MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
2. Slumpförsök i flera steg
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 1a /
Kapitel 4
2. 

Slumpförsök i flera steg

Lektionen fokuserar på sannolikhetslära och statistik, särskilt i flerstegs slumpförsök. Den förklarar begrepp som oberoende och beroende händelser genom exempel som att dra kort ur en kortlek eller slå en tärning. En del av innehållet handlar om hur man beräknar sannolikheten för beroende händelser, som att dra två spader ur en kortlek. Det finns också en sektion som beskriver multiplikation av sannolikheter och hur man använder detta för att beräkna sannolikheten för kombinerade händelser. Sidan inkluderar exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept, vilket gör den användbar för studenter som studerar sannolikhetslära.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
7 sidor teori
13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Slumpförsök i flera steg
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Oberoende händelser
  • Beroende händelser
  • Multiplikation av sannolikheter

Förkunskaper
Teori

Oberoende händelser

Två händelser och är oberoende om den ena händelsens förekomst inte påverkar den andra. De är också oberoende om och endast om sannolikheten att båda inträffar är lika med produkten av deras individuella sannolikheter.

Varför

Till exempel — tänk dig att en skål innehåller tre kulor: en grön, en orange och en blå. Låt och vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.

1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål

Anta att man drar en kula i taget, och att den första kulan läggs tillbaka innan den andra dragningen. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?

1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål

I det här fallet finns det möjliga utfall när man drar två kulor, en i taget, och lägger tillbaka den första innan nästa dragning. Bara av dessa utfall motsvarar händelsen att först dra en grön kula och sedan en orange kula.

Därför är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula

Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse var för sig. Sannolikheten att först dra en grön kula får man genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet kulor. Skålen innehåller kulor, varav är grön. Eftersom kulan läggs tillbaka, finns det vid nästa dragning återigen kulor i skålen, varav är orange.

Eftersom sannolikheten att båda händelserna inträffar är lika med produkten av deras individuella sannolikheter, är händelserna oberoende.

Teori

Beroende händelser

Två händelser och kallas beroende om det att den ena inträffar påverkar sannolikheten för att den andra inträffar. Om händelserna är beroende, är sannolikheten att båda inträffar lika med produkten av sannolikheten att den första händelsen inträffar och sannolikheten att den andra händelsen inträffar efter att den första redan har hänt.

Varför

Till exempel — anta att en skål innehåller tre kulor: en grön, en orange och en blå. Låt och vara händelserna att dra den gröna, blå respektive orange kulan.

1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål

Anta att man drar kulorna en i taget och att de inte läggs tillbaka efter dragning. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?

1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål

Som du ser påverkas utfallet vid den andra dragningen av vad som hände vid den första. Till exempel — om den orange kulan dras först, finns det inga orange kulor kvar. Därför är sannolikheten att dra en orange kula vid den andra dragningen i det fallet. När kulorna dras en i taget utan att läggas tillbaka, finns det totalt möjliga utfall för att dra två kulor.

Av de möjliga utfallen är det bara utfall som motsvarar att först dra den gröna kulan och sedan den orange. Därför är sannolikheten för att detta inträffar

Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse var för sig. Sannolikheten att först dra en grön kula får man genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet kulor. Skålen innehåller totalt kulor, varav är grön.

Om det är givet att den första dragningen är grön, finns det fortfarande orange kula kvar i skålen. Men nu finns det bara kulor kvar totalt. Därför är sannolikheten att dra den orange kulan, givet att den första var grön,

Sammanfattningsvis är händelserna beroende, eftersom den första händelsen påverkar sannolikheten för att den andra inträffar. Detta bekräftas också av regeln för beroende händelser.

Exempel

Är händelserna beroende?

Vilka av följande situationer beskriver beroende händelser?

