Nyheter
Premium
Mitt konto
Mitt konto Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
3. Delbarhet
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 1
3. 

Delbarhet

Delbarhet är ett koncept inom matematik som beskriver om ett heltal kan delas med ett annat heltal utan rest. Det finns olika regler för att identifiera om ett tal är delbart med ett annat, som att alla jämna tal är delbara med 2. Om ett tal slutar på en jämn siffra är det jämnt och därmed delbart med 2. För tal som är delbara med 3 måste summan av siffrorna vara delbar med 3. Tal som är delbara med 5 slutar alltid på en femma eller nolla. Sammansatta tal är också delbara med sina primtalsfaktorer och produkten av dessa. Denna information hjälper till att förstå delbarhet utan att behöva använda en räknare.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Delbarhet
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Delbarhet
  • Tal delbara med 2
  • Tal delbara med 3
  • Tal delbara med 5
  • Tal delbara med sammansatta tal

Förkunskaper
Teori

Delbarhet

Man säger att ett heltal, a, är delbart med heltalet b om kvoten a/b också är ett heltal. Exempelvis är 15 delbart med 3 eftersom 153=5.

15 kan skrivas som 3* 5, och då kan trean i täljaren strykas mot trean nämnaren. Talet a är alltså delbart med b om b ingår som faktor i a. Ibland är divisionerna svåra att utföra utan räknare. Då är det bra att kunna delbarhetsregler som låter en undersöka delbarhet utan att behöva dividera talen.
Teori

Delbarhetsregler

Ett tal är delbart med...
2 om den sista siffran i talet är jämn (det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8).
3 om summan av talets siffror är delbart med 3.
4 om de två sista siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med 4.
5 om den sista siffran i talet antingen är 0 eller 5.
6 om talet är delbart med både 2 och 3.
8 om de tre sista siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med 8.
9 om summan av talets siffror är delbart med 9.
10 om den sista siffran i talet är 0.

Exempel

Tal Delbart med Anledning
7 4 2 Den sista siffran är 4, som är ett jämnt tal.
345 3 Summan av siffrorna är 12, som är delbart med 3.
7 16 4 Talet som bildas av de två sista siffrorna, 16, är delbart med 4.
36 5 5 Den sista siffran är 5.
24 6 Den sista siffra är jämn, och summan av siffrorna är delbar med 3.
2 304 8 Talet som bildas av de tre sista siffrorna, 304, är delbart med 8.
729 9 Summan av siffrorna är 18, som är delbart med 9.
88 0 10 Den sista siffran är 0.
Exempel

Är talen delbara med 2?

Vilka av följande tal är delbara med 2? 383, 384, 95 638, 96 741

Ledtråd

Ett tal är delbart med 2 om den sista siffran i talet är jämn.

Lösning

Ett tal kan delas med 2 om det är jämnt, dvs. om talets sista siffra är 0, 2, 4, 6 eller 8. 383, 38 4, 95 63 8, 96 741 Därför kan 384 och 95 638 delas med 2, men 383 och 96 741 kan inte det.

Exempel

Är talen delbara med 3?

Vilka av följande tal är delbara med 3? 4 236, 837, 328, 81 639 .

Ledtråd

Ett tal är delbart med 3 om summan av talets siffror är delbart med 3.

Lösning

Ett tal är delbart med 3 om dess siffersumma är delbar med 3. Vi beräknar därför siffersumman.

Tal Siffersumma =
4 236 4+2+3+6 15
837 8+3+7 18
328 3+2+8 13
81 639 8+1+6+3+9 27

Talen 15, 18, och 27 delas jämnt med 3 vilket innebär att 4 236, 837 och 81 639 är delbara med 3. 13 kan däremot inte delas med 3, och då kan inte heller 328 delas med 3.

Exempel

Är talen delbara med 5?

Vilka av följande tal kan delas med 5? 16, 75, 132, 160

Ledtråd

Ett tal är delbart med 5 om den sista siffran i talet antingen är 0 eller 5.

Lösning

Ett tal kan delas med 5 om talets sista siffra är antingen 5 eller 0. 16, 7 5, 132, 16 0 Alltså kan 75 160 delas med 5, men 132 och 16 kan inte det.

Teori

Tal delbara med sammansatta tal

Sammansatta tal är alltid delbara med sina primtalsfaktorer. Men de är också delbara med produkten av dessa. Ta till exempel 30, vars primtalsfaktorisering är 2*3*5. Därför är det också delbart med 2*3=6 eftersom 30/6=2*3*5/2*3=5.

6 ingår alltså som faktor i 30 och därför blir kvoten ett heltal. 30 är också delbart med 2*5=10 och 3*5=15.
Exempel

Hitta alla delare till ett sammansatt tal

Hitta alla delare till 24.

Ledtråd

Skriv 24 som en produkt av dess primtalsfaktorer. Skriv sedan ner alla möjliga produkter som involverar dessa faktorer.

Lösning

För att hitta alla delare till 24, börja med att skriva det som en produkt av dess primtalsfaktorer. 24 = 2 * 2 * 2 * 3 Detta betyder att 2 och 3 är delare till 24. Fler delare kan hittas genom att multiplicera de ovanstående primtalsfaktorerna i olika kombinationer. Kom ihåg att 2 förekommer tre gånger som en faktor till 24. 2 * 2 &= 4 2 * 3 &= 6 2 * 2 * 2 &= 8 2 * 2 * 3 &= 12 Det sammansatta talet 24 är också delbart med de sammansatta talen 4, 6, 8, och 12. Därför är delarna till 24 2, 3, 4, 6, 8, och 12.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Delbarhet
Övningar

Använd din räknare för att lösa följande uppgifter.

