body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

3. Statistik och diagram

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 4

Statistik och diagram

I det tillhandahållna innehållet förklaras olika statistiska begrepp och diagram, inklusive frekvenstabell, cirkeldiagram, linjediagram och histogram. Exempel ges för att illustrera hur man läser och tolkar dessa diagram, som att bestämma genomsnittstemperaturen över en vecka eller fördelningen av djurtyper på en gård. Olika typer av diagram används för att representera olika typer av data, och innehållet ger vägledning om när man ska använda varje typ. Linjediagram används ofta för att visa förändringar över tid, medan cirkeldiagram representerar proportioner av en helhet. Innehållet inkluderar också praktiska övningar och lösningar, vilket hjälper läsarna att förstå hur man tillämpar dessa begrepp i verkliga situationer.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Statistik och diagram

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Statistik
Frekvenstabell
Cirkeldiagram
Rita ett cirkeldiagram
Stolp och stapeldiagram
Linjediagram
Histogram

Teori

Statistik

Statistik är en uppsättning verktyg och tekniker som används för att samla in, organisera och tolka information. Dessa informationsbitar kallas också data, som statistiker analyserar.

Teori

Frekvenstabell

En frekvenstabell används för att presentera datavärden och deras frekvenser i en viss datamängd. Tabellen listar de möjliga värdena eller utfallen av kategorin och hur många gånger varje värde eller utfall observeras. Som exempel presenteras åldrarna på en grupp studenter i en frekvenstabell.

Åldras $(x)$	Frekvens $(f)$
$10$	$4$
$11$	$2$
$12$	$5$
$13$	$3$
$14$	$1$
	Total frekvens $(n) = 15$

Åldern på individen är variabeln i denna datamängd, betecknad med $x .$ Värdena i frekvenskolumnen $f$ indikerar hur många studenter som har den specifika åldern. Till exempel finns det fyra studenter som är $10$ år gamla. Den totala frekvensen, representerad med $n,$ indikerar det totala antalet studenter i gruppen.

4 + 2 + 5 + 3 + 1 = 15 ⇓ n = 15

Exempel

Gör en frekvenstabell

Tilda spelar i ett fotbollslag. De senaste

10

matcherna har de gjort följande antal mål:

3, 5, 1, 4, 4, 0, 1, 2, 2, 1 .

Gör en frekvenstabell som sammanfattar målstatistiken.

Svar

Frekvenstabell:

Mål	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Frekvens	$1$	$3$	$2$	$1$	$2$	$1$

Ledtråd

Lista de olika målantalen och räkna hur ofta varje antal förekommer för att få deras frekvenser.

Lösning

Det finns sex olika kategorier: $0 - 5$ mål. Till exempel gjordes det noll mål i $1$ match, och ett mål i $3$ matcher osv. Detta skrivs in i en tabell.

Mål	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Frekvens	$1$	$3$	$2$	$1$	$2$	$1$

Teori

Cirkeldiagram

Ett cirkeldiagram är en cirkulär graf som används för att visa procentandelar av olika delar inom en helhet. Cirkeln är indelad i sektorer eller skivor i olika färger, där varje skiva representerar en annan grupp av data. Storleken på varje skiva beror på dess medelpunktsvinkel, som motsvarar gruppens andel av helheten.

Större centrala vinklar skapar större sektorer, vilket representerar större procentandelar. Hela cirkeln representerar $100 %$ av datan, och varje $1 %$ motsvarar en $3, 6^{\circ}$ central vinkel eftersom $\frac{3 6 0 ^{\circ}}{1 0 0} = 3, 6^{\circ} .$ Procentandelar visas vanligtvis inom sektorerna. För små sektorer eller långa gruppnamn läggs etiketter till utanför diagrammet för att identifiera varje grupp, där etiketterna matchas med sektorernas färger.

Cirkeldiagram med etiketter utanför cirkeln som identifierar sektorerna: Grupp A i blått (50%), Grupp B i orange (25%), Grupp C i grönt (12,5%) och Grupp D i lila (12,5%). Varje sektor visar sin respektive procentandel inom diagrammet.