Händelse I Händelse II
Dragning ur kortlek
utan återläggning 		Dra ess Dra ess
Tärningskast Slå etta Slå etta
Trisslott Vinst Vinst

Ledtråd

Hur många kort finns kvar i leken efter att ha dragit ett kort? Ändras tärningen efter att ha kastat den en gång? Efter att ha skrapat en vinstlott finns det vinstlott mindre tillgänglig i lotteriet.

Lösning

Vi går igenom situationerna, en i taget.

Dragning ur kortlek utan återläggning

En kortlek består av kort varav är ess, så sannolikheten att dra ett ess är Drar man ett nytt kort finns det dock bara kort kvar i kortleken, och bara av dessa är ess. Sannolikheten att få ett ess när man drar det andra kortet är då Sannolikheten för att få ess i andra dragningen påverkas alltså av resultatet från den första, vilket innebär att händelserna måste vara beroende.

Tärningskast

När man slår en tärning är sannolikheten att tärningen visar en När tärningen slås andra gången har antalet sidor inte förändrats och det är fortfarande bara en av dem som har en Det första kastet påverkar alltså inte sannolikheten för att få en i andra kastet och då är de två händelserna oberoende.

Trisslott

Ett typiskt lotteri består av ett stort antal lotter där en mindre andel av dessa är vinstlotter. Skrapar man en lott som ger vinst finns det en vinstlott färre i lotteriet. Att skrapa en vinstlott påverkar alltså både antalet lotter i lotteriet och även antalet lotter som är vinstlotter. Att få vinst på två trisslotter är därför beroende händelser.

Teori

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse och från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Bevis

 Informell motivering

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

  • krona i båda kasten
  • klave i båda kasten
  • först krona och sedan klave
  • först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså med det totala antalet möjliga utfall,
Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet.
Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.
Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Ledtråd

Hur många kort finns kvar i leken efter att ha dragit ett kort?

Lösning
I en kortlek finns det kort med av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är
Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt kort kvar varav är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader
Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.
MultFrac

Multiplicera bråk

ReduceFrac

Förkorta med

ReduceFrac

Förkorta med

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså .

Övning

Hitta sannolikheten för oberoende och beroende händelser

Läs frågan noggrant för att avgöra om den handlar om att dra med återlämnande eller utan återlämnande. Tänk på vilket fall som representerar beroende händelser och vilket som representerar oberoende händelser. Beräkna sedan den angivna sannolikheten som en bråk i enkel form.

Appletet genererar slumpmässigt frågor om att dra två kulor från en påse som innehåller olika antal kulor och uppmanar till sannolikheten för vissa beroende och oberoende händelser.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Slumpförsök i flera steg
Övningar
Kaj ska fria till sin flickvän Erika. Han är väldigt nervös och vill känna sig säker på att hon svarar ja innan han frågar henne. Kaj inbillar sig att om han slumpmässigt lyckas dra tre rosor från en vas är det ett starkt tecken på att Erika svarar ja. I vasen med blommor står det lika många rosor, tulpaner och nejlikor. Vad är sannlikheten att Kaj tar tre rosor från vasen? Avrunda till hela procent.

Det står lika många av varje blomsort i vasen vilket innebär att det måste finnas 243=8 rosor i vasen. Sannolikheten att Kaj tar en ros första gången blir då P(ros)=8/24. Om Kaj lyckas ta en ros första gången är det 23 blommor kvar varav 7 är rosor. Sannolikheten att Kaj tar en till ros blir 723. Vid den tredje dragningen finns det 6 rosor bland 22 blommor. Sannolikheten att han då tar en ros blir 622. Den totala sannolikheten för att ta tre rosor på rad blir produkten av dessa sannolikheter.

Sannolikheten att Kaj drar tre rosor är alltså 3 %.

Lyckohjulet ger vinst om det hamnar på ett primtal. Vad är sannolikheten att vinna tre gånger i rad? Svara i hela procent.

Ett primtal är ett heltal större än 1 och som endast är delbart med 1 och sig själv. Hjulet har 6 primtal. 2, 3, 5, 7, 11 och 13. Av 16 möjliga utfall är alltså 6 gynnsamma. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten för att två eller flera påföljande händelser inträffar är produkten av händelsernas sannolikheter.

