Logga in
| 4 sidor teori |
| 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Beroende på vad man undersöker kommer ett statistiskt material att fördela sig på olika sätt. En av de vanligaste fördelningarna kallas normalfördelning och kan ofta användas för att beskriva t.ex. längder och vikter. Nedan har man gjort ett histogram med uppmätta vikter av en viss typ av godispåsar med medelvärdet 112.5 g.
Ju fler observationer man gör desto mer kommer histogrammet likna en kulle med sin högsta punkt vid medelvärdet. Observationerna fördelar sig symmetriskt kring medelvärdet och bredden bestäms av standardavvikelsen. De flesta värdena hamnar nära medelvärdet och blir mer ovanliga längre ut i "svansarna." En kurva med det här utseendet kallas för normalfördelningskurva eller Gausskurva.
Allt material som är normalfördelat fördelar sig på samma sätt. Exempelvis ligger alltid ca 68.2%, alltså ungefär två tredjedelar, av observationerna inom en standardavvikelse från medelvärdet, oavsett vad medelvärdet μ och standardavvikelsen σ är.
Utseendet på själva kurvan ändras med olika värden på standardavvikelsen. Om standardavvikelsen ökar eller minskar blir kurvan bredare respektive smalare. Procentsatserna ändras dock inte – man hittar ändå samma andel av värdena i de olika intervallen och summan av dem blir alltid 100%.
Reaktionstiden för ett visst test är normalfördelad med medelvärdet 250 ms och standardavvikelsen 50 ms. Hur många av testresultaten kan man förvänta sig hamnar mellan 200 och 350 ms?
Området mellan 200 ms och 350 ms går från en standardavvikelse under medelvärdet till två standardavvikelser ovanför medelvärdet.
Födelsevikten för kattungar är normalfördelad runt medelvärdet 100 g, med standardavvikelsen 15 g. Hur stor andel av kattungarna kan man förvänta sig väger mellan 70 g och 130 g?
I denna typ av uppgifter är det bra att börja med att skissa en generell normalfördelning.
På samma sätt räknar vi även ut att μ−2σ=70 g och μ+2σ=130 g och skriver in i skissen.
Vi är intresserade av hur många kattungar som väger mellan 70 g och 130 g när de föds, så vi markerar det intervallet i normalfördelningen.
Eftersom testen hade olika upplägg kan vi inte jämföra dem rakt av. Däremot kan vi avgöra vem som lyckades bäst i jämfört med andra testpersoner genom att se hur många procent de var bättre än.
Testet är normalfördelat runt 38 med σ=7. Lennart gjorde 50 st., så han hamnade mellan 1 och 2 standardavvikelser över medelvärdet.
Det innebär att han var bättre än minst 84.1 %, men inte lika bra som de 2.3 % bästa.
Robert har däremot gjort 7 enarmade armhävningar. Testet är normalfördelat runt 5 och σ=1. Han hamnade alltså 2 standardavvikelser över medelvärdet.
Robert lyckades alltså bättre än 97.7 %.
Robert låg alltså bättre på normalfördelningskurvan än Lennart, i jämfört med andra som gjort samma test. Därför kan man säga att Robert var den som lyckades bäst av bröderna.
Vi beräknar hur stor andel som 100 vinglas utgör av 628.
När 100 glas har gått sönder så är detta alltså 15.9 % av restaurangens totala antal vinglas. Tittar vi på standardintervallen för en normalfördelning ser vi att de två intervallen längst till vänster tillsammans utgör 15.9 procent av materialet. När det har gått så många månader som anges av den övre gränsen för intervallet kan man alltså förvänta sig att 15.9 % av glasen har gått sönder.
Vi söker nu denna gräns. Den ligger en standardavvikelse under medelvärdet, som vi i figuren har skrivit om från 2 år till 24 månader. Eftersom standardavvikelsen är 7 månader kan vi konstatera att restaurangen ska köpa in fler glas efter 24-7=17 månader.
Om ett material är normalfördelat bör det fördela sig så att 34.1 % av vikterna hamnar mellan medelvärdet och en standardavvikelse över medelvärdet. Sedan bör 13.6 % av vikterna finnas mellan en och två standardavvikelser över medelvärdet och sist ska 2.3 % finnas över två standardavvikelser. Dessutom ska fördelningen vara symmetrisk åt andra hållet.
Vi måste alltså börja med att bestämma medelvärde och standardavvikelse för potatisarna. Eftersom det är många värden gör vi det enklast med räknarens inbyggda funktion. I det här fallet rör det sig om ett stickprov, därför använder vi x och s istället för μ och σ. Räknaren ger oss
x=74.6 och s=16.22881 ...