Teori

Rita ett cirkeldiagram

En cirkeldiagram är ett effektivt sätt att visualisera data. Det fungerar bäst för data som kan delas upp i ett begränsat antal grupper. Idealiskt sett bör det inte finnas mer än sju eller åtta grupper så att sektorerna för varje grupp enkelt kan identifieras. För att rita ett cirkeldiagram måste den medelpunktsvinkel för varje skiva bestämmas. Detta beräknas genom att multiplicera den relativa frekvensen för varje grupp med

36 0^{\circ} .

Medelpunktsvinkel = Relativ frekvens \cdot 36 0^{\circ}

Ta hänsyn till en skolundersökning som frågade

100

niondeklassare om deras favoritaktiviteter utanför skolan. Resultaten visade att

30

elever föredrar sport,

20

musik,

15

konst,

25

läsning, och

10

naturvetenskaplig klubb. Följande steg kommer att illustrera hur man skapar ett cirkeldiagram som representerar dessa data.

Skapa en frekvenstabell

Börja med att identifiera varje grupp i undersökningen. I detta fall finns det fem olika grupper: sport, musik, konst, läsning och naturvetenskaplig klubb. Dessa fem grupper har respektive $30,$ $20,$ $15,$ $25,$ och $10$ elever.

Aktivitet	Frekvens
Sport	$30$
Musik	$20$
Konst	$15$
Läsning	$25$
Vetenskapsklubb	$10$

Beräkna den relativa frekvensen för varje grupp

Det totala antalet elever som deltog i undersökningen är $100,$ så frekvensen för varje grupp kommer att delas med detta värde för att beräkna dess relativa frekvens.

Aktivitet	Frekvens	Relativ frekvens
Sport	$30$	$\frac{3 0}{1 0 0} = 0, 3$
Musik	$20$	$\frac{2 0}{1 0 0} = 0, 2$
Konst	$15$	$\frac{1 5}{1 0 0} = 0, 15$
Läsning	$25$	$\frac{2 5}{1 0 0} = 0, 25$
Vetenskapsklubb	$10$	$\frac{1 0}{1 0 0} = 0, 10$

Beräkna medelpunktsvinkeln för varje sektor

För att hitta den centrala vinkeln för varje skiva, multiplicera den relativa frekvensen för dess grupp med

36 0^{\circ} .

Medelpunktsvinkel = Relativ frekvens \cdot 36 0^{\circ}

Denna beräkning måste utföras för varje grupp i undersökningen.

Aktivitet	Frekvens	Relativ frekvens	Medelpunktsvinkel
Sport	$30$	$\frac{3 0}{1 0 0} = 0, 3$	$0, 3 \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$
Musik	$20$	$\frac{2 0}{1 0 0} = 0, 2$	$0, 2 \cdot 36 0^{\circ} = 7 2^{\circ}$
Konst	$15$	$\frac{1 5}{1 0 0} = 0, 15$	$0, 15 \cdot 36 0^{\circ} = 5 4^{\circ}$
Läsning	$25$	$\frac{2 5}{1 0 0} = 0, 25$	$0, 25 \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$
Vetenskapsklubb	$10$	$\frac{1 0}{1 0 0} = 0, 10$	$0, 10 \cdot 36 0^{\circ} = 3 6^{\circ}$

Rita sektorerna

Börja med att rita en cirkel för att representera hela populationen av undersökningen.

Cirkel som representerar hela populationen

Rita sedan en radie för att välja en startpunkt. Detta kan vara vilken radie som helst i cirkeln.

Justera en gradskiva med den startande radien och markera den centrala vinkeln som motsvarar den första gruppen, vilket i detta exempel är $10 8^{\circ} .$

Gradskiva placerad på startande radie som markerar 108 grader

Rita radien som passerar genom den tidigare markeringen. Sektorn för den första gruppen är nu klar.

För att rita skivan för nästa grupp, placera gradskivan vid slutet av den föregående gruppen och markera nästa centrala vinkel.

