Delbarhet

Om vi multiplicerar ihop alla siffror 1-9 får vi ett tal som är delbart med alla dessa siffror. Men för det minsta talet räcker det att primtalsfaktorerna till alla siffror finns med. För att förstå detta börjar vi med ett enklare exempel.

Minsta tal delbart med både 4 och 8?

Multiplicerar vi ihop 2 * 2 blir talet delbart med 4. För att talet även ska vara delbart med 8 räcker det att lägga till en tvåa till de två befintliga. Alltså är 2* 2 * 2 = 8 det minsta talet som både 4 och 8 är delbart med, då det innehåller alla primtalsfaktorer till 4 och alla primtalsfaktorer till 8.

Minsta tal som 1-9 är delbart med?

Nu resonerar vi på motsvarande sätt för att hitta det minsta talet som 1-9 är delbart med. Vi börjar med att primtalsfaktorisera alla siffror för att se vilka faktorer som behövs. Vi kan dock utesluta 1 då alla tal är delbara med 1.

Vi börjar bygga ihop talet med 2 och 3. Båda dessa måste ingå för att talet ska vara delbart med dessa siffror. Men hur är det med 4, som primtalsfaktoriseras till 2 * 2? Eftersom vi redan har en 2:a räcker det att lägga till en tvåa i produkten för att talet ska bli delbart med 4. Men tal är även delbara med produkten av dess primtalsfaktorer. Eftersom 2*3=6 är talet också delbart med 6.

Vi fortsätter med primtalet 5. Detta återfinns inte i talet än så länge, så 5 måste läggas till. Talet 7 är ett primtal och återfinns ännu inte i talet, så faktorn 7 måste också läggas till.

Nu har vi 8 och 9 kvar. 8=2* 2* 2, så genom att lägga till en 2:a blir talet delbart med 8. Slutligen blir talet delbart med 9, som ju är 3 * 3, genom att vi lägger till en till 3:a till produkten.

Det minsta talet som är delbart med alla heltal upp till 9 är 2*3*2*5*7*2*3=2 520.

Eftersom talet ska ligga mellan 370 och 650 måste den första siffran, a, vara 3, 4, 5 eller 6. Talet 27 kan skrivas som 3*9, vilket betyder att ab0 ska vara delbart med både 3 och 9. Det betyder, i sin tur, att siffersumman ska vara delbar med 9 dvs. a+b+0/9=heltal. Siffersumman kan alltså vara 9, 18, 27 osv. Men, a och b måste vara ental. Eftersom a ligger mellan 3 och 6 måste siffersumman vara 9, eftersom b annars blir minst 12. Vi undersöker vilka värden a och b kan ha.

Den första raden är inte intressant eftersom ab0 då ligger utanför det givna intervallet. Eftersom talet ska vara delbart med 27=3*9 innebär det att om vi först dividerar med 9, ska kvoten man får vara delbar med 3. Vi beräknar dessa kvoter: 450/9=50 540/9=60 630/9=70. Enligt delbarhetsreglerna är alla tal vars siffersumma är delbar med 3, också själva delbara med 3. Vi testar detta.

Det enda talet som uppfyller våra villkor alltså 540. Det betyder att a=5 och b=4.

Enligt delbarhetsreglerna för 11 ska summan av siffrorna på udda platsvärden minus summan av siffrorna på jämna platsvärden, antingen vara lika med noll eller jämnt delbart med 11. Vi får uttrycket 9+4+7-(X+5). Vi förenklar ovanstående uttryck

Uttrycket förenklades till 15-X. Denna differens kan inte bli noll eftersom vi då skulle behöva sätta in 15 istället för X som ju ska vara en siffra (0-9). Vi kan inte heller få talet 22, 33, 44 eller andra höga tal som vi vet är delbara med 11. Differensen måste alltså bli 11 vilket ger ekvationen 15-X=11 som har lösningen X=4 Talet är alltså 94 457 vilket är jämnt delbart med 11. Prova själv!

Låt oss börja med den sista siffran i talet, dvs. Y. Om talet är delbart med både 2 och 5 måste det även vara delbart med 2* 5=10, och tal delbara med 10 slutar alltid på en nolla. Hittills vet vi alltså att talet är 75X60. Talet ska även vara delbart med 3, och sådana tal har en siffersumma som också är delbar med 3. Alltså måste kvoten 7+5+X+6+0/3 ge ett heltal. Vi börjar med att förenkla kvoten.

6 är ju som bekant ett heltal, så om kvoten X3 också blir ett heltal vet vi att siffersumman (och vårt tal) är delbart med 3. Av siffrorna 0-9 är 3, 6 och 9 de värden på X som gör att kvoten blir ett heltal. Sammanfattningsvis kan vi konstatera att X kan vara 3, 6 eller 9 och att Y måste vara 0.

Om vårt tal är jämnt är det delbart med 2. Vi vet att 7 är ett udda tal och att summan av två udda tal alltid är jämn. Alltså är talet jämnt ifall potensen är udda. Potensen 5^(6 510) är 6 510 femmor som multiplicerats: 5* 5* 5*...* 5_(6 510 stycken). 5 är talets enda primtalsfaktor så det är enbart delbart med 5. Det betyder att det inte är delbart med 2. Därför är 5^(6 510) udda. Därför är 5^(6 510)+7 delbart med 2.