Vi väljer att avrunda standardavvikelsen till s ≈ 16.2, det räcker för våra behov. Nu beräknar vi vilka vikter som ± s och ± 2s motsvarar.
Gräns | Beräkning | = |
---|---|---|
x-2s | 74.6-2 *16.2 | 42.2 |
x-s | 74.6-16.2 | 58.4 |
x | 74.6 | |
x+s | 74.6+16.2 | 90.8 |
x+2s | 74.6+2 *16.2 | 107 |
Om materialet är normalfördelat kommer kurvan alltså se ut så här.
Nu beräknar vi hur många procent av värdena som ligger i de olika intervallen genom att dividera antalet värden med det totala antalet, 40 st. Exempelvis väger 0 potatisar mindre än 42.2 g, vilket motsvarar Andel=0/40=0, dvs. 0 %. Vi gör på samma sätt för övriga intervall.
Intervall | Antal värden | Andel |
---|---|---|
x ≤ 42.2 | 0 | 0 % |
42.2 < x ≤ 58.4 | 9 | 22.5 % |
58.4 < x ≤ 74.6 | 13 | 32.5 % |
74.6 < x ≤ 90.8 | 10 | 25 % |
90.8 < x ≤ 107 | 8 | 20 % |
x > 107 | 0 | 0 % |
Vi kan ana en antydan till att värdena är vanligare nära medelvärdet än långt ifrån, men de följer inte de karaktäristiska normalfördelningsvärdena. Procentsatserna stämmer inte och de är inte symmetriska runt medelvärdet, så vi kan inte påstå att vikterna i stickprovet är normalfördelade.
Det är inte orimligt att anta att potatisvikt generellt sett är normalfördelad. Att Mauricios undersökning inte får detta resultat kan exempelvis bero på:
Vi börjar med att uppskatta hur många personer i Sverige som har IQ över 130. Eftersom intelligenskvoten är normalfördelad kan vi använda det för att först ta reda på andelen. 130 är två standardavvikelser över medelvärdet eftersom μ+2σ=100+2*15=130. Vi tittar nu i normalfördelningen.
2.3 % av Sveriges befolkning har alltså IQ över 130. Vi multiplicerar det med 10 miljoner. 0.023*10 000 000=230 000. Det är ungefär 230 000 personer som har IQ över 130 i Sverige. I Intelligensia är intelligenskvoten normalfördelad med medelvärdet 115 och standardavvikelsen 15. Det betyder att 130 ligger en standardavvikelse över medelvärdet.
I Intelligensia är det alltså 13.1+2.3=15.9 % som har IQ över 130. Det blir
0.159*150 000=23 850 personer.
Nu vet vi hur många personer med IQ över 130 det finns både i Intelligensia och totalt i Sverige. Vi beräknar andelen genom att dividera antalet personer i Intelligensa med IQ över 130 med motsvarande siffra för hela Sverige:
23 850/230 000≈0.104.
0.104 kan skrivas som 10.4 %. Man kan alltså förvänta sig att av alla personer i Sverige med IQ över 130 bor cirka 10.4 % av dem i Intelligensia.
En Galtonbräda är en anordning som används för att illustrera normalfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.
Vid ett experiment släpptes 1478 kulor ner i en Galtonbräda med 16 fack. I fack 6 hamnade 136 kulor, i fack 7 hamnade 223 kulor och i fack 8 hamnade 281 kulor.
Hur många kulor bör ha hamnat i fack 5?
För att kunna lösa uppgiften måste vi veta hur många fack som utgör en standardavvikelse. Från uppgiften känner vi till antalet kulor i fack 8, 7 och 6 och vi vet att en standardavvikelse från medelvärdet i någon av svansarna utgör ca 34.1 % av observationerna i en normalfördelning. Vi börjar med att dela kulorna i fack 8 med det totala antalet kulor som släppts ner i galtonbrädan: 281/1478≈ 0.19=19 % Fack 8 innehåller cirka 19 % av observationerna, dvs. inte tillräckligt för att utgöra en standardavvikelse. Vi lägger till kulorna i facket bredvid, dvs. fack 7: 281+223/1478≈ 0.341=34.1 % Antalet kulor i fack 8 och 7 utgör alltså en standardavvikelse. För varje två fack man rör sig bort från mittenfacket (dvs. medelvärdet) lägger man alltså till en standardavvikelse. Detta betyder att summan av kulorna i fack 6 och 5 ska utgöra 13.6 % av observationerna, dvs. 0.136* 1478≈ 201 kulor. Eftersom fack 6 hade 136 kulor bör fack 5 uppskattningsvis innehålla 201-136=65 kulor.