Gradskiva placerad på slutet av föregående sektor markerar 72 grader

Rita radien som passerar genom denna markering för att skapa den andra sektorn. Upprepa denna process tills varje sektor är ritad.

Cirkeldiagram uppdelat i fem sektioner med följande centrala vinklar: 108 grader, 72 grader, 54 grader, 90 grader och 36 grader.

Säkerställ att summan av de centrala vinklarna är lika med

36 0^{\circ} .

10 8^{\circ} + 7 2^{\circ} + 5 4^{\circ} + 9 0^{\circ} + 3 6^{\circ} = 36 0^{\circ} ✓

Var medveten om att centralvinklarna vanligtvis inte visas på det slutgiltiga diagrammet.

Lägg till detaljerna i diagrammet

Slutligen, färglägg varje skiva i cirkeldiagrammet och lägg till etiketter med gruppnamn och procentandelar. Använd sidetiketter med motsvarande sektorfärger om det behövs. Var noga med att inkludera en beskrivande titel som tydligt anger vad diagrammet visar. Detta ger viktig kontext för diagrammets syfte och innehåll.

Cirkeldiagram som visar fem kategorier: Sport i blått (30%), Läsning i rött (25%), Musik i grönt (20%), Konst i lila (15%) och Vetenskapsklubb i orange (10%).

Teori

Stolp- och stapeldiagram

Ett stolpdiagram är en grafisk representation av en frekvenstabell. Varje stolpe motsvarar en kategori, och stolparnas höjd anger frekvensen i den kategorin. Stolpdiagram används oftast när kategorierna är värden, t.ex. hur många syskon eleverna i en skola har.

Om kategorierna inte kan storleksordnas brukar man istället använda ett stapeldiagram. Man kan t.ex. redovisa vilka typer av bilar som står parkerade på en gata.

Exempel

Tolka stapeldiagrammet

Stapeldiagrammet visar en sammanfattning av vädret under ett år där höjden anger frekvensen i antal dagar. Använd diagrammet för att avgöra hur många dagar det regnade.

Ledtråd

Om stapeln för regniga dagar inte motsvarar ett tydligt värde på $y -$ axeln, summera frekvenserna för de andra väderförhållandena och subtrahera den summan från $365 .$

Lösning

Antalet dagar med regn ligger någonstans mellan $70$ och $80$ dagar. Staplarna för övriga väderförhållanden är dock enklare att läsa av. Vi gör detta och subtraherar summan från $365$ (vi antar att det inte är ett skottår) som är antalet dagar på ett år.

Läser man av diagrammet ser vi att året hade

110

dagar med sol,

120

dagar då det var mulet, åska under

50

dagar och

10

dagar med storm. Genom att subtrahera dessa från

365

dagar beräknas antalet dagar det regnade:

365 - 110 - 120 - 50 - 10 = 75 .

Det regnade

75

dagar under året.

Teori

Linjediagram

Ett linjediagram används för att visa hur en datamängd förändras i förhållande till en annan kvantitet, vilket ofta är en tidsperiod. För att skapa ett linjediagram bör en skala och intervall för koordinataxis väljas. Datapunkterna ritas sedan in och en linje som kopplar ihop punkterna dras. Överväg en tabell med värden som representerar tillväxten av en planta under flera veckor.

	Växttillväxt
Vecka	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Höjd (in)	$1, 5$	$2, 3$	$4$	$6, 2$	$8$

Höjddata inkluderar värden från $1, 5$ till $8,$ så en skala från $0$ till $10$ tum med ett intervall av $1$ tum är rimlig. Den horisontella axeln kan representera tid i veckor och den vertikala axeln kan representera växtens höjd i tum. Nu kan punkterna plottas på ett koordinatsystem och kopplas samman.

Genom att observera den uppåt- och nedåtlutande lutningen av linjerna som kopplar samman punkterna kan trenderna i datan beskrivas och framtida händelser förutsägas.