Är 441 delbart med 7?
Är 4 057 delbart med 52?
Är 345 delbart med -23?

Ett tal är delbart med ett annat om kvoten mellan dem är ett heltal. Vi testar därför att slå in divisionen på räknaren:

Eftersom 63 är ett heltal så är 441 delbart med 7.


Vi använder räknaren igen för att avgöra delbarheten.

Kvoten blir inte ett heltal, där för är 4 057 inte delbart med 23.


Vi utför beräkningen.

Vi kommer ihåg att även negativa heltal räknas som heltal. Alltså är 345 delbart med -23.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Tre vänner har tillsammans vunnit 8 340 kr och ska nu hämta ut pengarna. Kan de dela exakt lika på vinstpengarna? Lös uppgiften utan att använda räknare.

Vi skulle kunna utföra beräkningen 8 3403. Är den kvoten ett heltal kan de dela vinstsumman lika. Men eftersom vi inte har räknare och bara vill veta om 8 340 går att dela lika mellan vännerna, använder vi regeln för delbarhet med 3. Den säger att 8 340 är delbart med 3 om siffersumman är delbar med 3. Siffersumman är 8 + 3 + 4 + 0=15. Talet 15 vet vi är delbart med 3, eftersom 153=5 och 5 är ett heltal. Därför är 8 340 också delbart med 3, och de tre vännerna kan alltså dela lika på vinstsumman.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Undersök talet 23 890 utan att använda räknare.

Är talet delbart med 2?
Är talet delbart med 3?
Är talet delbart med 5?
Carlos påstår att han med svaret på dessa frågor även kan avgöra om talet är delbart med 6, 10 och 15. Hur resonerar Carlos då? Vilket eller vilka av talen 6, 10 och 15 är 23 890 delbart med?

Alla jämna tal är delbara med 2. Eftersom 23 890 slutar på 0 som är ett jämnt tal, är det alltså delbart med 2.


Ett tal är delbart med 3 om dess siffersumma är delbar med tre. 23 890 har siffersumman 2+3+8+9+0=22, vilken inte är delbar med 3. Så 23 890 är inte delbart med 3.


Om ett tal slutar på 5 eller 0, är talet delbart med 5. 23 890 slutar på 0 och är därför delbart med 5.


Vi har kommit fram till att 23 890 är delbart med primtalen 2 och 5, men inte med 3. Carlos vet att 23 890 är delbart med alla sammansatta tal som kan bildas av de primtalsfaktorer som det är delbart med. Därför måste vårt tal vara delbart med 10, eftersom 10=2 * 5, men inte med 6 och 15 eftersom de är multiplar av 3.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Besvara följande frågor utan räknare.

Är 293 738 delbart med 2?
Är 912 582 delbart med 3?
Är 238 014 delbart med 9, om vi vet att ett tal är delbart med 9 om siffersumman är delbar med 9?
Är 291 734 delbart med 6?

Ett tal som är delbart med 2 slutar på en jämn siffra dvs. 0, 2, 4, 6 eller 8. Slutsiffran är 8 och därför är talet delbart med 2.


Ett tal som är delbart med 3 ska ha en siffersumma som är delbar med 3. Vi provar: 9+1+2+5+8+2=27. 27 är delbart med 3 så då måste även talet vara det.


Ett tal som är delbart med 9 ska ha en siffersumma som är delbar med 9. Vi testar för vårt tal: 2+3+8+0+1+4=18. 18 är delbart med 9 vilket innebär att talet också är det.


6 primtalsfaktoriseras till 2* 3. Talet måste alltså dels vara jämnt (delbart med 2) men också ha en siffersumma som är delbar med 3. Vi testar detta: 2+9+1+7+3+4=26. 26 är inte delbart med 3 så talet kan inte vara delbart med 6.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv det minsta talet som är delbart med 2, 3, 5 och 7.
Avgör utan räknare om talet är delbart med 45.
Avgör utan räknare om talet är delbart med 42.

2, 3, 5 och 7 är alla primtal. Primtal ar de minsta byggstenarna som bygger upp tal. Det betyder att det minsta talet som är delbart med 2, 3, 5 och 7 måste vara produkten av dem.


Det minsta talet som är delbart med 2, 3, 5 och 7 är alltså 210.


Vi ska alltså undersöka om kvoten 210/45 blir ett heltal. Vi primtalsfaktoriserar både täljare och nämnare och förkortar sedan så långt det går. Primtalsfaktoriseringen av 210 är 2*3*5*7. Det vet vi sedan förra deluppgiften.


Om 210 är delbart med 45 ska man kunna förkorta bort alla faktorer i nämnaren. Nu kan vi inte det, och därför är 210 inte delbart med 45.


Vi gör på samma sätt och ställer upp kvoten 210/42. Nu primtalstaktoriserar vi och förkortar så långt det går.


Vi kunde förkorta bort alla faktorer i nämnaren och kvar finns bara ett heltal. Därför är 210 delbart med 42.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Delbarhet

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y