Slumpförsök i flera steg

Till exempel — tänk dig att en skål innehåller tre kulor: en grön, en orange och en blå. Låt $G,$ $B$ och $O$ vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.

Anta att man drar en kula i taget, och att den första kulan läggs tillbaka innan den andra dragningen. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?

I det här fallet finns det $9$ möjliga utfall när man drar två kulor, en i taget, och lägger tillbaka den första innan nästa dragning. Bara $1$ av dessa utfall motsvarar händelsen att först dra en grön kula och sedan en orange kula.

Därför är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula $\frac{1}{9}.$

Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse var för sig. Sannolikheten att först dra en grön kula får man genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet kulor. Skålen innehåller $3$ kulor, varav $1$ är grön. Eftersom kulan läggs tillbaka, finns det vid nästa dragning återigen $3$ kulor i skålen, varav $1$ är orange.

Eftersom sannolikheten att båda händelserna inträffar är lika med produkten av deras individuella sannolikheter, är händelserna oberoende.

Till exempel — anta att en skål innehåller tre kulor: en grön, en orange och en blå. Låt $G,$ $B$ och $O$ vara händelserna att dra den gröna, blå respektive orange kulan.

Anta att man drar kulorna en i taget och att de inte läggs tillbaka efter dragning. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?

Som du ser påverkas utfallet vid den andra dragningen av vad som hände vid den första. Till exempel — om den orange kulan dras först, finns det inga orange kulor kvar. Därför är sannolikheten att dra en orange kula vid den andra dragningen $0$ i det fallet. När kulorna dras en i taget utan att läggas tillbaka, finns det totalt $6$ möjliga utfall för att dra två kulor.

Av de $6$ möjliga utfallen är det bara $1$ utfall som motsvarar att först dra den gröna kulan och sedan den orange. Därför är sannolikheten för att detta inträffar $\frac{1}{6}.$

Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse var för sig. Sannolikheten att först dra en grön kula får man genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet kulor. Skålen innehåller totalt $3$ kulor, varav $1$ är grön.

Om det är givet att den första dragningen är grön, finns det fortfarande $1$ orange kula kvar i skålen. Men nu finns det bara $2$ kulor kvar totalt. Därför är sannolikheten att dra den orange kulan, givet att den första var grön, $\frac{1}{2}.$

Sammanfattningsvis är händelserna beroende, eftersom den första händelsen påverkar sannolikheten för att den andra inträffar. Detta bekräftas också av regeln för beroende händelser.