Exempel

Tolka linjediagrammet

Varje timme under ett dygn undersöktes hur många som gick över ett övergångsställe. Linjediagrammet nedan visar denna information.

a Använd linjediagrammet för att avgöra vid vilken tid det passerar flest personer över övergångsstället.

b Bestäm antalet personer som gick över övergångsstället klockan

14 .

Ledtråd

a Identifiera

x -

koordinaten för den högsta punkten på grafen.

b Titta på

y -

koordinaten för punkten på linjen som motsvarar

x = 14 .

Lösning

a För att hitta den tid då flest personer gick över övergångsstället läser vi av

x -

värdet vid diagrammets högsta punkt.

Det gick alltså flest personer gick över övergångsstället klockan $18 .$

b För att bestämma antalet personer som gick över klockan

14

identifierar vi först vilken punkt på linjediagrammet som representerar

x -

värdet

14

och läser sedan av motsvarande

y -

värde.

Det gick alltså $8$ personer över övergångsstället klockan $14 .$

Teori

Histogram

Histogram är, på samma sätt som stolp- och stapeldiagram, en grafisk representation av en frekvenstabell. Skillnaden är att kategorierna utgörs av intervall, inte specifika värden. En frukthandlare som vill undersöka vikterna på sina äpplen kan lättare se fördelningen om diagrammet visar som hur många äpplen som ingår i ett visst viktintervall $(70 - 80 g,$ $80 - 90 g osv .)$ istället för att det finns en stolpe för varje enskilt värde. Det är förmodligen mer intressant att veta att $65$ av äpplena väger mellan $100$ och $110 g$ än om vi skulle veta att t.ex. $4$ äpplen väger exakt $105 g .$

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Statistik och diagram

Varje dag på höstlovet läste José av temperaturen då han vaknade vid $11 -$ tiden. I linjediagrammet visas resultatet.

När var temperaturen

7^{\circ} C ?

Vad var medeltemperaturen för hela veckan? Avrunda till en decimal.

Vi utgår från y-axeln och letar upp temperaturen 7^(∘)C. Därefter undersöker vi för vilka dagar som den uppmätta temperaturen låg på denna nivå.

7^(∘)C uppmättes vid två tillfällen: måndag och torsdag.

Medeltemperaturen bestäms genom att beräkna summan av temperaturerna och dela med antalet dagar.

Medeltemperaturen var alltså ungefär 3,3 ^(∘)C.

Ett företag säljer olika produkter och för noggrann statistik över hur försäljningen går. Till en presentation har företaget skapat stapeldiagrammet nedan där försäljningen av de olika produkterna redovisas.

Vad var den totala försäljningen?

Vi bestämmer vad försäljningen för varje produkt var genom att läsa av staplarnas höjd.

Försäljningen för produkt A och B var alltså 70 000kr respektive 50 000kr. På samma sätt läser vi av försäljningen på de andra produkterna: 150 000kr, 120 000kr och 180 000kr. Den totala försäljningen blir summan av dessa dvs. 570 000kr.

Det är vår på hemmet för hemlösa katter. Många av katthemmets honkatter får under våren kattungar. Frekvenstabellen visar resultatet av födslarna.

Antal kattungar	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Frekvens	$3$	$5$	$4$	$2$	$0$	$1$

Hur många av honkatterna födde fler än

4

ungar?

Hur stor andel av kattmammorna födde precis

3

ungar? Svara i bråkform och på enklaste form.

Ägaren till katthemmet vill redovisa statistiken i medlemstidningen Min katt. Ge förslag på lämpliga diagramtyper som han kan använda för detta ändamål.

Från tabellen läser vi av att 2 honor födde fem ungar, 0 honor födde sex ungar samt att 1 hona födde sju ungar. Sammanlagt fick 2+0+1 =3 honor fler än 4 ungar.

5 honor födde precis tre ungar. För att beräkna hur många procent detta motsvarar, måste vi veta hur många katter som fick ungar. Vi summerar antalet värdena i raden som visar frekvens: 3+5+4+2+0+1=15. Nu kan vi beräkna andelen honor som födde precis tre ungar. Delen är alltså antalet honor med precis tre ungar och Det hela är antalet katthonor.

