Normalfördelning

Vi tittar på hur materialet alltid fördelar sig i en normalfördelning.

Genom att summera procentsatserna i de blå områdena får vi den totala andelen: 2 * 34,1 % +13,6 % +2,3 % =84,1 %.

Vi gör på samma sätt och markerar intervallen.

Det blå området svarar alltså mot 13,6 % +34,1 % =47,7 % av värdena.

I en normalfördelning delar alltid medelvärdet materialet i två lika stora delar. Det blå området motsvarar därför hälften av observationerna.

Det är alltså 50 %.

Normalfördelningen är markerad upp till μ + σ, alltså en standardavvikelse ovanför medelvärdet. Andelarna mellan varje standardavvikelse är känd, så vi slår upp dem och för in dem i figuren.

Vi lägger ihop de markerade delarna, vilket ger 2,3 % + 13,6 % + 2 * 34,1 % = 84,1 %.

Avståndet från medelvärdet 7 till 19 är 12, vilket är två standardavvikelser, 122=6 =σ. Vi sätter in andelarna för dessa två intervall.

Vi adderar dem sedan för att få totala andelen som är markerad, vilket ger 34,1 % + 13,6 % = 47,7 %.

För denna normalfördelning är allt ovanför medelvärdet 26 markerat samt från 24 och neråt. Värdet 24 ligger en standardavvikelse nedanför medelvärdet eftersom 26 - 24 = 2 = σ.

Summerar vi dessa får vi 2,3 % + 13,6 % + 34,1 % + 13,6 % + 2,3 % = 65,9 %.

Vi hade lika gärna kunnat bestämt den omarkerade delen, som utgör 34,1 % av fördelningen, och subtraherat den från helheten, som är 100 %. Då får man samma sak, alltså 100 % - 34,1 % = 65,9 %.

Vi tittar på den generella normalfördelningskurvan, t.ex. på formelbladet.

Vi ser direkt att de procentsatser som saknas är 2,3 %, 13,6 % och 34,1 %. Vi inser även att intervallet mellan värdena 24 och 26 är har längden en standardavvikelse, vilket innebär att σ=2. Vi avslutar med att sätta in de värden som fattas genom att dra ifrån en standardavvikelse för varje intervall vi går åt vänster.

Medelvärdet μ är 22 och standardavvikelsen σ är 2.

Eftersom det är tre intervall som skiljer värdena 515 och 530 åt måste avståndet mellan dem vara 3 standardavvikelser. Det innebär att en standardavvikelse är σ=530-515/3=5. Ökar vi med 5 för varje intervallgräns ser vi att medelvärdet är μ=525. Procentsatserna är alltid samma vid normalfördelningar, så de blir samma som i föregående deluppgift.

Här ser vi att det skiljer 4 standardavvikelser mellan de kända värdena, så en standardavvikelse är σ=97,5-87,5/4=2,5. Ökar vi med 2,5 för varje intervallgräns ser vi att medelvärdet hamnar på 92,5. Procentsatserna ändras inte.

Medelvärdet är i mitten på normalfördelningskurvan. Mitten på den blå kurvan är mer till höger än den gröna. Därför har B ett större medelvärde.

Ju större standardavvikelsen är, desto bredare blir normalfördelningskurvan. Det betyder att B har störst standardavvikelse.

Under en normalfördelningskurva finns alla observationer representerade. Det finns dock inget sätt att avgöra hur många "alla" är. Vi vet alltså inte hur stora datamängderna är och kan därför inte avgöra vilken som är störst.

Falskt, det är precis tvärtom. I ett lådagram visas hur ett statistiskt material sprider ut sig runt medianen, och normalfördelning visar hur det sprider ut sig symmetriskt runt medelvärdet.

Falskt. Normalfördelade material är alltid symmetriska kring medelvärdet, och för ett lådagram är visserligen alltid hälften av materialet ovanför medianen och hälften under men fördelningarna inom dessa halvor kan vara helt olika.

Sant. I en normalfördelning befinner sig hälften av observationerna på varsin sida om medelvärdet på grund av symmetrin i fördelningen. Det innebär att medelvärdet är i mitten, och alltså även är median för materialet.

Enligt uppgiftstexten är medelvärdet 38 g för kycklingarnas vikt. Eftersom en normalfördelning är symmetrisk runt medelvärdet måste 50 % av kycklingarna väga mer än 38 gram.

Mellan 33 och 38 är differensen 5 och mellan 38 och 48 är differensen 10. Dessa vikter ligger alltså en respektive två standardavvikelser från medelvärdet i vänstra respektive högra delen av kurvan.

Vi adderar procentsatserna i de markerade intervallen för att bestämma hur stor andel av kycklingarna som väger mellan 33 och 48 gram: 34,1 % + 34,1 % + 13,6 % ≈ 82 %.

Kycklingar som väger mer än 48 gram ligger två standardavvikelser höger om medelvärdet. Sådana observationer utgör 2,3 % av hela populationen.

Av 10 000 kycklingar förväntas alltså ca 2,3 % vara feta. Det skrivs i decimalform som 0,023, vilket ger oss att 2,3 % av 10 000 kycklingar är detsamma som 0,023 * 10 000=230 st. 230 av kycklingarna förväntas alltså vara feta.

Vi börjar med att rita upp en normalfördelning för att kunna ställa upp en modell som vi kan använda i de olika deluppgifterna.

Medelvärdet μ är 5100 och standardavvikelsen σ är 120, så vi bestämmer intervallgränserna för vår fördelning. &μ - σ = 5100 - 120 =& 4980, &μ + σ = 5100 + 120 =& 5220, [1em] &μ - 2σ = 5100 - 2 * 120 =& 4860, &μ + 2σ = 5100 + 2 * 120 =& 5340. Sätter vi in gränserna tillsammans med μ = 5100 i normalfördelningen får vi en bra överblick.

Vi markerar nu den andel av normalfördelningen som ligger mellan 5 100 och 5 220.

Eftersom 34,1 % av lamporna håller mellan 5 100 och 5 220 timmar, är det också sannolikheten för att en slumpvis vald lampa har denna brinntid.

Nu vill vi veta sannolikheten att en lågenergilampa håller minst 4 980 timmar. Vi markerar intervallen från 4 980 och uppåt.

Summan av andelarna ger den totala sannolikheten att en lampa faller inom intervallet: 2* 34,1 % + 13,6 % + 2,3 % = 84,1 %.

Hur stor är då sannolikheten att en lågenergilampa går sönder efter mindre än 4 980 timmar? Vi börjar med att markera detta intervall i figuren.

Adderar vi intervallen får vi 2,3 % + 13,6 % = 15,9 % vilket alltså är sannolikheten att en lampa går sönder innan den brunnit 4 980 timmar.

Från förra deluppgiften vet vi att sannolikheten att en lampa håller längre än 4 980 timmar är 84,1 %. Vi hade därför även kunnat räkna ut svaret på denna deluppgift som 100 % - 84,1 % = 15,9 %, alltså hela fördelningen minus sannolikheten att den håller längre än 4 980 timmar.

Att brinntiden för en lågenergilampa är under 4 860 eller över 5 340 timmar motsvaras av två intervall.

Tillsammans utgör de 2,3 % + 2,3 % = 4,6 % av fördelningen, vilket alltså är sannolikheten att brinntiden är under 4 860 eller över 5 340 timmar.