är 40574057 delbart med 52?52?

c

Är 345345 delbart med -23\text{-}23?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tre vänner har tillsammans vunnit 8340 kr och ska nu hämta ut pengarna. Kan de dela exakt lika på vinstpengarna? Lös uppgiften utan att använda räknare.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök talet 2389023\,890 utan att använda räknare.


a

Är talet delbart med 2?

b

Är talet delbart med 3?

c

Är talet delbart med 5?

d

Carlos påstår att han med svaret på dessa frågor även kan avgöra om talet är delbart med 6, 10 och 15. Hur resonerar Carlos då? Vilket eller vilka av talen 6, 10 och 15 är 2389023\,890 delbart med?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Besvara följande frågor utan räknare.


a

Är 293738293\,738 delbart med 2?

b

Är 912582912\,582 delbart med 3?

c

Är 238014238\,014 delbart med 9, om vi vet att ett tal är delbart med 9 om siffersumman är delbar med 9?

d

Är 291734291\,734 delbart med 6?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Vilka primtalsfaktorer har talet 70?

b

Vilka tal är 70 delbart med förutom 70 och 1?

c

Vilka tal är 36 delbart med förutom 36 och 1?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv det minsta talet som är delbart med 2, 3, 5 och 7.

b

Avgör utan räknare om talet är delbart med 45.

c

Avgör utan räknare om talet är delbart med 42.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är det minsta talet som kan delas jämnt med 15 om talet endast får innehålla siffrorna 8 och 0?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur kan du placera siffrorna 2, 7, och 0 i ett tal om det ska vara jämnt delbart med nedanstående delare? Du kan skapa tvåsiffriga tal genom att placera 0 i början av talet.

a

33

b

22 och 33

c

22, 33 och 55

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Visa att talet 3n3n är delbart med 3, om vi vet att nn är ett heltal.

b

Anta att heltalet yy är delbart med 3. Visa att y+3y+3 också är jämnt delbart med 3.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka heltalsvärden xx i intervallet 1≤x≤51\leq x \leq 5 är x4+x3 x^4+x^3 delbart med 3? Lös uppgiften utan räknare. Du kan testa dig fram helt eller delvis.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket är det minsta positiva heltal som är jämnt delbart med alla heltal från 11 till och med 9?9? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT12 1b/1c
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att det tresiffriga talet ab0ab0 är jämnt delbart med 27. Bestäm vilka siffror aa och bb representerar enbart genom att använda delbarhetsreglerna (dvs. utan räknare) om du vet att talet ligger någonstans i intervallet 370 - 650.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Enligt delbarhetsreglerna för 11 ska summan av siffrorna på udda sifferpositioner minus summan av siffrorna på jämna sifferpositioner, räknat från höger, antingen vara lika med noll eller jämnt delbart med 11. Talet 9X4579X457 är jämnt delbart med 11. Bestäm siffran XX utan räknare.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi vet att talet 75X6Y75X6Y är delbart med 2, 3 och 5. Vilka siffror kan gömma sig bakom bokstäverna XX och Y?Y?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är talet 56510+75^{6510}+7 delbart med 2? Motivera ditt svar.

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Enligt delbarhetsreglerna är ett tal är delbart med 3 om dess siffersumma är delbar med 3. Visa att denna regel gäller för ett godtyckligt tresiffrigt tal. Du får använda att summor av heltal också blir heltal.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}