En tredjedel av katthonorna födde precis tre ungar.

Vi väljer mellan diagramtyperna

Det vi vill visa är en fördelning av värden (antal katthonor). Stapeldiagram är inte lämpligt eftersom den visar frekvenser av kategorier som inte är värden. Linjediagram är inte heller ett lämpligt alternativ eftersom det används för att visa förändring över tid. Histogram används för intervall och inte enskilda värde. Ett cirkeldiagram som visar fördelningen i antal honor eller procent, eller ett stolpdiagram som en grafisk representation av frekvenstabellen är däremot båda lämpliga val.

Ett företag inom äggproduktion har genomfört en undersökning av nykläckta kycklingars vikt. Resultatet av undersökningen har man sammanställt i ett histogram.

Ungefär hur många kycklingar vägdes totalt?

Hur stor andel av kycklingarna vägde

30 - 45

gram? Avrunda till hela procent.

Hur många kycklingar vägde minst

45

gram?

Vi kan beräkna det totala antalet kycklingar som vägdes genom att summera antalet kycklingar i varje viktklass. Vi läser av staplarnas höjder.

Vi lägger ihop antalet kycklingar i varje intervall, vilket ger oss 5 + 17 + 41 + 67 + 52 + 24 + 3 = 209 st.

Vi behvöer vet hur många kycklingar som väger mellan 30 och 45 gram. Det kan vi läsa av direkt i histogrammet.

Totalt väger alltså 41+67+52=160 kycklingar mellan 30 och 45 gram. Andelen beräknar vi nu genom at dela detta med det totala antalet kycklingar dvs. 209.

Cirka 77 % av kycklingarna vägde 30--45 gram.

De kycklingar som vägde minst 45 gram är de som finns i de två tyngsta viktintervallen, dvs. de längst till höger.

Det blir totalt 24 + 3 = 27 kycklingar.

Under en friluftsdag fick eleverna i klass EK1ab tävla i ett antal olika grenar och fick från 0 till 5 poäng var. Stolpdiagrammet nedan visar elevernas resultat för grenen "Boll i hink".

Stapeldiagram över resultat i tävlingen Boll i hink

Hur många elever fick

2

eller fler poäng?

Hur stor andel av eleverna fick högst

3

poäng? Svara i hela procent.

Att en elev har fått 2 eller fler poäng betyder att vi söker alla elever med 2, 3, 4 eller 5 poäng. Vi läser av dessa staplarnas höjd på y-axeln. T.ex. fick 7 elever 2 poäng, 11 elever 3 poäng osv.

Adderar vi antalet elever i kan vi bestämma hur många som fått 2 eller fler poäng: 7 + 11 + 6 + 2 = 26 elever.

Att en elev fått "högst 3 poäng" betyder att eleven kan ha fått 0, 1, 2 eller 3 poäng. För att beräkna andelen elever som fick högst 3 poäng använder vi sambandet mellan andelen, delen och det hela: Andelen = Delen/Det hela. Delen är antalet elever som fick högst 3 poäng och det hela är det totala antalet elever som tävlade. Vi läser alltså först av de fyra första stolparnas höjder.

På motsvarande sätt som i förra deluppgiften räknar vi ihop antalet elever som fått 0, 1, 2 eller 3 poäng: 3 + 4 + 7 + 11 = 25. Delen är alltså 25 elever. För att ta reda på det hela behöver vi beräkna antalet elever totalt. Lägger vi ihop antalet som fått högst 3 poäng med antalet som fått 4 och 5 poäng får vi totalt 25+6+2=33 elever. Nu kan vi beräkna andelen elever som fick högst 3 poäng.

Så ungefär 76 % av eleverna i klassen fick bara högst 3 poäng.

På en arbetsplats undersöker man hur många kafferaster de anställda tar under en dag. Personalen svarade så här:

1, 3, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1

Rita av nedanstående frekvenstabell redovisa resultatet i den.