Sannolikheten att vinna tre gånger i rad är ca 5 %.

Vladimir drar ett kort ur en kortlek och lägger undan det utan att titta på det. När han sedan drar ett andra kort är sannolikheten att det är spader och sannolikheten att det är en kung är

Vad kan man säga om första kortets färg, alltså om det är hjärter, spader, ruter eller klöver?
Vad kan man säga om första kortets valör?

En kortlek innehåller 13 kort av varje färg, dvs. totalt 4* 13=52 kort. Om sannolikheten att det andra kortet är spader är 1351 måste det betyda att det finns 13 spader kvar i leken efter att det första kortet dragits. Kortet kan alltså inte vara ett spader eftersom alla sådana finns kvar. Vi kan dock inte säga något om huruvida det var hjärter, ruter eller klöver.


Eftersom det finns fyra olika färger i en kortlek måste det finnas 4 kungar. Om sannolikheten att det andra kortet är en kung är 351 kan det bara finnas kvar 3 kungar i leken, vilket innebär att en har blivit dragen. Det första kortet måste alltså ha varit en kung.

I ett tråg ligger det gröna och röda paprikor. Vad är sannolikheten att ta röda paprikor i rad om man målar om de paprikor man tar i den andra färgen och sedan lägger tillbaka i tråget?

I tråget finns det totalt 5+5=10 paprikor. Sannolikheten att den första paprikan är röd blir alltså P(röd)=5/10. När man tagit den första röda paprikan ska den målas grön och läggas tillbaka. Antalet paprikor är fortfarande 10 men endast 4 av dem är röda. Sannolikheten att den andra paprikan är röd blir då 410. Vid den tredje dragningen finns det tre röda paprikor kvar av totalt 10. Sannolikheten att då ta en röd blir då 310. Sannolikheten att ta tre röda paprikor i rad får vi genom att multiplicera dessa sannolikheter.

Sannolikheten att ta tre röd paprikor är alltså 6 %.

Georgina och Trevor ska blåsa upp ballonger och tar dem från en påse som innehåller guldfärgade och turkosa ballonger. Georgina drar först en slumpvis vald ballong och blåser upp den. Trevor tar sedan en ballong av den andra färgen och blåser upp den.

Är att Georgina drar en turkos ballong och att Trevor drar en guldfärgad ballong beroende händelser? Motivera.
Efter att Trevor har blåst upp sin ballong drar Georgina ytterligare en slumpvis vald ballong. Är att Georgina först drar en turkos ballong och sedan drar en till turkos ballong beroende händelser? Motivera.

Två händelser är beroende om sannolikheten för den andra händelsen påverkas av resultatet från den första. Trevor väljer sin ballong helt baserat på vilken sort Georgina drar. Om Georgina drar en turkos ballong kan man se sannolikheterna för Trevors val som P( Turkos ) = 0 och P( Guld ) = 1. Om hon istället drar en guldfärgad ballong blir sannolikheterna för Trevor P( Turkos ) = 1 och P( Guld ) = 0. Georginas dragning påverkar alltså sannolikheterna för vilken sorts ballong Trevor väljer, vilket innebär att de två händelserna är beroende.


Till en början finns det 50 guldfärgade och 50 turkosa ballonger i påsen, alltså totalt 100 st. Oavsett vilken sorts ballong Georgina drar kommer Trevor att ta en av den andra sorten, vilket innebär att det kommer att finnas 49 kvar av båda färgerna och totalt 49 + 49 = 98 ballonger. Sannolikheterna i Georginas andra dragning blir då P( Turkos ) = P( Guld ) = 49/98 = 1/2, oavsett hur den första dragningen gick. Sannolikheten påverkas alltså inte av resultatet från den första dragningen, vilket innebär att händelserna inte är beroende.

Slumpförsök i flera steg

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.