Kafferaster	Frekvens	Relativ frekvens
$1$
$2$
$3$
$4$

Vilken blev frekvensen för varje kategori?

Hur många procent av de anställda tar fler än två kafferaster per dag? Avrunda till hela procent.

Vi grupperar svaren i enkätundersökningen. 1, 1, 1, 1, 1, 1 2, 2, 2, 2 3, 3 4 Nu kan vi göra en frekvenstabell. Totalt finns det 13 anställda.

Kafferaster	Frekvens	Relativ frekvens
1	6	6/13
2	4	4/13
3	2	2/13
4	1	1/13

Från tabellen ser vi att 2+1=3 av totalt 13 anställda tar fler än två kafferaster per dag. Vi beräknar hur stor andel det är.

Cirka 23 % av de anställda tar fler än två kafferaster.

Några djurintresserade elever har genomfört en undersökning över hur många husdjur deras klasskamrater har. Svaren har de sammanställt i en frekvenstabell.

Antal husdjur	$0$	$1$	$2$	$3$
Frekvens	$9$	$5$	$1$	$2$

Hur stor andel av eleverna har minst två husdjur? Svara i hela procent.

Att en elev har minst två husdjur betyder att eleven har två eller fler husdjur. Vi utgår från sambandet mellan andelen, delen och det hela. Andelen = Delen/Det hela. Delen är antalet elever som har två eller tre husdjur, medan det hela är det totala antalet elever. Vi går tillbaka till frekvenstabellen och gör avläsningar.

Antal husdjur	0	1	2	3
Frekvens	9	5	1	2

1 elev har två husdjur och 2 elever har tre husdjur, så 1+2=3 elever har minst två husdjur. Vi ser även att vi får Det hela, alltså totala antalet elever, genom att summera alla värden i raden frekvens: 9 + 5 + 1 + 2 = 17 elever. Vi kan nu beräkna andelen elever som har minst två husdjur.

Ungefär 18 % av eleverna har minst två husdjur.

Alis kompis påstår att han dricker för mycket kaffe. För att försöka motbevisa detta skriver Ali ned hur mycket kaffe han dricker per dag under ett antal veckor i en frekvenstabell.

Antal koppar	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Frekvens	$2$	$1$	$2$	$10$	$9$	$4$

Hur många koppar dricker Ali i genomsnitt per dag? Avrunda svaret till heltal.

Genomsnittet (medelvärdet) beräknas här som totala antalet koppar Ali drack dividerat med antalet dagar han undersökte sitt kaffedrickande. Vi löser uppgiften i tre steg:

vi beräknar antalet dagar,
vi beräknar totala antalet koppar,
vi beräknar medelvärdet.

Det totala antalet dagar som undersökningen pågick får vi genom att addera frekvenserna (grönmarkerade).

Antal koppar	4	5	6	7	8	9
Frekvens	2	1	2	10	9	4

Antalet dagar var alltså 2+1+2+10+9+4=28. I nästa steg beräknar vi hur många koppar Ali drack totalt. Vi summerar alltså antalet koppar från varje kolumn. Exempelvis drack han 4 koppar 2 av dagarna. Vi visar i tabellen.

Antal koppar	4	5	6	7	8	9
Frekvens	2	1	2	10	9	4

Om Ali drack 4 koppar under 2 dagar blev det tillsammans 4+4=4 * 2 koppar. Vi beräknar antalet koppar på samma sätt för övriga kolumner och adderar produkterna: 4 * 2 + 5 * 1 + 6 * 2 + 7 * 10 + 8 * 9+ 9 * 4 = 203. Nu vet vi dels antalet dagar undersökningen pågick och dels hur många koppar Ali drack vilket innebär att medelvärdet kan beräknas.

Ali drack alltså i genomsnitt mer än 7 koppar per dag. Så man kan nog säga att hans kompis har rätt i att Ali borde se över sitt kaffedrickande!

Statistik och diagram

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll